Implicitní funkce

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 24. prosince 2021; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Implicitní rovnice je vztah tvaru , kde R je funkcí několika proměnných (často polynomu ). Například implicitní rovnice jednotkového kruhu je . $R(x_{1},\tečky ,x_{n})=0$ $x^{2}+y^{2}-1=0$

Implicitní funkce je funkce definovaná implicitní rovnicí jako spojení jedné z proměnných (hodnoty) s jinými proměnnými (argumenty) [1] . Implicitní funkce y v kontextu jednotkové kružnice je tedy implicitně definována rovnicí . Tato implicitní rovnice definuje f jako funkci x , pokud jsou uvažovány pouze nezáporné (nebo pouze nekladné) hodnoty funkce. $x^{2}+f(x)^{2}-1=0$ $-1\leqslant x\leqslant 1$

Věta o implicitní funkci dává podmínky, za kterých nějaký druh relace určuje implicitní funkci, jmenovitě relace definované jako indikátor množiny nul nějaké spojitě diferencovatelné funkce mnoha proměnných .

Příklady

Inverzní funkce

Typickým druhem implicitní funkce je inverzní funkce . Ne všechny funkce mají jedinou inverzní funkci. Je-li g funkcí x , která má jednoznačnou inverzní hodnotu, pak inverze k g , označená jako , je jedinou funkcí, která řeší rovnici $g^{{-1}}$

y=g(x)

x ve smyslu y . Řešení pak lze zapsat takto:

x=g^{-1}(y)\,.

Definice jako inverzní funkce pro g je implicitní definice. Pro některé funkce g lze funkci zapsat v uzavřeném tvaru . Například pokud , máme . To však často není možné nebo to lze provést pouze zavedením dodatečného zápisu (jako u Lambertovy W-funkce v příkladu níže). $g^{{-1}}$ $g^{-1}(y)$ $g(x)=2x-1$ $g^{-1}(y)={\tfrac {1}{2}}(y+1)$

Intuitivně se inverzní funkce získá z g obrácením rolí proměnných.

Příklad. Lambertova w-funkce je implicitní funkce, která dává řešení rovnice v x .

y-xe^{x}=0

Algebraické funkce

Algebraická funkce je funkce, která splňuje polynomickou rovnici, jejíž koeficienty jsou samy polynomy. Například algebraická funkce jedné proměnné x dává řešení pro y rovnice

a_{n}(x)y^{n}+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots +a_{0}(x)=0\,,

kde koeficienty jsou polynomy v x . Tato algebraická funkce může být zapsána jako pravá strana řešení rovnice . Pokud je zapsána tímto způsobem, funkce f se ukáže jako vícehodnotová implicitní funkce. $a_{i}(x)$ $y=f(x)$

Algebraické funkce hrají důležitou roli v počtu a algebraické geometrii . Jednoduchý příklad algebraické funkce je dán levou stranou rovnice jednotkového kruhu:

x^{2}+y^{2}-1=0\,.

Řešení rovnice v y dává explicitní řešení:

y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}\,.

Ale i bez zadání explicitního řešení lze zadat implicitní řešení rovnice jednotkového kruhu jako , kde f je vícehodnotová implicitní funkce. $y=f(x)$

Zatímco explicitní řešení lze nalézt pro kvadratické , kubické a rovnice , obecně to neplatí pro kvintické rovnice a výše, jako např.

y^{5}+2y^{4}-7y^{3}+3y^{2}-6y-x=0\,.

Nicméně lze pokračovat v odkazování na implicitní řešení pomocí vícehodnotové implicitní funkce f . $y=f(x)$

Varování

Ne každá rovnice vede ke grafu jednohodnotové funkce, dobrým příkladem je rovnice kruhu. Dalším příkladem je implicitní funkce definovaná rovnicí , kde C je kubický polynom , který má na grafu „hrb“. Pak, aby implicitní funkce byla pravdivá (jedna ku jedné), je potřeba použít pouze část grafu. Implicitní funkci lze úspěšně definovat jako skutečnou funkci pouze po „redukci pole“ některé části osy x a „odříznutí“ některých nežádoucích větví funkcí. Poté můžete zapsat výraz pro y jako implicitní funkci zbývajících proměnných. $R(x,y)=0$ $xC(y)=0$

Definice funkce rovností může mít i jiné patologie. Například rovnost neimplikuje vůbec žádnou funkci , která dává řešení pro y , protože se jedná o svislou čáru. Aby se předešlo problémům, jako je tento, jsou často kladena různá omezení na rovnice nebo na doménu funkce . Věta o implicitní funkci poskytuje jednotný přístup k řešení tohoto typu patologie. $R(x,y)=0$ $x=0$ $f(x)$

Implicitní diferenciace

V matematické analýze používá technika nazývaná implicitní diferenciace diferenciaci komplexních funkcí k rozlišení implicitně daných funkcí.

