Obrázek (matematika)

Obrázek funkce je množina všech hodnot, které funkce dává.

Obecněji řečeno, počítání hodnoty dané funkce pro každý prvek dané podmnožiny domény funkce poskytuje sadu nazvanou „ obraz funkce “. Podobně inverzní obrázek (nebo předobraz ) dané podmnožiny kodomény funkce je množinou všech prvků domény, které se mapují na prvky množiny . $F$ $A$ $A$ $F$ $B$ $F$ $B$

Obraz a zpětný obraz lze také definovat pro obecné binární vztahy , nejen pro funkce.

Definice

Slovo „obraz“ se používá třemi souvisejícími způsoby. V těchto definicích je funkce set - to -set . $f\dvojtečka X\to Y$ $X$ $Y$

Obrázek prvku

Jestliže je prvek množiny , pak obrázek prvku pro funkci , označený [1] , je hodnotou funkce pro argument . $X$ $X$ $X$ $F$ $f(x)$ $F$ $X$

Obrázek podmnožiny

Obraz podmnožiny pro funkci , označený , je podmnožinou množiny , kterou lze definovat pomocí následujícího zápisu [2] : $A\subseteq X$ $F$ $f[A]$ $Y$

{\displaystyle f[A]=\{f(x)\mid x\in A\))

Pokud nehrozí záměna, zapíše se jednoduše jako . Tato konvence je obecně přijímána. Zamýšlený význam musí být určen z kontextu. Díky tomu je f [.] funkcí, jejíž doménou je stupeň X (množina všech podmnožin X ) a jejíž kodoménou je stupeň Y. Viz část § Notace . $f[A]$ $f(A)$

Obrázek funkce

Obraz funkce je obrazem celého oboru definice , známého také jako obor funkce [3] .

Zobecnění na binární relace

Jestliže je libovolná binární relace na X Y , pak se množina nazývá obrazem relace . Množina se nazývá doména relace . $R$ $\krát$ $\{y\in Y\|xRy,x\in X\}$ $R$ $\{x\in X|xRy,y\in Y\}$ $R$

Obrácený obrázek

Nechť je funkce od do . Předobraz nebo inverzní obraz množiny pro funkci , označený jako , je podmnožina definovaná jako: $F$ $X$ $Y$ $B\subseteq Y$ $F$ $f^{-1}[B]$ $X$

f^{-1}[B]=\{x\in X\,|\,f(x)\in B\}.

Jsou možná i jiná označení, např.: [4] a . [5] $f^{-1}(B)$ $f^{-}(B)$

Převrácená hodnota singletonu , označovaná nebo , se také nazývá vrstva pro nebo sada úrovní prvků . Sada všech vrstev pro prvky je rodina podmnožin indexovaných podle prvků . $f^{-1}[\{y\}]$ $f^{-1}[y]$ $y$ $y$ $Y$ $Y$

Například u funkce bude opak . Opět platí, že pokud nehrozí záměna, lze ji označit jako , a lze ji považovat za funkci z množiny všech podmnožin (booleanů) množiny do booleovských hodnot množiny . Zápis by neměl být zaměňován s inverzí k , i když je v souladu s obvyklou inverzí pro bijekce v tom, že pullback for je obraz pro . $f(x) = x^2$ ${\displaystyle \{4\))$ ${\displaystyle \{-2,2\))$ $f^{-1}[B]$ $f^{-1}(B)$ $f^{-1}$ $Y$ $X$ $f^{-1}$ $B$ $F$ $B$ $f^{-1}$

Zápis pro obrázek a inverzní obrázek

Tradiční zápis použitý v předchozích částech může být obtížně srozumitelný. Alternativou [6] je zadat explicitní názvy pro obrázek a předobraz funkcí mezi booleany:

Šipkový zápis

$f^{\to }:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)$ pro ${\displaystyle f^{\to }(A)=\{f(a)\;|\;a\in A\))$
$f^{\leftarrow }:{\mathcal {P}}(Y)\to {\mathcal {P}}(X)$ pro ${\displaystyle f^{\leftarrow }(B)=\{a\in X\;|\;f(a)\in B\))$

Zápis hvězdičkami

$f_{\star }:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)$ namísto ${\displaystyle f^{\to ))$
$f^{\star }:{\mathcal {P}}(Y)\to {\mathcal {P}}(X)$ namísto ${\displaystyle f^{\leftarrow ))$

Další terminologie

Alternativní zápis používaný v matematické logice a teorii množin je [7] [8] . $f[A]$ $f^{\prime \prime }A$
Některé knihy odkazují na obrázek jako na hodnotovou doménu , ale tomu je třeba se vyhnout, protože termín „hodnotová doména“ je široce používán pro označení kodomény funkce . $F$ $F$ $F$

