Skákání Vieta

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 4. ledna 2021; kontroly vyžadují 12 úprav .

Skákání Vieta ( odrážející kořeny ) je metoda důkazu používaná v teorii čísel ; nejčastěji se používá pro úlohy, ve kterých je dán poměr mezi dvěma přirozenými čísly a je třeba dokázat nějaké tvrzení s nimi související. Existuje několik variant metody, které nějak souvisí s obecným tématem nekonečného sestupu , kdy z daného řešení se pomocí  Vietových vzorců najde nové (menší) řešení .

Historie

Vieta jumping je relativně nová metoda pro řešení  olympijských matematických problémů . První takový problém byl navržen na 29. mezinárodní matematické olympiádě  v roce 1988 a tento problém byl považován za nejobtížnější z těch navržených na olympiádě: [1]

Žádný ze šesti členů australské Task Commission nebyl schopen tento problém vyřešit. Dva z nich jsou György Sekeres a jeho žena, oba známí řešitelé a spisovatelé problémů. Protože se jednalo o problém teorie čísel, byl zaslán čtyřem nejslavnějším australským matematikům, kteří byli specialisty v této oblasti. Byli požádáni, aby na tom pracovali šest hodin. Nikdo z nich to během této doby nedokázal vyřešit. Úkolová komise jej představila porotě 29. ročníku MMO a označila jej dvěma hvězdičkami. To znamenalo, že úkol byl extrémně obtížný; možná až příliš složitý na to, aby byl nabízen účastníkům olympiády. Po dlouhé diskuzi si ji přesto porota dovolila navrhnout jako poslední problém na olympiádě. Její přesná řešení prezentovalo jedenáct studentů.Artur Engel

Mezi jedenácti studenty, kteří za vyřešení tohoto problému získali maximální skóre, byl budoucí  laureát Fields  Ngo Bao Chau (16 let) [2] . Dva další budoucí vítězové Fields ,  Terence Tao (12 let) a Elon Lindenstrauss (17 let), získali za šestý problém každý pouze jeden bod [3] .

Vieta Standard Jumps

Standardní skoky Viety provádějí  důkaz kontradikcí  ve třech krocích: [4]

  1. Předpokládá se, že existují čísla související s tímto vztahem, ale nesplňující dokazované tvrzení.
  2. Uvažuje se minimální řešení ( A , B ) s ohledem na nějakou funkci (například A + B ). Původní poměr se pak převede na kvadratickou rovnici s koeficienty závislými na B a jeden z jejích kořenů je roven A . Pomocí vzorců Vieta je nalezen druhý kořen této rovnice.
  3. Je ukázáno, že druhý kořen dává řešení, které má menší hodnotu zvolené funkce. Je zde tedy rozpor s minimalizací hodnoty funkce na původním řešení, a proto je předpoklad z kroku 1 nepravdivý.
Příklad

MMO 1988, Úloha 6. Nechť aab jsou  kladná celá čísla taková, že ab + 1 dělí a 2 + b 2 . Dokázat toa 2 + b 2ab +1 je dokonalý čtverec . [5] [6]

  1. Nechť k =a 2 + b 2ab +1. Předpokládejme, že existuje nějaké řešení, pro které k není dokonalý čtverec.
  2. Pro takovou hodnotu k uvažujme řešení ( A , B ) , které minimalizuje hodnotu A + B . Bez ztráty obecnosti můžeme předpokládat, že A ≥ B . Přepsáním výrazu pro k a nahrazením A za x dostaneme kvadratickou rovnici  x 2 - ( kB ) x + ( B 2 - k ) = 0 . Podle konstrukce je x 1 = A kořenem této rovnice. Podle vzorců Vieta může být druhý kořen reprezentován jako x 2 \ u003d kB - A \u003dB2 – k _A.
  3. Z prvního výrazu pro x 2 vyplývá, že x 2 je celé číslo a z druhého, že x 2 ≠ 0 . Protože k =x 2 2 + B 2x 2 B + 1> 0 , pak x 2 je kladné. Nakonec z A ≥ B  vyplývá, že x 2 = B2 – k _A< A a tedy  x 2 + B < A + B , což je v rozporu s minimalizací řešení ( A , B ) .

Nepřetržitý sestup skokem Vieta

Vietova metoda nepřetržitého skokového sestupu se používá k prokázání určitého tvrzení o konstantě k , která závisí na poměru mezi celými čísly a a b . Na rozdíl od standardních skoků Viety není souvislé klesání prokázáno rozporem a skládá se z následujících čtyř kroků [7] :

  1. Případ rovnosti a = b je posuzován samostatně . V následujícím se předpokládá, že a > b .
  2. Hodnoty b a k jsou pevné . Vztah mezi a , b  a k je redukován do tvaru kvadratické rovnice s koeficienty závislými na b a k , jejíž jeden kořen je x 1 = a . Druhý kořen x 2 se určí pomocí vzorců Vieta. 
  3. Je ukázáno, že pro všechny ( a , b ) větší než některé základní hodnoty je splněna nerovnost 0 < x 2 < b < a a x 2 je celé číslo. Z řešení ( a , b ) lze tedy přejít k řešení ( b , x 2 ) a tento proces opakovat, dokud nezískáme řešení se základními hodnotami.
  4. Tvrzení je dokázáno pro základní hodnoty. Protože k zůstává během sestupu neměnné, znamená to, že platnost tvrzení je prokázána pro všechny uspořádané dvojice ( a , b ) .
Příklad

