Výstavní markýza

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 23. listopadu 2020; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Mapování markýzy v teorii dynamických systémů je uvedeno takto: $f_{\mu}=\mu \min\{x,1-x\}$

Pro hodnoty , stanová mapa transformuje segment do sebe, což je dynamický systém s diskrétním časem. Zejména oběžná dráha bodu z intervalu je sekvence : $\mu\in[0;2]$ $[0;1]$ $x_0$ $[0;1]$ $x_{n}$

x_{n+1}=f_{\mu }(x_{n})={\begin{cases}\mu x_{n},&x_{n}<{\frac {1}{2)) ,\\\\\mu (1-x_{n}),&{\frac {1}{2}}\leq x_{n}.\end{cases}}

Přestože je stanové mapování poměrně jednoduchým nelineárním dynamickým systémem, vykazuje řadu vlastností, které jsou charakteristické i pro složitější systémy: hustotu periodických drah , směšování , citlivost na počáteční podmínky , tzn. náhodnost [1] .

Vlastnosti

Jestliže , je atraktivní pevný bod : systém bude mít tendenci k nule s postupem času do nekonečna pro jakoukoli počáteční hodnotu z intervalu . $\mu\in[0;1)$ $x=0$ $X$ $[0;1]$
Jestliže , jsou všechny pevné body a jsou předperiodickými body jednotkové periody (po jedné iteraci se stanou pevnými body). $\mu=1$ $x\in[0;0,5]$ $x\in(0,5;1]$
Jestliže , pak má mapování dva pevné body: a . Navíc oba budou nestabilní, to znamená, že hodnoty ležící v blízkosti pevných bodů se od nich budou s následnými iteracemi vzdalovat. Navíc pro takové hodnoty , interval obsahuje periodické i neperiodické body. $\mu\in(1;2]$ $x=0$ $x={\frac {\mu }{1+\mu }}$ $X$ $\mu$ $x\in [\mu-{\mu^2}/2;{\mu}/2 ]$
If , pak systém mapuje množinu intervalů ze segmentu na sebe a jejich spojením je Julia množina stanového mapování, tzn. množina bodů, jejichž oběžné dráhy jsou nestabilní. $\mu\in(1;\sqrt2]$ $[\mu-{\mu^2}/2;{\mu}/2 ]$
- zvětšení ukazuje, že pro μ ≈ 1 se množina Julia skládá z několika intervalů. Diagramy ukazují intervaly 4 a 8 při dostatečném zvětšení.

Schéma bifurkace zobrazující markýzu. Vyšší hustota odpovídá vyšší pravděpodobnosti, že proměnná x nabude dané hodnoty parametru $\mu$
Při zvětšení blízko špičky jsou viditelné 4 intervaly
Další zvětšení ukazuje 8 intervalů

Jestliže , pak intervaly ze segmentu konvergují a množina Julia je celý interval (viz diagram bifurkace). $\mu\in(\sqrt2;2]$ $[\mu-{\mu^2}/2;{\mu}/2 ]$ $[\mu-{\mu^2}/2;{\mu}/2 ]$

Jestliže , pak systém převede segment [0;1] na sebe. V tomto případě jsou periodické body na segmentu husté , takže zobrazení vykazuje náhodnost [2] . Neperiodické chování je jedinečné pro iracionální čísla, což lze ukázat mechanismem, kterým mapování působí na číslo reprezentované v binárním zápisu: posune binární čárku doprava o jedno desetinné místo, a pak, pokud se stalo, být nalevo od čárky je jednotka, zahodí ji a změní všechny jedničky na nuly a naopak (kromě poslední pro čísla s konečným binárním zápisem). Pro iracionální číslo, jehož binární zápis je neperiodický, je to nekonečný proces. Kromě toho stojí za zmínku, že pro stanové mapování je topologicky konjugováno s logistickým mapováním pro a semikonjugováno s mapováním zdvojením , což ukazuje na podobnost dynamických vlastností těchto mapování [3] . Opravdu, nechť je orbita mapovacího stanu pro , a je orbita logistického mapování pro , pak spolu souvisí vztah: . $\mu=2$ $\mu=2$ $r=4$ $\mu=2$ $x_{n}$ $\mu=2$ $y_{n}$ $r=4$ $x_n = \tfrac{2}{\pi}\sin^{-1}(y_{n}^{1/2}).$
Jestliže , Julia množina zobrazení stále obsahuje nekonečný počet periodických i neperiodických bodů, ale téměř všude mají body segmentu tendenci k nekonečnu. Soubor sám se stane kantorským . Zejména sada Julia mapy markýzy pro je standardní sadou Cantor. $\mu\in(2;+\infty)$ $[0;1]$ $\mu=3$

Asymetrické zobrazení markýzy

Předmětem studia teorie dynamických systémů je také asymetrické zobrazení markýzy . Lze si to představit jako rozšíření standardní stanové vitríny: $f_\alpha: [0;1] \šipka doprava [0;1], \alpha \in (1; +\infty)$ $\mu=2$

x_{n+1}=f_\alpha(x_n)=\begin{cases} \alpha x_n & \mathrm{for}~~ 0 \le x_n < \frac{1}{\alpha} \\ \\ \frac {\alpha}{\alpha-1} (1-x_n) & \mathrm{for}~~ \frac{1}{\alpha} \le x_n \le 1 \end{cases}

Asymetrické zobrazení markýzy si zachovává tvar po částech lineární funkce a lze jej použít k zobrazení reálných čísel z analogie s desítkovým zápisem [4] . $[0;1]$

Viz také

Literatura

↑ Lynch, Stephene. "Nelineární diskrétní dynamické systémy." Dynamické systémy s aplikacemi využívajícími Maple. Birkhauser Boston, 2010. 263-295.
↑ Li, Tien-Yien a James A. Yorke. "Třetí období znamená chaos." Americký matematický měsíčník (1975): 985-992.
↑ Smale, Stephen, Morris W. Hirsch a Robert L. Devaney. "Diskrétní dynamické systémy." Diferenciální rovnice, dynamické systémy a úvod do chaosu. sv. 60. Academic Press, 2003. 327-357.
↑ Lagarias, JC, HA Porta a KB Stolarsky. "Asymetrické rozšíření mapy stanu. I. Nakonec periodické body." Journal of the London Mathematical Society 2.3 (1993): 542-556.