Průsečík (euklidovská geometrie)

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 28. prosince 2021; kontroly vyžadují 7 úprav .

Průsečík v euklidovské geometrii je bod nebo křivka sdílená dvěma nebo více objekty (jako jsou křivky, roviny a povrchy ). Nejjednodušším případem je průsečík dvou různých přímek v rovině, která je buď jedním bodem, nebo neexistuje, pokud jsou přímky rovnoběžné .

Úkol najít průsečík rovin - dvourozměrných lineárních geometrických objektů zasazených do vícerozměrného prostoru - je redukován na řešení soustavy lineárních rovnic .

Obecně je průsečík definován soustavou nelineárních rovnic , které lze numericky řešit např. pomocí Newtonovy metody . Problémy s průsečíkem přímky a kuželosečky ( kružnice , elipsa , parabola atd.) nebo kvadriky ( koule , válec , hyperboloid atd.) vedou ke kvadratickým rovnicím , které lze snadno vyřešit. Průsečíky mezi kvadrikami vedou k rovnicím čtvrtého stupně , které lze řešit algebraicky .

V letadle

Dva řádky

Chcete-li najít průsečík dvou nerovnoběžných čar:

{\displaystyle a_{1}x+b_{1}y=c_{1},\ a_{2}x+b_{2}y=c_{2))

lze použít například Cramerovo pravidlo nebo dosazením proměnné souřadnice průsečíku : $(x_{s},y_{s})$

x_{s}={\frac {c_{1}b_{2}-c_{2}b_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}} ,\quad y_{s}={\frac {a_{1}c_{2}-a_{2}c_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}}

(Pokud , pak jsou tyto čáry rovnoběžné, což znamená, že tyto vzorce nelze použít, protože zahrnují dělení 0.) $a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}=0$

Dva segmenty

Pro dva nerovnoběžné úsečky a tento bod nemusí být nutně průsečíkem (viz obrázek), protože průsečík odpovídajících úseček nemusí být obsažen v úsecích. Pro kontrolu situace se používají parametrické reprezentace čar: $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})$ $(x_{3},y_{3}),(x_{4},y_{4})$ $(x_{0}, y_{0})$

(x(s),y(s))=(x_{1}+s(x_{2}-x_{1}),y_{1}+s(y_{2}-y_{1} )),

(x(t),y(t))=(x_{3}+t(x_{4}-x_{3}),y_{3}+t(y_{4}-y_{3} )).

Segmenty se protínají pouze ve společném bodě odpovídajících čar, pokud odpovídající parametry splňují podmínku . Parametry jsou řešením lineárního systému $(x_{0}, y_{0})$ $s_{0},t_{0}$ $0\leq s_{0},t_{0}\leq 1$ $s_{0},t_{0}$

s(x_{2}-x_{1})-t(x_{4}-x_{3})=x_{3}-x_{1},

s(y_{2}-y_{1})-t(y_{4}-y_{3})=y_{3}-y_{1}\ .

Lze to vyřešit pro s a t pomocí Cramerova pravidla (viz výše ). Pokud je podmínka splněna , pak se do odpovídajícího parametrického zobrazení vloží nebo a získá se průsečík . $0\leq s_{0},t_{0}\leq 1$ $s_{0}$ $t_0$ $(x_{0}, y_{0})$

Příklad: Pro segmenty je získán lineární systém $(1,1),(3,2)$ $(1,4),(2,-1)$

2s-t=0

s+5t=3

a . To znamená: čáry se protínají v bodě . $s_{0}={\tfrac {3}{11)),t_{0}={\tfrac {6}{11}}$ $({\tfrac {17}{11)),{\tfrac {14}{11)))$

Poznámka: Pokud vezmeme v úvahu přímky spíše než segmenty definované dvojicemi bodů, každou podmínku lze vynechat a metoda poskytne průsečík čar (viz výše ). $0\leq s_{0},t_{0}\leq 1$

