Předaditivní kategorie

Preaditivní kategorie je kategorie obohacená nad kategorií abelovských grup , tedy taková kategorie, že pro kterýkoli z jejích objektů má množina strukturu abelovské grupy přidáním, zatímco složení morfismů je bilineární : $A$ $B$ ${\text{Hom}}(A,B)$

(g_{1}+g_{2})\circ f=g_{1}\circ f+g_{2}\circ f

g\circ (f_{1}+f_{2})=g\circ f_{1}+g\circ f_{2}

Předaditivní kategorie se někdy také nazývá -kategorie [1] . $Ab$

Příklady

Kategorie abelovských skupin . ${\mathbf {Ab))$
Kategorie levých R-modulů a pravých R-modulů . $R{\mbox{-}}{\mathbf {Mod}}$ ${\mathbf {Mod}}{\mbox{-}}R$

Aditivní funktory

Funktor se nazývá aditivní , pokud je každé zobrazení homomorfismem abelovských grup. $T\dvojtečka A\to B$ $T\colon {\text{Hom}}_{A}(a_{1},a_{2})\to {\text{Hom}}_{B}(Ta_{1},Ta_{2})$

Jestliže a jsou kategoriemi a jsou preaditivní, pak je kategorie funktorů rovněž preaditivní, protože přirozené transformace lze sčítat přirozeným způsobem. Pokud je také preaditivní, pak je kategorie aditivních funktorů a přirozených transformací rovněž preaditivní. ${\mathcal C}$ ${\mathcal D}$ ${\mathcal D}$ $Funct({\mathcal C}, {\mathcal D})$ ${\mathcal C}$ $Přidat ({\mathcal C}, {\mathcal D})$

Poslední příklad vede ke zobecnění pojmu modul : pokud je předaditivní, pak se kategorie nazývá kategorie modulů nad . Pokud je předaditivní kategorie jednoho objektu - rings , vede to k obvyklé definici (levých) -modulů. ${\mathcal C}$ $Mod({\mathcal C}):=Add({\mathcal C},{\mathbf {Ab)))$ ${\mathcal C}$ ${\mathcal C}$ $R$ $R$

$Ab{\mbox{-}}{\mathbf {Cat}}$ je kategorie všech malých -kategorií, jejichž morfismy jsou aditivními funktory. $Ab$

Zvláštní příležitosti

Prsten je předaditivní kategorie jednoho předmětu.
Aditivní kategorie je předaditivní kategorie s konečnými produkty .
Abelovská kategorie je aditivní kategorie, ve které jsou jádra a kokernely a každý monomorfismus a každý epimorfismus je normální .

Poznámky

↑ McLane S. Kapitola 1. Kategorie, funktory a přirozené transformace // Kategorie pro pracujícího matematika = Kategorie pro pracujícího matematika / Per. z angličtiny. vyd. V. A. Artamonová. - M .: Fizmatlit, 2004. - S. 17-42. — 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .

Literatura

Nicolae Popescu ; 1973; Abelian kategorie s aplikacemi pro prsteny a moduly; Academic Press Inc. — ISBN 0-12-561550-7 .