Kruhy Malfatti

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 17. března 2022; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Malfattiho kruhy  jsou tři kruhy uvnitř daného trojúhelníku tak, že se každý kruh dotýká dalších dvou a dvou stran trojúhelníku. Kruhy jsou pojmenovány po Gianfrancescu Malfatti , který začal zkoumat problém sestrojení těchto kruhů s mylným přesvědčením, že se skládají do maximální možné plochy tří neprotínajících se kruhů uvnitř trojúhelníku. Malfattiho problém se týká obou problémů, jak konstrukce Malfattiho kružnic, tak problému nalezení tří neprotínajících se kružnic uvnitř trojúhelníku s maximální celkovou plochou.

Malfatti problém

V roce 1803 Gianfrancesco Malfatti navrhl problém vyřezání tří válcových sloupů z trojúhelníkového mramorového hranolu takovým způsobem, aby se maximalizoval celkový objem sloupů. Věřil, jako mnoho dalších po něm, že řešení problému je dáno třemi kruhy, které se navzájem dotýkají. To znamená, že tři Malfattiho kruhy dávají maximální celkovou plochu mezi všemi neprotínajícími se kruhy v trojúhelníku.

Malfatti publikoval dílo v italštině a mnozí jej nemohli číst v originále. Dílo přeložil do francouzštiny Joseph Dias Gergonne v prvním díle Annales (1810-1811), po němž následovala diskuse ve druhém a desátém díle. Gergonne však v překladu nastolil pouze problém tečných kružnic, nikoli však problém nalezení maximální plochy.

Hypotéza se ukázala jako mylná. V roce 1930 bylo zjištěno [1] , že u některých trojúhelníků lze získat větší plochu pomocí zištného algoritmu , který vepíše do trojúhelníku kružnici o maximálním poloměru a poté vepíše druhou kružnici do jednoho z úhlů s nejmenším úhlem, a poté vepíše třetí kruh do jedné z pěti zbývajících oblastí. Rozdíl v ploše pro pravidelný trojúhelník je malý, jen něco přes 1 % [2] ale, jak poznamenal Howard Eaves v roce 1946 , pro rovnoramenný trojúhelník s velmi ostrým úhlem na vrcholu jsou optimální kružnice (umístěné jedna nad druhou). , vycházející ze základny) mají téměř dvojnásobnou plochu ve srovnání s Malfattiho kružnicemi [3] [4] . V roce 1967 se ukázalo [5] , že pro jakýkoli trojúhelník poskytuje konstrukce tři kružnice s větší plochou než Malfattiho kružnice, takže Malfattiho kružnice nejsou nikdy optimální.

V roce 1992 [6] byly klasifikovány všechny způsoby uspořádání kruhů s maximální celkovou plochou uvnitř trojúhelníku. Pomocí této klasifikace je dokázáno, že chamtivý algoritmus vždy najde kruhy maximalizující plochu a je navržen vzorec, který určí, jaké uspořádání kruhů je pro daný trojúhelník optimální. V roce 1997 se předpokládalo, že pro jakékoli celé číslo n najde chamtivý algoritmus pro daný trojúhelník sadu n kruhů s maximální celkovou plochou. Je známo, že domněnka platí pro [7] .

Historie

Problém sestrojit tři tečné kružnice uvnitř trojúhelníku navrhl japonský matematik Ajima Naonobu (安島 直円) z 18. století ještě před Malfattiho prací a tento problém byl zahrnut do nepublikované sbírky Adžimových prací shromážděných rok po jeho smrti student Kusaka Makoto [8] . Stejný problém byl nalezen v dřívějším rukopisu z roku 1384 od Montepulciana ( Gilio di Cecco da Montepulciano ). Rukopis je v Městské knihovně v italské Sieně [9] .

Od dob Malfattiho existuje velké množství prací o metodách konstrukce Malfattiho tečných kružnic. Richard Guy poznamenal, že literatura o problému je „rozsáhlá, roztříštěná a ne vždy si vědoma své vlastní existence“ [10] [11][ specifikovat ] . Je pozoruhodné, že v roce 1826 Jacob Steiner představil jednoduchou geometrickou konstrukci založenou na společných tečnách . Jiní autoři tvrdili, že Steinerova konstrukce nebyla dostatečně prokázána, a Andrew Searle Hart poskytl důkaz v roce 1856, ale Guy poukázal na důkaz ve dvou Steinerových vlastních dokumentech. Lob a Richmond (Lob, Richmond) zmínili řešení Lemus (CL Lehmus, 1819), Catalan (1845), Derusso (J. Derousseau, 1895), Pampucha (A. Pampuch, 1904) a Coolidge (JL Coolidge, 1916 ), založený na algebraické formulaci problému. Algebraická řešení nerozlišují mezi vnitřními a vnějšími dotyky kružnic a daného trojúhelníku. Pokud je problém zobecněn a umožňuje hmaty jakéhokoli druhu, pak pro daný trojúhelník existuje 32 různých řešení [12] a naopak trojice vzájemně tečných kružnic bude řešením pro osm různých trojúhelníků [10] . Bottema a Guy ( Botema, 2001 , Guy, 2007 ) také zmínili práci na problému a jeho zobecnění od Adamse (C. Adams, 1846), Adolphe Quidde (1850), Schellbach (KH Schellbach, 1853), Cayley (1854, 1857, 1875), Clebsh (1857), Simons (P. Simons, 1874), Casey (J. Casey, 1888), Roche a Combrus (Rouché, Comberousse, 1900), Baker (HF Baker, 1925), Rogers (LJ Rogers, 928), Procissi (Angelo Procissi, 1932), Naito (Jun Naito, 1975) a Rogers (DG Rogers, 2005).