Nechť kladná celá čísla  aab jsou  taková, že ab dělí a 2 + b 2 + 1 . Je třeba dokázat, že 3 ab = a 2 + b 2 + 1 . [osm]

  1. Jestliže a = b , pak a 2 musí dělit 2 a 2 + 1 . Odtud a = b = 1  a tedy 3(1)(1) = 1 2 + 1 2 + 1 . V následujícím bez ztráty obecnosti předpokládáme, že a > b .
  2. Nechť k =a 2 + b 2 + 1ab. Transformací této rovnosti a nahrazením a  za x získáme kvadratickou rovnici x 2 − ( kb ) x + ( b 2 + 1) = 0 , jejíž jeden z kořenů je x 1 = a . Podle vzorců Vieta může být druhý kořen reprezentován jako: x 2 = kb − a =b 2 + 1A.
  3. První znázornění ukazuje, že x 2 je celé číslo, a druhé znázornění, že toto číslo je kladné. Nerovnice a > b znamená, že x 2 =b 2 + 1A< b pokud b > 1 .
  4. Základní případ je tedy hodnota b = 1 . V tomto případě musí hodnota a dělit a 2 + 2 , a proto a je rovno 1 nebo 2. Případ a = 1 je nemožný, protože a ≠ b . V případě a = 2 máme k = a 2 + b 2 + 1ab=62= 3 . Protože se hodnota k během sestupu nezměnila, dostaneme toa 2 + b 2 + 1ab= 3 , tedy 3 ab = a 2 + b 2 + 1 , pro všechny uspořádané dvojice ( a , b ) .

Geometrická interpretace

Vietovy skoky lze popsat jako celočíselné body na hyperbolách v prvním kvadrantu . [1] V tomto případě proces hledání menšího kořene odpovídá hledání menších celočíselných bodů na hyperbole v rámci prvního kvadrantu. Tento proces lze popsat následovně:

  1. Z této podmínky získáme rovnici pro rodinu hyperbol, které se nemění, když jsou x a y zaměněny. Jinými slovy, tyto hyperboly jsou symetrické podle přímky y = x .
  2. Požadované tvrzení je dokázáno pro průsečíky hyperbol a přímky y = x .
  3. Předpokládá se, že ( x , y )  je celočíselný bod na nějaké hyperbole a bez ztráty obecnosti x < y . Poté je podle vzorců Vieta nalezen celočíselný bod se stejnou hodnotou první souřadnice na další větvi hyperboly. Potom odraz tohoto bodu vzhledem k přímce y = x vytvoří nový celočíselný bod na původní větvi hyperboly.
  4. Ukazuje se, že tento proces vede k nalezení menších bodů na stejné větvi paraboly, pokud je splněna určitá podmínka (například x = 0 ). Dosazením této podmínky do rovnice hyperboly se ověří, že dokazované tvrzení pro ni platí.
Příklad

Aplikujme popsanou metodu na problém č. 6 s MMO 1988: Nechť a a b  jsou kladná celá čísla taková, že ab + 1 dělí a 2 + b 2 . Dokázat toa 2 + b 2ab +1 je dokonalý čtverec .

  1. Nechata 2 + b 2ab +1= q . Zafixujeme hodnotu q a uvažujeme hyperbolu H danou rovnicí x 2 + y 2 − qxy − q = 0 . Potom ( a , b ) je bod na této hyperbole.
  2. Jestliže x = y , pak x = y = q = 1 , což triviálně splňuje zadání problému.
  3. Nechť ( x , y )  je celočíselný bod na „horní“ větvi hyperboly H s x < y . Z Vietových vzorců pak vyplývá, že ( x , qx − y )  je celočíselný bod na „dolní“ větvi hyperboly H . Odrazem tohoto bodu je bod ( qx − y , x ) na původní "horní" větvi. Druhá souřadnice přijatého bodu je menší než souřadnice původního bodu, což znamená, že je pod původním bodem.
  4. Tento proces lze opakovat. Z rovnice hyperboly H vyplývá, že výsledné body zůstávají v rámci prvního kvadrantu. Opakování procesu tedy skončí, když je přijata hodnota x = 0 . Její dosazení do rovnice hyperboly H dává q = y 2 , což bylo třeba dokázat.

Viz také

Poznámky

  1. ↑ 12 Arthur Engel . Strategie řešení problémů (neopr.) . - Springer , 1998. - S. 127. - ISBN 978-0-387-98219-9 .  
  2. ↑ Výsledky Mezinárodní matematické olympiády 1988 . imo-official.org. Získáno 3. března 2013. Archivováno z originálu dne 2. dubna 2013.
  3. ↑ [https://web.archive.org/web/20200104173313/https://www.youtube.com/watch?v=zzmlA7iAGG4 Archivováno 4. ledna 2020 na Wayback Machine Otázka č. 6 Legenda se vrací [Numberphile] – YouTube ]
  4. ↑ Yiming Ge. The Method of  Vieta Jumping (neopr.)  // Matematické úvahy. - 2007. - T. 5 .
  5. ↑ Fórum AoPS – Jeden z mých oblíbených problémů, ano! . Artofproblemsolving.com. Staženo: 3. března 2013.
  6. ↑ KS Brown. N = (x^2 + y^2)/(1+xy) je čtverec . MathPages.com. Staženo: 26. září 2016.
  7. ↑ Fórum AoPS - Čísla lemurů . Artofproblemsolving.com. Staženo: 3. března 2013.
  8. ↑ Fórum AoPS - x*y | x^2+y^2+1 . ArtOfProblemSolving.com (7. června 2005). Staženo: 3. března 2013.

Odkazy