Glacier-Kinkelin konstanta

Glaisher-Kinkelinova konstanta v matematice je reálné číslo označované  A , které je spojeno s K-funkcí a Barnesovou G-funkcí a může být také vyjádřeno jako hodnota derivace Riemannovy zeta funkce ,

.

Tato konstanta se objevuje v různých součtech a integrálech, zejména v těch, které zahrnují funkci gama nebo Riemannovu zeta funkci .

Číselná hodnota Glaisher-Kinkelinovy ​​konstanty je vyjádřena jako nekonečný desetinný zlomek [1] [2] :

A = 1,282427129100622636875342568869791727767688927 … (sekvence A074962 v OEIS )

Byl pojmenován po anglickém matematikovi Jamesi Whitbreadovi Lee Glaisherovi ( 1848-1928) a švýcarském matematikovi Hermannu Kinkelinovi ( 1832-1913 ), kteří o něm uvažovali ve svých dílech [3] [4] .

Reprezentace pomocí K-funkce a Barnesovy G-funkce

Pro kladné celočíselné hodnoty argumentu lze K-funkci reprezentovat jako

Souvisí to s Barnesovou G-funkcí , kterou lze pro kladné celočíselné hodnoty argumentu reprezentovat jako

kde je funkce gama , .

Glaisher-Kinkelinovu konstantu A lze definovat jako limitu [5]

nebo resp.

.

Je také známo, že [6]

.

Vztah k Riemannově funkci zeta

Glaischer-Kinkelinova konstanta A souvisí s derivací Riemannovy zeta funkce pro některé celočíselné hodnoty argumentu [5] [7] , zejména

kde je Euler-Mascheroniho konstanta .

Některé integrály a součty

Glaischer-Kinkelinova konstanta se objevuje v určitých integrálech a nekonečných součtech [5] ,

, , .

Tuto konstantu lze také reprezentovat jako součet [8] [9] , což vyplývá z reprezentace pro Riemannovu zeta funkci získané Helmutem Hassem ,

,

kde je binomický koeficient .

Poznámky

  1. Fredrik Johansson a kol. 20 000 číslic Glaisher-Kinkelinovy ​​konstanty A = exp(1/12 - zeta'(-1))  (anglicky) (HTML)  (downlink) . mpmath.googlecode.com. Získáno 11. září 2012. Archivováno z originálu 31. října 2012.
  2. A074962 - Desetinné rozšíření Glaisher-Kinkelinovy ​​konstanty A  (anglicky) (HTML). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS), oeis.org. Získáno 11. září 2012. Archivováno z originálu 31. října 2012.
  3. Hermann Kinkelin , Ueber eine mit der Gammafunction verwandte Transcendente und deren Anwendung auf die Integralrechnung Archivováno 16. ledna 2016 ve Wayback Machine , Journal für die reine und angewandte2 Mathematik 57, pp 2 –18160
  4. JWL Glaisher , O produktu 1¹.2².3³...nⁿ , The Messenger of Mathematics 7, 1878, str. 43–47
  5. 1 2 3 Eric W. Weisstein. Glaisher–Kinkelin Constant  (anglicky) na webu Wolfram MathWorld .
  6. J. Choi a HM Srivastava. Určité třídy řad zahrnujících funkci Zeta  //  Journal of Mathematical Analysis and Applications. - 1999. - Sv. 231 . - S. 91-117. - doi : 10.1006/jmaa.1998.6216 .
  7. Weisstein, Eric W. Riemann Funkce Zeta  na webu Wolfram MathWorld .
  8. Jesus Guillera a Jonathan Sondow (2005), Dvojné integrály a nekonečné součiny pro některé klasické konstanty prostřednictvím analytických pokračování Lerchova transcendentna, arΧiv : math.NT/0506319 . 
  9. Ježíš Guillera a Jonathan Sondow. Dvojné integrály a nekonečné součiny pro některé klasické konstanty prostřednictvím analytických pokračování Lerchova transcendentna  // Ramanujan Journal  [ . - 2008. - Sv. 16 . - S. 247-270. - doi : 10.1007/s11139-007-9102-0 .

Odkazy