Chcete-li odlišit implicitní funkci definovanou rovnicí , obvykle nelze rovnici jednoduše vyřešit explicitně pro y a poté diferencovat. Místo toho lze najít úplnou derivaci s ohledem na x a y a pak vyřešit výslednou lineární rovnici s ohledem na získání derivace v podmínkách x a y . I když je možné řešit původní rovnici explicitně, vzorec odvozený z celkové derivace funkce je obvykle jednodušší a pohodlnější k použití. $y(x)$ $R(x,y)=0$ $R(x,y)=0$ ${\tfrac {dy}{dx))$

Příklady

Příklad 1. Zvažte

y+x+5=0\,.

Tato rovnice je snadno řešitelná pro y , což dává

y=-x-5\,,

kde pravá strana je explicitní reprezentace funkce . Diferenciace dává . $y(x)$ ${\tfrac {dy}{dx}}=-1$

Původní rovnici však můžete odlišit:

{\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}+{\frac {dx}{dx}}+{\frac {d}{dx}}(5)&=0\,; \\[6px]{\frac {dy}{dx}}+1+0&=0\,.\end{aligned}}

Řešením pro , dostáváme ${\tfrac {dy}{dx))$

{\frac {dy}{dx}}=-1\,,

a dostaneme stejnou odpověď jako předtím.

Příklad 2. Příkladem implicitní funkce, pro kterou je implicitní derivování jednodušší než explicitní, je funkce vyjádřená rovnicí $y(x)$

x^{4}+2y^{2}=8\,.

Abychom explicitně diferencovali s ohledem na x , nejprve přepíšeme rovnost jako

y(x)=\pm {\sqrt {\frac {8-x^{4}}{2}}}\,,

Nyní tuto funkci odlišíme. Vzniknou tak dvě derivace, jedna for a jedna pro . $y\geqslant 0$ $y<0$

Je mnohem jednodušší provést implicitní derivaci původní rovnice:

4x^{3}+4y{\frac {dy}{dx}}=0\,,

co dává

{\frac {dy}{dx}}={\frac {-4x^{3}}{4y}}=-{\frac {x^{3}}{y}}\,.

Příklad 3. Často je obtížné nebo dokonce nemožné řešit rovnici explicitně s ohledem na y a implicitní derivování se stává jedinou platnou derivační metodou. Příkladem je rovnice

y^{5}-y=x\,.

Je nemožné algebraicky vyjádřit y jako funkci x , takže je nelze nalézt explicitním derivováním. Pomocí implicitní metody lze získat derivováním rovnice, která dává ${\tfrac {dy}{dx))$ ${\tfrac {dy}{dx))$

5y^{4}{\frac {dy}{dx}}-{\frac {dy}{dx}}={\frac {dx}{dx}}\,,

kde . Vyjmout a přijmout ${\tfrac {dx}{dx}}=1$ ${\tfrac {dy}{dx))$

\left(5y^{4}-1\right){\frac {dy}{dx}}=1\,,

což má za následek výraz

{\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{5y^{4}-1}}\,,

který je definován pro

y\neq \pm {\frac {1}{\sqrt[{4}]{5))}\quad

\quad y\neq \pm {\frac {i}{\sqrt[{4}]{5}}}\,.

Vzorec pro derivaci implicitní funkce

Pokud , pak $R(x,y)=0$

{\frac {dy}{dx}}=-{\frac {\,{\frac {\partial R}{\partial x}}\,}{\frac {\partial R}{\partial y ))}=-{\frac {R_{x}}{R_{y}}}\,,

kde a označují parciální derivace funkce R vzhledem k x respektive y . [2] $R_{x}$ $R_{y}$

Výše uvedený vzorec je získán z vícerozměrné varianty derivování komplexní funkce pro získání celkové derivace funkce vzhledem k x na obou stranách výrazu : $R(x,y)=0$

{\frac {\partial R}{\partial x}}{\frac {dx}{dx}}+{\frac {\partial R}{\partial y}}{\frac {dy}{dx }}=0\,,

tudíž

{\frac {\partial R}{\partial x))+{\frac {\partial R}{\partial y)){\frac {dy}{dx))=0\,,

odkud při řešení relativního získáme výše uvedený výraz. ${\tfrac {dy}{dx))$

Věta o implicitní funkci

Dovolit je diferencovatelná funkce dvou proměnných a nechť je dvojice reálných čísel taková, že . Jestliže , rovnost definuje implicitní funkci , která je diferencovatelná v nějakém dostatečně malém okolí bodu . Jinými slovy, existuje diferencovatelná funkce f , která je definovaná a diferencovatelná v nějakém okolí bodu a taková, že pro x je v tomto okolí. $R(x,y)$ $(a,b)$ $R(a,b)=0$ ${\tfrac {\partial R}{\partial y))\neq 0$ $R(x,y)=0$ $(a,b)$ $R(x,f(x))=0$