Příklady

$f\colon \{1,2,3\}\to \{a,b,c,d\}$ definováno jako $f(x)=\left\{{\begin{matrix}a,&{\mbox{ if }}x=1\\a,&{\mbox{ if }}x=2\\c, &{\mbox{ if }}x=3.\end{matrix}}\right.$ Obrázek množiny {2, 3} pro funkci je . Obrázek funkce je . Prototyp je . Prototyp soupravy je také . Prototyp množiny je prázdná množina . $F$ $f(\{2,3\})=\{a,c\}$ $F$ ${\displaystyle \{a,c\))$ $A$ ${\displaystyle f^{-1}(\{a\})=\{1,2\))$ $\{a,b\}$ $\{1,2\}$ ${\displaystyle \{b,d\))$ $\{\}$
$f\colon \mathbf {R} \to \mathbf {R}$ definovaný jako . $f(x) = x^2$ Obrázek funkce je a obrázek funkce je . Prototyp pro je . Inverzní obraz množiny for je prázdná množina, protože záporná čísla nemají v množině reálných čísel odmocniny. $\{-2,3\}$ $F$ $f(\{-2,3\})=\{4,9\}$ $F$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{+))$ $\{4,9\}$ $F$ ${\displaystyle f^{-1}(\{4,9\})=\{-3,-2,2,3\))$ ${\displaystyle N=\{n\in \mathbf {R} \|n<0\))$ $F$
$f\colon \mathbf {R} ^{2}\to \mathbf {R}$ definovaný jako . $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$ Vrstvy jsou soustředné kruhy kolem počátku , jediného bodu počátku nebo prázdné množiny podle toho, co je,resp. $f^{-1}(\{a\})$ $a>0$ $a=0$ $a<0$
Jestliže je varieta a je kanonickou projekcí z tečného svazku do , pak jsou vlákna mapy tečnými prostory pro . Toto je také příklad vláknitého prostoru . $M$ $\pi :TM\to M$ $TM$ $M$ $\pi$ $T_{x}(M)$ $x \v M$
Faktorová skupina je homomorfní obraz.

Vlastnosti

Protipříklady

Protipříklady založené na tom, že tato rovnost obvykle selhává u některých zákonů: ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,x\mapsto x^{2))$

Obecný případ

Pro jakoukoli funkci a všechny podmnožiny a platí následující vlastnosti: $f\dvojtečka X\to Y$ $A\subseteq X$ $B\subseteq Y$

obraz	prototyp
$f(X)\subseteq Y$	$f^{-1}(Y)=X$
$f(f^{-1}(Y))=f(X)$	$f^{-1}(f(X))=X$
$f(f^{-1}(B))\subseteq B$ (rovná se if , tedy surjektivní) [9] [10] $B\subseteq f(X)$ $F$	$f^{-1}(f(A))\supseteq A$ (rovná se, pokud je injektivní) [9] [10] $F$
$f(f^{-1}(B))=B\cap f(X)$	$(f\vert _{A})^{-1}(B)=A\cap f^{-1}(B)$
$f(f^{-1}(f(A)))=f(A)$	$f^{-1}(f(f^{-1}(B)))=f^{-1}(B)$
$f(A)=\varnothing \Leftrightarrow A=\varnothing$	$f^{-1}(B)=\varnothing \Leftrightarrow B\subseteq Y\setminus f(X)$
$f(A)\supseteq B\Leftrightarrow \exists C\subseteq A:f(C)=B$	$f^{-1}(B)\supseteq A\Leftrightarrow f(A)\subseteq B$
$f(A)\supseteq f(X\setminus A)\Leftrightarrow f(A)=f(X)$	$f^{-1}(B)\supseteq f^{-1}(Y\setminus B)\Leftrightarrow f^{-1}(B)=X$
$f(X\setminus A)\supseteq f(X)\setminus f(A)$	$f^{-1}(Y\setminus B)=X\setminus f^{-1}(B)$ [9]
$f(A\cup f^{-1}(B))\subseteq f(A)\cup B$ [jedenáct]	$f^{-1}(f(A)\cup B)\supseteq A\cup f^{-1}(B)$ [jedenáct]
$f(A\cap f^{-1}(B))=f(A)\cap B$ [jedenáct]	$f^{-1}(f(A)\cap B)\supseteq A\cap f^{-1}(B)$ [jedenáct]

Taky:

$f(A)\cap B=\varnothing \Leftrightarrow A\cap f^{-1}(B)=\varnothing$

Pro více funkcí

Pro funkce a s podmnožinami a , platí následující vlastnosti: $f\dvojtečka X\to Y$ $g\colon Y\to Z$ $A\subseteq X$ $C\subseteq Z$

