Rovnoběžky

Rovnoběžky (z jiného řeckého παράλληλος doslova „jdoucí vedle sebe; jdoucí vedle sebe“) v planimetrii jsou přímky, které se neprotínají . Ve stereometrii se dvě přímky nazývají rovnoběžné, pokud leží ve stejné rovině a neprotínají se.

V euklidovské geometrii

V euklidovské geometrii jsou rovnoběžné čáry přímky, které leží ve stejné rovině a neprotínají se [1] . V jiné verzi definice jsou za rovnoběžné považovány i shodné čáry [2] [3] .

Výhodou druhé definice je, že paralelismus se stává vztahem ekvivalence [4] .

Rovnoběžnost čar a je obvykle označována takto: $m$ $n$ $m\paralelní n.$

Vlastnosti

Přes kterýkoli bod, který neleží na přímce, lze nakreslit přímku rovnoběžnou s danou a navíc pouze jednu . Poslední částí tohoto prohlášení je Euklidův slavný pátý postulát . Odmítnutí pátého postulátu vede ke geometrii Lobačevského (viz níže).
Pokud přímka protíná jednu z rovnoběžných čar, pak protíná druhou (takové přímce se říká sečna ). V tomto případě se vytvoří 8 rohů, z nichž některé charakteristické páry mají speciální názvy a vlastnosti:
- Odpovídající úhly jsou stejné (obr.1).
- Úhly příčného ležení jsou stejné (obr. 2).
- Vnitřní jednostranné úhly se sčítají až o 180° (obr.3).


Obr.1: Odpovídající úhly jsou stejné, . ${\displaystyle \alpha =\alpha _{1))$	Obr.2: Vnitřní úhly příčného ležení jsou stejné, . ${\displaystyle \alpha =\gamma _{1))$	Obr.3: Jednostranné rohy jsou volitelné, . $\alpha +\delta _{1}=180^{\circ }$

Pokud považujeme shodné úsečky za rovnoběžné, pak rovnoběžnost bude binární vztah ekvivalence , který rozděluje celou množinu čar do tříd navzájem rovnoběžných úseček.
Množina bodů v rovině umístěných v určité pevné vzdálenosti od dané přímky na jedné její straně je přímka rovnoběžná s danou přímkou.

Konstrukce rovnoběžných čar

Konstrukci dvou rovnoběžných čar v rovině pomocí kompasu a pravítka lze rozdělit do několika fází:

Konstrukce úsečky , vůči které chcete vytvořit rovnoběžnou čáru. $A$
Konstrukce přímky kolmé k přímce (viz konstrukce kolmice ). $b$ $A$
Konstrukce přímky kolmé k přímce b, která se neshoduje s přímkou (podobně jako konstrukce přímky ). $C$ $A$ $b$

Ve stereometrii

V planimetrii se dvě odlišné čáry buď protínají nebo jsou rovnoběžné. Ve stereometrii je možná třetí možnost - čáry se nemusí protínat, protože neleží ve stejné rovině. Takové čáry se nazývají šikmé čáry .

V Lobačevského geometrii

V geometrii Lobačevského v rovině prochází bodem mimo danou přímku nekonečná množina čar, které se neprotínají . Přímka se nazývá rovnoramenná přímka ve směru od do, pokud: $C$ $AB$ $AB$ $CE$ $AB$ $A$ $B$

body a leží na stejné straně přímky ; $B$ $E$ $AC$
přímka neprotíná přímku , ale každý paprsek procházející uvnitř úhlu paprsek protíná . $CE$ $AB$ $ESO$ $AB$

Podobně je definována přímka, rovnoramenná ve směru od do . $AB$ $B$ $A$

Rovnostranné čáry se také nazývají asymptoticky rovnoběžné nebo jednoduše rovnoběžné . Všechny ostatní přímky, které tuto neprotínají, se nazývají ultraparalelní nebo divergentní [5] .

Vlastnosti

Divergentní rovnoběžné čáry mají jednu společnou kolmici.
- Tato kolmice spojuje nejbližší dvojici bodů na těchto přímkách.

Navzdory tomu, že se asymptoticky rovnoběžné přímky neprotínají, na libovolné dvojici asymptoticky rovnoběžných přímek lze volit libovolně blízké body.

Viz také

Poznámky

↑ Paralelní linie // Velká sovětská encyklopedie : [ve 30 svazcích] / kap. vyd. A. M. Prochorov . - 3. vyd. - M .: Sovětská encyklopedie, 1969-1978.
↑ Zemlyakov A. N. Axiomatický přístup ke geometrii (teze) // Matematické vzdělávání. - 2001. - č. 3 (18) . - S. 4-21 .
↑ Hadamard J. Elementární geometrie . - M. , 1948. - S. 52 .
↑ Shikhanovich Yu.A. Úvod do moderní matematiky (počáteční pojmy). - M. : Nauka, 1965. - S. 259. - 376 s.
↑ Matematická příručka (nepřístupný odkaz) . Získáno 8. července 2016. Archivováno z originálu dne 23. září 2016. (neurčitý)

Slovníky a encyklopedie	Skvělý norský Velký Rus