Podmínka znamená, že jde o pravidelný bod implicitní křivky rovnice , kde tečna není svislá. ${\tfrac {\partial R}{\partial y))\neq 0$ $(a,b)$ $R(x,y)=0$

V jednodušším (méně přesném) jazyce implicitní funkce existují a lze je diferencovat, pokud křivka nemá vertikální tečnu [2] .

V algebraické geometrii

Uvažujme vztah tvaru , kde R je polynom v několika proměnných. Množina proměnných hodnot, které splňují tento vztah, se nazývá implicitní křivka if a implicitní plocha if . Implicitní rovnice tvoří základ algebraické geometrie , jejímž hlavním předmětem je současné řešení několika implicitních rovnic, jejichž levou stranu tvoří polynomy. Tyto množiny řešení se nazývají afinní algebraické množiny . $R(x_{1},\tečky ,x_{n})=0$ $n=2$ $n=3$

V teorii diferenciálních rovnic

Řešení diferenciálních rovnic se obvykle vyjadřují implicitními funkcemi [3] .

Aplikace v ekonomii

Mezní míra substituce

V ekonomii , kde je sadou úrovní indiferenční křivka pro množství x a y spotřebního materiálu, se absolutní hodnota implicitního derivátu interpretuje jako mezní míra substituce dvou materiálů – kolik y je potřeba, abychom si nevšimli ztráty jednotky materiálu x . $R(x,y)=0$ ${\tfrac {dy}{dx))$

Mezní míra technické substituce

Podobně, někdy je soubor úrovní izokvanta , ukazující různé kombinace pracovní síly L a výrobního kapitálu K , které vedou k výrobě určitého množství produktů. V tomto případě je absolutní hodnota implicitního derivátu interpretována jako mezní míra technické substituce mezi dvěma výrobními faktory — o kolik více kapitálu bude firma potřebovat k výrobě stejného množství výstupu na jednotku práce. $R(L,K)$ ${\tfrac {dK}{dL))$

Optimalizace

Často v teoretické ekonomii , nějaká funkce, takový jako pomůcka nebo funkce zisku , je maximalizován přes vektor x , dokonce jestliže funkce cíle není omezena na zvláštní tvar. Věta o implicitní funkci zaručuje, že podmínky prvního řádu optimalizačního problému definují implicitní funkci pro každý prvek optimálního vektoru . V případě maximalizace zisku je implicitní funkcí obvykle potřeba práce a nabídka různých produktů. Pokud je užitek maximalizován, implicitními funkcemi jsou obvykle pracovní zdroje a křivky poptávky po různých produktech. $x*$

Navíc vliv parametrů problému na - parciální derivace implicitní funkce - lze vyjádřit pomocí systému celkových derivací prvního řádu nalezených pomocí totální derivace funkce . $x*$

Poznámky

↑ Chiang, 1984 , s. 204–206.
↑ 1 2 Stewart, 1998 , str. §11.5.
↑ Kaplan, 2003 .

Literatura

Alpha C Chiang. Základní metody matematické ekonomie . - Třetí. - New York: McGraw-Hill, 1984. - ISBN 0-07-010813-7 . (Pro přístup ke knize je nutná registrace)
Wilfred Kaplan. Pokročilý kalkul. - Boston: Addison-Wesley, 2003. - ISBN 0-201-79937-5 .
James Stewart. Pojmy a souvislosti kalkulu . - Brooks/Cole Publishing Company, 1998. - ISBN 0-534-34330-9 . (Pro přístup ke knize je nutná registrace)

Čtení pro další čtení

Binmore KG Implicitní funkce // Počet. - New York: Cambridge University Press, 1983. - S. 198-211. - ISBN 0-521-28952-1 .
Walter Rudin. Principy matematické analýzy . - Boston: McGraw-Hill , 1976. - s . 223-228 . — ISBN 0-07-054235-X .
- Překlad U. Rudin. Základy matematické analýzy. - M .: "Mir", 1976.
Carl P. Simon, Lawrence Blume. Implicitní funkce a jejich deriváty // Matematika pro ekonomy . - New York: W. W. Norton, 1994. - S. 334-371 . — ISBN 0-393-95733-0 .

Odkazy

Implicitní diferenciace, co se tu děje? (3. května 2017). (neurčitý)