PředHilbertův prostor

Pre-Hilbertův prostor (někteří autoři mají také euklidovský prostor ) je skutečný nebo komplexní lineární prostor se skalárním součinem definovaným na něm . Není nutně kompletní , na rozdíl od Hilbertova prostoru . Široce používán ve funkční analýze a příbuzných disciplínách.

Definice

Dvojice se nazývá pre-Hilbertův prostor, pokud je lineární prostor a je definován skalárním součinem. (Obvykle to znamená vnitřní produkt v obvyklém slova smyslu, tedy kladně definitivu.) $\left(X,\langle\cdot , \cdot\rangle\right)$ $X$ $\langle\cdot , \cdot\rangle$ $X$

Norma

PředHilbertův prostor lze považovat za normalizovaný , protože vnitřní produkt vytváří přirozenou normu :

\| x \| = \sqrt{\langle x, x \rangle},\quad x \in X

V případech, kdy skalární součin není striktně kladně definitní, totiž je zvolen tak, že může být nulový pro nenulové (což může být obtížné se vyhnout v některých nekonečně-dimenzionálních případech), pak výše uvedený výraz nedává normu, ale jen seminorma . $X$

Vlastnosti

Von Neumann-Yordmannův teorém : platí- li zákon rovnoběžníku v seminormovaném prostoru , pak je předHilbertův, to znamená, že existuje (a navíc jediný) skalární součin takový, že . $(H,\;\|\cdot\|)$ $(H,\;\|\cdot\|)$ $(\cdot ,\cdot )$ $\|x\|=(x,x)^{1/2}$

Příklad

V teorii Fourierových řad je široce používán pre-Hilbertův prostor reálných funkcí s integrovatelným čtvercem

L^2([a,b]) = \left\{f\colon[a,b] \to \R\,\left|\,\int\limits_a^b\!f^2(x)\, dx < \infty\right.\right\},

pokud je bodový součin definován jako

\langle f, g\rangle = \int\limits_{a}^{b}\!f(x) g(x)\,dx,\quad f,g \in L^2\big([a,b ]\velký).

Takto zavedený skalární součin nedává normu, ale pouze seminormu, pokud neidentifikujeme funkce, které se liší pouze na množině nulové míry (jak je tomu u standardní konstrukce prostoru L 2 ).

Viz také

Euklidovský prostor

Příspěvek Davida Hilberta k vědě
prostory	Hilbertův prostor PředHilbertův prostor Gilbertova cihla
axiomatika	Hilbertova axiomatika
Věty	Hilbertova věta 90 Hilbertova základní věta Hilbertova nulová věta Hilbert-Schmidtova věta
Operátoři	Hilbertova transformace Operátor Hilbert-Schmidt
Obecná teorie relativity	Einstein-Hilbertovy rovnice " Hilbert a rovnice gravitačního pole "
jiný	Hilbertovy problémy Hilbertova křivka Hilbertova matice Problém Hilbert-Arnold Hilbertova řada a Hilbertův polynom Paradox "Grand Hotel"