Čára a kružnice

Pro průsečík úsečky a kružnice vyřešte lineární rovnici pro x nebo y a dosaďte do kruhové rovnice a získejte řešení (pomocí vzorce kvadratické rovnice) s: $ax+by=c$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2))$ $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})$

x_{1/2}={\frac {ac\pm b{\sqrt {r^{2}(a^{2}+b^{2})-c^{2)))){ a^{2}+b^{2}}}

y_{1/2}={\frac {bc\mp a{\sqrt {r^{2}(a^{2}+b^{2})-c^{2)))){ a^{2}+b^{2}}}

pokud . Pokud je tato podmínka splněna s přísnou nerovností, pak existují dva průsečíky; v tomto případě se přímka nazývá sečna kružnice a úsečka spojující průsečíky se nazývá tětiva kružnice. $r^{2}(a^{2}+b^{2})-c^{2}\geq 0$

Jestliže , pak existuje pouze jeden průsečík a přímka je tečnou ke kružnici. Není-li slabá nerovnost splněna, přímka kružnici neprotíná. $r^{2}(a^{2}+b^{2})-c^{2}=0$

Pokud střed kružnice není počátkem [1] , lze uvažovat o průsečíku přímky a paraboly nebo hyperboly.

Dva kruhy

Určení průsečíků dvou kružnic:

(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}=r_{1}^{2},\ \quad (x-x_{2})^ {2}+(y-y_{2})^{2}=r_{2}^{2}

redukuje na předchozí případ průsečíku přímky a kružnice. Odečtením těchto dvou rovnic získáme lineární rovnici:

2(x_{2}-x_{1})x+2(y_{2}-y_{1})y=r_{1}^{2}-x_{1}^{2}-y_ {1}^{2}-r_{2}^{2}+x_{2}^{2}+y_{2}^{2}.

Tato konkrétní čára je radikální osou dvou kruhů .

Zvláštní případ ; v tomto případě je počátkem střed prvního kruhu a druhý střed leží na ose x (viz obrázek $\;x_{1}=y_{1}=y_{2}=0$ [ upřesnit ] ). Rovnice radikálové přímky se zjednoduší na: a průsečíky lze zapsat jako s $\;2x_{2}x=r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+x_{2}^{2}\;$ $(x_{0},\pm y_{0})$

x_{0}={\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+x_{2}^{2}}{2x_{2}}},\quad y_ {0}={\sqrt {r_{1}^{2}-x_{0}^{2))}\ .

V případě kruhu nemají společné body. V případě kružnic mají jeden společný bod a radikální osa je společná tečna. $r_{1}^{2}<x_{0}^{2}$
$r_{1}^{2}=x_{0}^{2}$

Jakýkoli obecný případ, jak je popsáno výše, lze posunutím a otáčením změnit na speciální případ.

Průsečík dvou kružnic (vnitřek dvou kružnic) tvoří tvar nazývaný čočka .

Dvě kuželosečky

Problém průsečíku elipsy , hyperboly , paraboly s další kuželosečkou je redukován na soustavu kvadratických rovnic , kterou lze v konkrétních případech snadno vyřešit odstraněním jedné souřadnice. K získání řešení lze využít speciální vlastnosti kuželoseček . Obecně lze průsečíky určit řešením rovnice pomocí Newtonovy iterace. Jestliže a) jsou obě kuželosečky dány implicitně (pomocí rovnice), je potřeba dvourozměrná Newtonova iterace; b) jeden implicitně a druhý parametricky - je nutné, aby byla zadána Newtonova 1-rozměrná iterace.

Dvě hladké křivky

Dvě křivky v (dvourozměrném prostoru), které jsou spojitě diferencovatelné (tj. neexistuje žádný ostrý ohyb), mají průsečík, pokud mají společný bod v rovině a mají v tomto bodě $\mathbb {R} ^{2}$

a: různé tečny ( příčný průnik ) popř b: tečna je společná a vzájemně se protínají (tangenciální průnik , viz obrázek).

Pokud mají obě křivky společný bod S a tečnu, ale vzájemně se neprotínají, jednoduše se v bodě S „dotýkají“.