$(g\circ f)(A)=g(f(A))$
$(g\circ f)^{-1}(C)=f^{-1}(g^{-1}(C))$

Několik podmnožin domény nebo kodomény

Následující vlastnosti platí pro funkci a podmnožiny a : $f\dvojtečka X\to Y$ $A_{1},A_{2}\subseteq X$ $B_{1},B_{2}\subseteq Y$

obraz	prototyp
$A_{1}\subseteq A_{2}\Šipka doprava f(A_{1})\subseteq f(A_{2})$	$B_{1}\subseteq B_{2}\Rightarrow f^{-1}(B_{1})\subseteq f^{-1}(B_{2})$
$f(A_{1}\cup A_{2})=f(A_{1})\cup f(A_{2})$ [11] [12]	$f^{-1}(B_{1}\cup B_{2})=f^{-1}(B_{1})\cup f^{-1}(B_{2})$
$f(A_{1}\cap A_{2})\subseteq f(A_{1})\cap f(A_{2})$ [11] [12] (rovná se, pokud je injektivní [13] ) $F$	$f^{-1}(B_{1}\cap B_{2})=f^{-1}(B_{1})\cap f^{-1}(B_{2})$
$f(A_{1}\setminus A_{2})\supseteq f(A_{1})\setminus f(A_{2})$ [11] (rovná se, pokud je [13] injektivní) $F$	$f^{-1}(B_{1}\setminus B_{2})=f^{-1}(B_{1})\setminus f^{-1}(B_{2})$ [jedenáct]
$f(A_{1}\trojúhelník A_{2})\supseteq f(A_{1})\trojúhelník f(A_{2})$ (stejné, pokud je injekční) $F$	$f^{-1}(B_{1}\trojúhelník B_{2})=f^{-1}(B_{1})\trojúhelník f^{-1}(B_{2})$

Výsledky pro obrázky a předobrazy ( booleovské ) průnikové a sjednocovací algebry fungují pro jakoukoli kolekci podmnožin, nejen pro dvojice podmnožin:

$f\left(\bigcup _{s\in S}A_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f(A_{s})$
$f\left(\bigcap _{s\in S}A_{s}\right)\subseteq \bigcap _{s\in S}f(A_{s})$
$f^{-1}\left(\bigcup _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f^{-1}(B_{s})$
$f^{-1}\left(\bigcap _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcap _{s\in S}f^{-1}(B_{s})$

(Tady může být nekonečná množina, dokonce i nespočitatelná .) $S$

Pokud jde o algebru podmnožiny popsanou výše, inverzní mapovací funkce je mřížkový homomorfismus , zatímco mapovací funkce je pouze polomřížkový homomorfismus (tj. nezachovává vždy průniky).

Viz také

Vstřikování, vstřikování a vstřikování
Obrázek (teorie kategorií)
Kernel (teorie množin)

Poznámky

↑ Kompendium matematických symbolů ? . Matematický trezor (1. března 2020). Získáno 28. srpna 2020. Archivováno z originálu dne 6. prosince 2020. (neurčitý)
↑ 5.4: Funkce a obrázky/předobrazy sad . Matematika LibreTexts (5. listopadu 2019). Získáno 28. srpna 2020. Archivováno z originálu dne 27. října 2020.
↑ Weisstein, Eric W. Obrázek . mathworld.wolfram.com . Získáno 28. srpna 2020. Archivováno z originálu dne 19. března 2020.
↑ Úplný seznam algebrických symbolů ? . Matematický trezor (25. března 2020). Staženo 28. srpna 2020. Archivováno z originálu dne 1. dubna 2020. (neurčitý)
↑ Dolecki, Mynard, 2016 , str. 4-5.
↑ Blyth, 2005 , str. 5.
↑ Rubin, 1967 .
↑ M. Randall Holmes: Nehomogenita urelementů v obvyklých modelech NFU Archivováno 7. února 2018 na Wayback Machine , 29. prosince 2005, na: Semantic Scholar, s. 2
↑ 1 2 3 Halmos, 1960 , str. 39.
↑ 12 Munkres , 2000 , s. 19.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 Lee, 2011 , str. 388.
↑ 12 Kelley , 1985 , s. [ [1] v " Google Books " 85]
↑ 12 Munkres , 2000 , s. 21.

Literatura

John M. Lee Úvod do topologických variet. — 2. - New York, Dordrecht, Heidelberg, Londýn: Springer, 2011. - V. 202. - (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 978-1-4419-7939-1 .
Jean E. Rubin. Teorie množin pro matematika . - Holden-Day, 1967. - S. xix.
Michael Artin . Algebra. - Prentice Hall, 1991. - ISBN 81-203-0871-9 .
TS Blyth. Svazy a uspořádané algebraické struktury. - Springer, 2005. - ISBN 1-85233-905-5 .
Szymon Dolecki, Frederic Mynard. Základy konvergence topologie. - New Jersey: World Scientific Publishing Company, 2016. - ISBN 978-981-4571-53-4 .
Paul R. Halmos . Naivní teorie množin . - van Nostrand Company, 1960. - (Univerzitní řada v pregraduální matematice).
John L. Kelly. obecná topologie. - 2. - Birkhäuser, 1985. - Svazek 27. - ( Absolventské texty z matematiky ). - ISBN 978-0-387-90125-1 .
James R. Munkres. topologie. - Druhé vyd. - Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, Inc., 2000. - ISBN 978-0-13-181629-9 .