Gato a Mazzotti ( Gatto, 2000 , Mazzotti, 1998 ) představují epizodu v neapolské matematice 19. století spojenou s Malfattiho kruhy. V roce 1839 vyhlásil Vincenzo Flauti soutěž zahrnující řešení tří geometrických problémů, z nichž jedním byla konstrukce Malfattiho kružnic. Jeho cílem bylo ukázat nadřazenost syntetické techniky (geometrie bez použití souřadnic) nad analytickou. Navzdory skutečnosti, že řešení našel student konkurenční školy analytické geometrie Fortunato Padula, Flauti předal cenu svému vlastnímu studentovi Nicola Trudi, jehož řešení Flauti znal ještě před vyhlášením soutěže. V poslední době se problém konstrukce Malfattiho kruhů používá k testování systémů počítačové algebry [13] [14] .

Steinerova konstrukce

Ačkoli hodně z Malfattiho rané práce na kruzích používá analytickou geometrii , v roce 1826 Jacob Steiner dal následující jednoduchou geometrickou konstrukci.

Střed kružnice tečné ke dvěma stranám trojúhelníku, který je pozorován v Malfattiho kruzích, musí ležet na jedné z os trojúhelníku (zelené segmenty na obrázku). Tyto osy rozdělují trojúhelník na tři menší trojúhelníky a Steinerova konstrukce Malfattiho kruhů začíná konstrukcí tří pomocných kruhů (na obrázku znázorněných tečkovanými čarami) vepsaných do těchto tří trojúhelníků. Každá dvojice pomocných kružnic má dvě společné tečny. Jedna z těchto tečen je osa a druhá je na obrázku znázorněna červenou tečkovanou čarou. Strany trojúhelníku označíme písmeny a , b a c a tři tečny, které nejsou osou, písmeny x , y a z , kde x je společná tečna kružnic, které se nedotýkají strany a , y je společná tečna kružnic, které se nedotýkají dotýkající se strany b , z je společná tečna kružnic , které se nedotýkají strany c . Pak tři Malfattiho kružnice jsou ]15[bczyaaczx,abyxčtyřúhelníkůtříkružnicevepsané [10] .

Vzorec poloměru

Poloměr každé ze tří Malfattiho kružnic lze zjistit vzorcem s použitím délek stran a , b a c trojúhelníku, poloměru vepsané kružnice r , půlobvodu a tří vzdáleností d , e a f od středu kružnice vepsané trojúhelníku k vrcholům protilehlých stran a , b a c . Vzorce pro tyto tři poloměry jsou:

(Střed poloměrové kružnice patří segmentu ; Střed poloměrové kružnice patří segmentu ; Střed kruhu o poloměru patří segmentu .)

Podle Stevanoviće ( 2003 ) tyto vzorce objevil Malfatti a byly publikovány posmrtně v roce 1811.

Související vzorce lze použít k nalezení příkladů trojúhelníků, jejichž délky stran, poloměr incirclu a poloměr Malfattiho kruhu jsou racionální nebo celá čísla. Například trojúhelník o stranách 28392, 21000 a 25872 má poloměr vepsané kružnice 6930 a Malfattiho poloměr 3969, 4900 a 4356. Jiný příklad: trojúhelník se stranami 152460, 165000 a 165000 a 190740 má poloměr 40 vepsaných a Malfattiho poloměr 7 poloměry 27225, 309076 a [16] .

Points of Ajima - Malfatti

Je -li dán trojúhelník ABC a jeho tři Malfattiho kružnice, nechť D , E a F jsou body, kde se obě kružnice dotýkají ,  naproti vrcholům A , B a C. Poté se tři přímky AD , BE a CF protnou v jednom pozoruhodném bodě , známém jako první bod Ajima-Malfatti . Druhý bod Ajima - Malfatti je průsečík tří čar spojujících body dotyku Malfattiho kružnic se středy kružnic trojúhelníku [17] [18] . Mezi další středy trojúhelníků spojené s Malfattiho kružnicemi patří Iffa-Malfattiho bod, vytvořený stejným způsobem jako první Malfattiho bod, ze tří vzájemně tečných kružnic a (prodloužených) stran trojúhelníku, ale částečně ležící mimo trojúhelník, [19] a radikální centrum tři Malfattiho kruhy [20] .

Viz také

Poznámky

  1. ↑ Lob, Richmond, 1930 , str. 287–304.
  2. ↑ Wells, 1991 .
  3. ↑ Eves, 1946 .
  4. ↑ Ogilvy, 1990 .
  5. ↑ Goldberg, 1967 .
  6. ↑ Zalgaller, Los, 1992 , str. 14-33.
  7. ↑ Andreatta, Bezdek, Boroński, 2010 .
  8. ↑ Fukagawa, Rothman, 2008 .
  9. ↑ Simi, Rigateli, 1993 .
  10. ↑ 1 2 3 Chlap, 2007 .
  11. ↑ Richard K. Guy. Trojúhelník. - S. 114.
  12. ↑ Bottema, 2001 připisuje Pampuhovi (1904) seznam těchto řešení, ale Cajori (1893) poznamenal, že počet řešení byl uveden již v roce 1826 ve Steinerových poznámkách.
  13. ↑ Hitotumatu, 1995 .
  14. ↑ Takeshima, Anai, 1996 .
  15. ↑ Martin, 1998 , cvičení 5.20 na str. 96.
  16. ↑ Miller, 1875 .
  17. ↑ Weisstein, Eric W. Ajima-Malfatti Body  na webu Wolfram MathWorld .
  18. ↑ C. Kimberling, Encyclopedia of Triangle Centers Archived 19. April 2012 at Wayback Machine , X(179) and X(180).
  19. ↑ Encyclopedia of Triangle Centers, X(400).
  20. ↑ Stevanovic, 2003 .

Literatura

Odkazy