Vzhledem k tomu, že dotyky křižovatek jsou vzácné a obtížně ovladatelné, následující úvahy neberou tento případ v úvahu. V každém případě jsou všechny nezbytné diferenciální podmínky předpokládány níže. Určení průsečíků má vždy za následek jednu nebo dvě nelineární rovnice, které lze vyřešit pomocí Newtonovy iterace. Seznam případů, které nastanou, je následující:

Jsou-li obě křivky uvedeny explicitně : , dáváme rovnici rovnítko $y=f_{1}(x),\ y=f_{2}(x)$

f_{1}(x)=f_{2}(x)\ .

Pokud jsou obě křivky zadány parametricky : $C_{1}:(x_{1}(t),y_{1}(t)),\ C_{2}:(x_{2}(s),y_{2}(s)).$

Když je porovnáme, dostaneme dvě rovnice se dvěma proměnnými:

x_{1}(t)=x_{2}(s),\ y_{1}(t)=y_{2}(s)\ .

Pokud je jedna křivka zadána parametricky a druhá implicitně : $C_{1}:(x_{1}(t),y_{1}(t)),\ C_{2}:f(x,y)=0.$

Toto je nejjednodušší případ kromě explicitního. Musíte vložit parametrickou reprezentaci do rovnice křivky a dostanete rovnici:

C_{1}

f(x,y)=0

C_{2}

f(x_{1}(t),y_{2}(t))=0\ .

Pokud jsou obě křivky uvedeny implicitně : $C_{1}:f_{1}(x,y)=0,\ C_{2}:f_{2}(x,y)=0.$

Zde je průsečíkem řešení systému

f_{1}(x,y)=0,\ f_{2}(x,y)=0\ .

Jakákoli iterace Newtona vyžaduje pohodlné počáteční hodnoty, které lze získat vizualizací obou křivek. Parametricky nebo explicitně definovaná křivka může být snadno vizualizována, protože pro jakýkoli parametr t nebo x je snadné vypočítat odpovídající bod. U implicitně definovaných křivek není tento úkol tak jednoduchý. V tomto případě je nutné určit bod křivky pomocí počátečních hodnot a iterací [2] .

Příklady:

1: a kruh (viz schéma).

C_{1}:(t,t^{3})

C_{2}:(x-1)^{2}+(y-1)^{2}-10=0

Newtonova iterace pro funkci

t_{n+1}:=t_{n}-{\frac {f(t_{n})}{f'(t_{n))}}

f(t)=(t-1)^{2}+(t^{3}-1)^{2}-10

Musí být hotovo. Jako počáteční hodnoty můžete zvolit −1 a 1,5. Průsečíky: (−1,1073, −1,3578), (1,6011, 4,1046) 2:

C_{1}:f_{1}(x,y)=x^{4}+y^{4}-1=0,

C_{2}:f_{2}(x,y)=(x-0,5)^{2}+(y-0,5)^{2}-1=0

(viz schéma). Newtonova iterace

{x_{n+1} \choose y_{n+1}}={x_{n}+\delta _{x} \choose y_{n}+\delta _{y}}

musí být splněno, kde je řešení lineárního systému

{\delta _{x} \choose \delta _{y))

{\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x}}&{\frac {\partial f_{1}}{\partial y}}\\{\frac { \partial f_{2}}{\partial x}}&{\frac {\partial f_{2}}{\partial y}}\end{pmatrix}}{\delta _{x} \choose \delta _{ y}}={-f_{1} \vyberte -f_{2}}

v bodě . Jako počáteční hodnoty můžete vybrat (−0,5, 1) a (1, −0,5).

(x_{n},y_{n})

Lineární systém lze řešit pomocí Cramerova pravidla. Průsečíky jsou (−0,3686, 0,9953) a (0,9953, −0,3686).

Dva polygony

Pokud chceme určit průsečíky dvou polygonů , můžeme zkontrolovat průsečík libovolné dvojice úseček polygonů (viz výše ). U polygonů s velkým počtem segmentů je tato metoda značně pracná. V praxi je algoritmus průniku urychlen pomocí testů oken . V tomto případě můžete rozdělit mnohoúhelníky na malé podpolygony a definovat nejmenší okno (obdélník se stranami rovnoběžnými se souřadnicovými osami) pro jakýkoli podpolygon. Před zahájením pracného určování průsečíku dvou úseček se zkontroluje libovolná dvojice oken na přítomnost společných bodů [3]

Ve vesmíru (tři rozměry)

Ve 3D prostoru existují průsečíky (společné body) mezi křivkami a plochami. V následujících částech se budeme zabývat pouze příčným průnikem .

