Úplný čtyřúhelník (někdy se používá termín kompletní čtyři vrcholy ) je systém geometrických objektů sestávající z libovolných čtyř bodů na rovině , z nichž žádné tři neleží na stejné přímce, a šesti čar spojujících šest párů bodů. Konfigurace duální až úplný čtyřúhelník - úplný čtyřúhelník - je systém čtyř čar, z nichž žádné tři neprocházejí stejným bodem, a šesti průsečíků těchto čar. Lachlan [1] používal název tetrastigma [2] pro úplný čtyřúhelník a tetragam pro úplný čtyřúhelník . Tyto termíny, i když jsou vzácné, se v literatuře vyskytují.
Obrazec sestávající ze čtyř bodů na rovině, z nichž žádné tři nejsou kolineární a šesti čar spojujících je ve dvojicích, se nazývá úplný čtyřúhelník . Strany, které nemají společný vrchol v úplném čtyřúhelníku, se nazývají opačné . Průsečíky tří dvojic protilehlých stran se nazývají diagonální body [3] .
Obrazec sestávající ze čtyř přímek v rovině, z nichž žádné tři se nesbíhají v jednom bodě a šesti bodů jejich párového průsečíku, se nazývá úplný čtyřúhelník . Čtyři přímky se nazývají strany a šest bodů se nazývá vrcholy čtyřúhelníku. Vrcholy, které nepřiléhají ke stejné straně, se nazývají opačné . Přímky spojující tři dvojice protilehlých vrcholů se nazývají úhlopříčky [3] .
Série šesti (pěti, čtyř) bodů, kde strany úplného čtyřúhelníku protínají určitou přímku, se nazývá řada bodů generovaných úplným čtyřúhelníkem [4] . Pokud taková přímka prochází dvěma diagonálními body A a C a B a D jsou body, kde další dvě strany protínají přímku AC , pak se dvojice bodů AC a BD nazývají harmonické čtverce a označují se H(AC, BD ) . Body B a D se nazývají harmonické vzhledem k A a C a bod D (nebo B ) se nazývá harmonicky konjugovaný k bodu B (nebo D ) vzhledem k dvojici bodů A a D [5] .
Pokud existuje korespondence mezi body dvou obrazců, takže čáry spojující každou dvojici odpovídajících si bodů se sbíhají v nějakém bodě O , pak se obrazce nazývají perspektivní vzhledem ke středu O [3] .
Jestliže existuje korespondence mezi přímkami dvou obrazců tak, že průsečíky každé dvojice odpovídajících čar leží na stejné přímce l , pak se tyto obrazce nazývají perspektivní vzhledem k ose l .
Po objevu Fanovy roviny , konečné geometrie , ve které jsou body úhlopříčky úplného čtyřúhelníku kolineární , někteří autoři přidávají k axiomům projektivní geometrie Fanoův axiom , který předpokládá, že diagonální body nejsou kolineární [6] [7] .
Jako systém bodů a přímek, ve kterém všechny body patří ke stejnému počtu přímek a všechny přímky obsahují stejný počet bodů, jsou úplný čtyřúhelník a úplný čtyřúhelník projektivní konfigurace . V projektivním konfiguračním zápisu se úplný čtyřúhelník zapisuje jako (4 3 6 2 ), úplný čtyřúhelník jako (6 2 4 3 ), kde čísla v tomto zápisu udávají počet bodů, počet čar procházejících každým bodem. , počet čar a počet bodů na každé přímce. Projektivní duální konfigurace úplného čtyřúhelníku je úplný čtyřúhelník a naopak. Pro libovolné dva úplné čtyřúhelníky nebo jakékoli dva úplné čtyřúhelníky existuje jedinečná projektivní transformace , která transformuje jednu z konfigurací na druhou [8] .
Karl Staudt transformoval základy matematiky v roce 1847 pomocí úplného čtyřúhelníku, když si všiml, že "harmonické vlastnosti" jsou založeny na průvodních vlastnostech čtyřúhelníku - průsečíků protilehlých stran čtyřúhelníku a průsečíku úhlopříček s linie procházející těmito body tvoří harmonický kvartet . Učenci moderní geometrie a algebry upozornili na Staudtův vliv na Maria Pieriho a Felixe Kleina .
Wells [9] popisuje některé další vlastnosti úplných čtyřúhelníků, které využívají metrické vlastnosti euklidovské roviny , které nejsou čistě projektivní. Středy úhlopříček jsou kolineární a (jak dokázal Isaac Newton ) střed kuželosečky leží na stejné přímce , tečné ke čtyřúhelníku čtyřmi přímkami. Jakékoli tři rovné čtyřúhelníky tvoří strany trojúhelníku. Ortocentra čtyř takto vytvořených trojúhelníků leží na další přímce kolmé k první přímce (procházející středy úhlopříček). Opsané kružnice těchto čtyř trojúhelníků se protínají v jednom bodě. Navíc tři kružnice konstruované na úhlopříčkách jako průměry náleží jedné tužce kružnic [10] , jejichž osa prochází ortocentry.
Polární kružnice trojúhelníků úplného čtyřúhelníku tvoří soustavu souosých kružnic [11] .