Matematické úlohy z olympiády

Olympiádní úlohy v matematice  jsou termínem pro řadu úloh, jejichž řešení nutně vyžaduje nečekaný a originální přístup.

Popis

Olympiádní úlohy dostaly svůj název podle oblíbených soutěží školáků a studentů, tzv. matematických olympiád . Olympijské úlohy se od ostatních školních problémů liší nestandardním řešením. Účelem vytváření problémů v této kategorii je vychovat v budoucích matematicích takové vlastnosti, jako je kreativita, netriviální myšlení a schopnost studovat problém z různých úhlů pohledu. Není náhodou, že akademik A. N. Kolmogorov ve svém projevu na vernisáži srovnával práci matematika s „řadou řešení (někdy velkých a obtížných) úloh olympiády“ . [jeden]

Vnější jednoduchost úloh olympiády – jejich podmínky a řešení by měly být každému studentovi jasné – klame. Nejlepší úlohy olympiády se dotýkají hlubokých problémů z různých oblastí matematiky . Někdy byla tato zdánlivá jednoduchost využívána i k jiným účelům: v dobách SSSR byli pomocí takových úkolů při přijímacích zkouškách na vysoké školy vyřazováni uchazeči nežádoucí národnosti. Není divu, že se olympijským úkolům z arzenálu takových výběrových komisí začalo říkat „rakve“ . [2]

Vítězové matematických olympiád mají výhody pro přijetí na mnoho univerzit [3] .

Řešení úloh z olympiády může vyžadovat značné množství času i pro silného (ale ne trénovaného na jejich řešení) profesionálního matematika. [čtyři]

Olympiádní úlohy lze nalézt na internetu, [5] v periodikách (časopisy Kvant , Mathematical education ), jakož i v samostatných sbornících. Jsou široce používány v práci matematických kroužků, korespondenčních škol [6] a pro takové matematické soutěže, jako jsou olympiády, městské turnaje a matematické souboje .

Velkým přínosem k popularizaci metod řešení olympiádových úloh byly publikace časopisu Kvant, knihy cyklů Populární přednášky z matematiky , Knihovna matematického kroužku [7] , sbírky olympiádových úloh nakladatelství Nauka a Osvícení nakladatelství, překlady nakladatelství " Mir " [8] a další knihy, stejně jako četné webové stránky věnované problematice olympiády.

Příklady

Problém typu olympiády, známý již od dob Euklida :

Dokažte, že existuje nekonečně mnoho prvočísel .

Problém je řešen metodou kontradikce . Za předpokladu, že existuje konečný počet prvočísel N, uvažujeme číslo následující za jejich součinem . Je zřejmé, že není dělitelný žádným z prvočísel použitých v produktu, takže zbytek je 1. To znamená, že je buď sám o sobě prvočíslem, nebo je dělitelný prvočíslem, které není zahrnuto v našem (pravděpodobně úplném) seznamu. V každém případě existuje alespoň N+1 prvočísel. Rozpor s předpokladem konečnosti. QED

Typy úkolů

Přes jedinečnost problémů olympiády je stále možné vyčlenit několik typických myšlenek, které tvoří podstatu problémů. Takový seznam by samozřejmě byl z definice neúplný.

Metody řešení

Neexistuje jediná metoda, jak řešit problémy olympiády. Počet metod se naopak neustále doplňuje. Některé problémy lze řešit několika různými metodami nebo kombinací metod. Charakteristickým rysem úloh olympiády je, že řešení zdánlivě jednoduchého problému může vyžadovat použití metod používaných v seriózním matematickém výzkumu. Následuje (podle definice) neúplný seznam metod pro řešení problémů olympiády:

Viz také

Poznámky

  1. ↑ N. Rozov, M. Smoljanskij. XII Všesvazová olympiáda pro školáky v matematice  // Kvant . - 1978. - č. 10 .
  2. ↑ A. Shen. Přijímací  zkoušky na Mekh-mat // Mathematical Intelligencer. - 1994. - T. 16 . - S. 6-10 .
  3. ↑ Výhody pro přijetí do MIPT Archivní kopie ze dne 20. prosince 2016 na Wayback Machine na webu MIPT
  4. ↑ I. Vardi. Řešení Mezinárodní matematické olympiády v roce 2000  // Preprint IHES/M/00/80. — 2000.
  5. ↑ VÝZVY Archivováno 2. dubna 2006 na Wayback Machine . Projekt MCNMO za účasti školy 57.
  6. ↑ VZMSh - All-Union Correspondence Mathematical School (nepřístupný odkaz) . Získáno 12. dubna 2006. Archivováno z originálu 14. června 2006. 
  7. ↑ Knihy řady "Knihovna matematického kruhu" Archivní kopie ze 7. prosince 2007 na Wayback Machine na webu MTsNMO
  8. ↑ Online knihovna pro matematiku _

Literatura