Přenosová funkce

Přenosová funkce je jedním ze způsobů, jak matematicky popsat dynamický systém . Používá se především v teorii řízení , komunikacích a digitálním zpracování signálů . Představuje diferenciální operátor , který vyjadřuje vztah mezi vstupem a výstupem lineárního stacionárního systému . Se znalostí vstupního signálu systému a přenosové funkce je možné obnovit výstupní signál.

V teorii řízení je přenosovou funkcí spojitého systému poměr Laplaceovy transformace výstupního signálu k Laplaceově transformaci vstupního signálu za nulových počátečních podmínek.

Protože přenosová funkce systému zcela určuje jeho dynamické vlastnosti, je počáteční úkol výpočtu ACS redukován na určení jeho přenosové funkce. Při výpočtech nastavení regulátorů se hojně využívají spíše jednoduché dynamické modely objektů průmyslového řízení. Přenosová funkce je zlomková-racionální funkce komplexní proměnné pro různé systémy.

Lineární stacionární systémy

Dovolit být vstupní signál lineárního stacionárního systému , a být jeho výstupní signál. Pak je přenosová funkce takového systému zapsána jako: $u(t)$ $y(t)$ $W(s)$

W(s)={\frac {Y(s)}{U(s))),

kde je operátor přenosové funkce v Laplaceově transformaci ,

s=\sigma +j\omega

U(s)

a jsou Laplaceovy transformace pro signály , respektive:

Y(s)

u(t)

y(t)

U(s)={\mathcal {L}}\left\{u(t)\right\}\equiv \int \limits _{0}^{+\infty }u(t)e^{ -st}\,dt,

Y(s)={\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\}\equiv \int \limits _{0}^{+\infty }y(t)e^{ -st}\,dt.

Funkce diskrétního přenosu

Pro diskrétní a diskrétně spojité systémy je zaveden koncept diskrétní přenosové funkce . Dovolit být vstupní diskrétní signál takového systému a být jeho diskrétní výstupní signál, . Pak je přenosová funkce takového systému zapsána jako: $u(k)$ $y(k)$ $k=0,1,2,\tečky$ $W(z)$

W(z)={\frac {Y(z)}{U(z)}}

kde a jsou z-transformace pro signály , respektive: $U(z)$ $Y(z)$ $u(k)$ $y(k)$

U(z)={\mathcal {Z}}\left\{u(k)\right\}\equiv \sum _{{k=0}}^{\infty }u(k)z^{{- k))

Y(z)={\mathcal {Z}}\left\{y(k)\right\}\equiv \sum _{{k=0}}^{{\infty }}y(k)z^{ {-k}}

Vztah k jiným dynamickým charakteristikám

AFC systému lze získat z přenosové funkce formálním nahrazením komplexní proměnné za : $s$ $j\omega$

W(j\omega )\equiv W(s),s=j\omega

Impulzní přechodová funkce je původní (ve smyslu Laplaceovy transformace) pro přenosovou funkci.

Vlastnosti přenosové funkce, póly a nuly přenosové funkce

1. U stacionárních systémů (tj. systémů s konstantními parametry komponent) a se soustředěnými parametry je přenosová funkce zlomkově-racionální funkcí komplexní proměnné : $s$

W(s)={\frac {R(s)}{Q(s)}}={\frac {b_{0}s^{m}+b_{1}s^{{m-1}}+ \dots +b_{m}}{a_{0}s^{n}+a_{1}s^{{n-1}}+\dots +a_{n}}}

2. Jmenovatel a čitatel přenosové funkce jsou charakteristické polynomy diferenciální pohybové rovnice lineárního systému. Póly přenosové funkce se nazývají kořeny charakteristického polynomu jmenovatele , nuly jsou kořeny charakteristického polynomu čitatele .

3. Ve fyzikálně realizovatelných systémech nemůže řád polynomu čitatele přenosové funkce překročit řád polynomu jejího jmenovatele , tzn. $m$ $n$ $m\leq n$

4. Impulzní přechodová funkce je původní ( Laplaceova transformace ) pro přenosovou funkci.

5. Formálním nahrazením , se získá komplexní přenosová funkce systému, která jako argument současně popisuje amplitudově-frekvenční (ve formě modulu této funkce) a fázově-frekvenční charakteristiky systému . $s=j\omega$ $W(s)$

Funkce přenosu matice

Pro MIMO systémy je zaveden koncept maticové přenosové funkce . Funkce přenosu matice ze vstupního vektoru systému na vektor výstupu je matice , prvek -tého řádku -tého sloupce představuje přenosovou funkci systému z -té souřadnice vstupního vektoru systému na -tý souřadnice výstupního vektoru. $U(t)$ $Y(t)$ $W=\{w_{i,j}\}$ $i$ $j$ $i$ $j$