Flow (teorie geometrických měření)

Tok je zobecněním konceptu podvariety , který hraje klíčovou roli v teorii geometrické míry . Zejména toky se obvykle používají k prokázání existence minimálních povrchů se singularitami.

Toky jsou definovány jako zobecněné funkce - tok je lineární funkcionál na prostoru diferenciálních forem .

Definice

Označeno prostorem hladkých forem s kompaktní podporou na hladkém potrubí . Tok je definován jako lineární funkcionál na spojitém ve smyslu rozdělení . Tedy lineární funkcionál $\Omega _{c}^{m}(M)$ $m$ $M$ $\Omega _{c}^{m}(M)$

T\colon \Omega _{c}^{m}(M)\to \mathbb {R}

je tok, jestliže pro libovolnou posloupnost hladkých forem, jejichž nosiče smyku leží v jedné kompaktní množině, konvergující k nulovému tvaru v máme $m$ $\omega_{k}$ $C^\infty$

T(\omega _{k})\to 0

Poznámky

Prostor - dimenzionální proudy do tohoto skutečného vektorového prostoru . ${\mathcal {D}}_{m}(M)$ $m$ $M$

Mnoho vlastností generických funkcí se přenáší do proudů. Například lze definovat proudovou nosnou jako doplněk maximální otevřené množiny tak, že $T$ $U\subset M$ $T(\omega )=0$ pro jakoukoli formu . $\omega \in \Omega _{c}^{m}(U)$
- Prostor -dimenzionální toky s kompaktní podporou se obvykle označují . $m$ ${\mathcal {E}}_{m}(M)$

Prostor toků je přirozeně vybaven slabou topologií. $T_{k}\to T\quad \iff \quad T_{k}(\omega )\to T(\omega ),\qquad \forall \omega .\,$

Normy

Je možné definovat několik norem na podprostor prostoru všech toků. Jednou z těchto norem je hmotnost .

\mathbf {M} (T):=\sup\{T(\omega )\colon \sup _{x}|\vert \omega (x)|\vert \leq 1\},

kde je -norma na prostoru forem. $|\vert \omega (x)\vert |$ $L^{\infty }$

Hmotnost toku je přirozeným zobecněním objemu podvariety.

Plochá norma, definovaná jako

\mathbf {F} (T):=\inf\{\mathbf {M} (T-\částečné A)+\mathbf {M} (A)\dvojtečka A\in {\mathcal {E)) _{m+1}\}.

Literatura

Federer G. Teorie geometrické míry. - 1987. - 760 s.