Čára a rovina

Průsečík přímky a roviny v obecné poloze ve třech rozměrech je bod.

Obvykle je přímka v prostoru reprezentována parametricky a rovina je reprezentována rovnicí . Vložením reprezentace parametru do rovnice vznikne lineární rovnice $(x(t),y(t),z(t))$ $ax+by+cz=d$

ax(t)+by(t)+cz(t)=d\ ,

pro parametr průsečíku . $t_0$ $(x(t_{0}),y(t_{0}),z(t_{0}))$

Pokud lineární rovnice nemá řešení, buď přímka leží v rovině, nebo je s ní rovnoběžná.

Tři letadla

Pokud je přímka definována dvěma protínajícími se rovinami a musí být protnuta třetí rovinou , je třeba odhadnout společný průsečík těchto tří rovin. $\varepsilon _{i}:\ {\vec {n}}_{i}\cdot {\vec {x}}=d_{i},\ i=1,2$ $\varepsilon _{3}:\ {\vec {n}}_{3}\cdot {\vec {x}}=d_{3}$

Tři roviny s lineárně nezávislými normálovými vektory mají průsečík $\varepsilon _{i}:\ {\vec {n}}_{i}\cdot {\vec {x}}=d_{i},\ i=1,2,3$ ${\vec {n}}_{1},{\vec {n}}_{2},{\vec {n}}_{3}$

{\vec {p}}_{0}={\frac {d_{1}({\vec {n}}_{2}\times {\vec {n}}_{3})+ d_{2}({\vec {n}}_{3}\times {\vec {n}}_{1})+d_{3}({\vec {n}}_{1}\times { \vec {n}}_{2})}{{\vec {n}}_{1}\cdot ({\vec {n}}_{2}\times {\vec {n}}_{3 })}}\ .

Pro důkaz by měl být stanoven pomocí pravidel trojitého skalárního součinu . Je-li součin trojitého bodu roven 0, pak roviny buď nemají trojitý průsečík, nebo je to přímka (nebo rovina, pokud jsou všechny tři roviny stejné). ${\vec {n}}_{i}\cdot {\vec {p}}_{0}=d_{i},\ i=1,2,3,$

Křivka a plocha

Podobně jako v případě roviny vedou následující případy k nelineárním systémům, které lze vyřešit pomocí Newtonovy 1- nebo 3-rozměrné iterace [4] :

parametrická křivka a $C:(x(t),y(t),z(t))$

parametrický povrch

S:(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\ ,

parametrická křivka a $C:(x(t),y(t),z(t))$

implicitní povrch

S:f(x,y,z)=0\ .

Příklad:

parametrická křivka a

C:(t,t^{2},t^{3})

implicitní plocha (viz obrázek).

S:x^{4}+y^{4}+z^{4}-1=0

Průsečíkové body: (−0,8587, 0,7374, −0,6332), (0,8587, 0,7374, 0,6332).

Průsečík přímky a koule je speciální případ.

Stejně jako v případě přímky a roviny se průsečík křivky a plochy v obecné poloze skládá z diskrétních bodů, ale křivka může být částečně nebo zcela obsažena v ploše.

Čára a mnohostěn

Dvě plochy

Dvě příčně se protínající plochy dávají průsečíkovou křivku . Nejjednodušším případem je průsečík dvou nerovnoběžných rovin.

Poznámky

↑ Hartmann, 2003 , str. 17.
↑ Hartmann, 2003 , str. 33.
↑ Hartmann, 2003 , str. 79.
↑ Hartmann, 2003 , str. 93.

Literatura

Erich Hartmann. Geometrie a algoritmy pro počítačově podporované navrhování . — Technická univerzita v Darmstadtu, 2003.