Přímá a inverzní limitní věta

Nejdůležitější z hlediska aplikací charakteristických funkcí k odvození asymptotických vzorců teorie pravděpodobnosti jsou dvě limitní věty - přímá a inverzní. Tyto teorémy stanoví, že korespondence, která existuje mezi distribučními funkcemi a charakteristickými funkcemi , není pouze jedna ku jedné, ale také spojitá.

Přímá a inverzní limitní věta

Přímá limitní věta

Jestliže posloupnost distribučních funkcí slabě konverguje k distribuční funkci pro , pak posloupnost odpovídajících charakteristických funkcí bodově konverguje k charakteristické funkci . $F_{n}$ $F$ $n\rightarrow\infty$ ${\displaystyle \left\{f_{n}\right\))$ $F$

Jinými slovy

Pokud , pak v každém bodě .

F_{n}\left(x\right)\Rightarrow F\left(x\right)

f_{n}\left(t\right)\rightarrow f\left(t\right)

t

Inverzní limitní věta

Nechť posloupnost charakteristických funkcí bodově konverguje k funkci spojité v bodě 0. Potom posloupnost odpovídajících distribučních funkcí konverguje slabě k funkci a je charakteristickou funkcí odpovídající distribuční funkci . ${\displaystyle \left\{f_{n}\right\))$ $F$ $F_{n}$ $F$ $F$ $F$

Důkaz věty o přímé limitě

Důkaz této věty vyplývá přímo z druhé Hellyho věty a definice charakteristické funkce:

Jako funkci bereme , a díváme se na a jako parametry. $G$ $g\left(x\right)=e^{itx},x\in R$ $i$ $t$

Poznámka

Bodová konvergence posloupnosti charakteristických funkcí v této větě může být nahrazena rovnoměrnou konvergencí na libovolné kompaktní množině z . $R$

Důkaz inverzní limitní věty

Dovolit je posloupnost distribučních funkcí odpovídající posloupnosti charakteristických funkcí . Z první Hellyho věty vyplývá, že existuje slabě konvergentní podposloupnost $F_{n}$ $f_{{n}}$

\left\{F_{n_{k}}\right\}\subset \left\{{F_{n}}\right\},

takové, že

F_{n_{k}}\Rightarrow F_{n}

Dokažme, že jde o distribuční funkci. K tomu stačí ukázat to $F$ $F\left(+\infty \right)-F\left(-\infty \right)=1$

Abychom to dokázali, potřebujeme následující nerovnost: nechť je její charakteristickou funkcí libovolná náhodná veličina , pak pro libovolné a $\xi$ $F$ $\tau >0$ $x>0$

P\left(\left|\xi \right|\leq x\right)\geq {\frac {\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau } ^{\tau }f\left(t\right)dt\right|-{\frac {1}{\tau x}}}{1-{\frac {1}{\tau x}}}}

Nechť , pak nerovnost nabývá tvaru $\tau x=2$

P\left(\left|\xi \right|\leq x\right)\geq {\frac {\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau } ^{\tau }f\left(t\right)dt\right|-{\frac {1}{2}}}{1-{\frac {1}{2}}}}=2\left|{ \frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f\left(t\right)dt\right|-1

Pojďme dokázat nerovnost . Z definice charakteristické funkce a Fubiniho věty to vyplývá $P\left(\left|\xi \right|\leq x\right)\geq {\frac {\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau } ^{\tau }f\left(t\right)dt\right|-{\frac {1}{\tau x}}}{1-{\frac {1}{\tau x}}}}$

\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f\left(t\right)dt\right|=\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }{\mathsf {M}}e^{it\xi }dt\right|=\left|{\frac {1} {2\tau }}{\mathsf {M}}\int _{-\tau }^{\tau }e^{it\xi }dt\right|=\left|{\frac {1}{2\ tau }}{\mathsf {M}}{\frac {\sin {\tau \xi }}{\xi }}\right|=

=\left|{\frac {1}{\tau }}{\mathsf {M}}{\frac {\sin {\tau \xi }}{\xi }}\right|I_{\left \{\left|\xi \right|\leq x\right\}}+\left|{\frac {1}{\tau }}{\mathsf {M}}{\frac {\sin {\tau \ xi )){\xi ))\right|I_{\left\{\left|\xi \right|>x\right\))\leq {\mathsf {M))\left|{\frac {\sin {\tau \xi }}{\tau \xi }}\right|I_{\left\{\left|\xi \right|\leq x\right\}}+{\mathsf {M}}\left| {\frac {\sin {\tau \xi }}{\tau \xi }}\right|I_{\left\{\left|\xi \right|>x\right\}}\leq P\left( \left|\xi \right|\leq x\right)+{\frac {1}{\tau x}}\left(1-P\left(\left|\xi \right|\leq x\right) \že jo)

Protože funkce je spojitá v bodě a je bodovou limitou charakteristických funkcí , pak pro jakoukoli existuje taková , že pro všechny splňující nerovnost $F$ $0$ ${\displaystyle \left\{f_{n}\right\))$ $f\left(0\right)=1$ $\varepsilon >0$ $\tau _{0}>0$ $\tau$ $0<\tau \leq \tau _{0},$

\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f\left(t\right)dt\right|>1-{\frac { \varepsilon }{4}}

Z toho, co plyne pro všechny a pro $f_{n}\rightarrow f$ $n\rightarrow\infty$ ${\displaystyle n>n_{0))$ $\tau \in (0;\tau _{0}],$

\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f_{n}\left(t\right)dt-{\frac {1} {2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f\left(t\right)dt\right|<{\frac {\varepsilon }{4}}

Vyplývá to z nerovností a to pro jakékoliv a takové že $\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f\left(t\right)dt\right|>1-{\frac { \varepsilon }{4}}$ $\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f_{n}\left(t\right)dt-{\frac {1} {2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f\left(t\right)dt\right|<{\frac {\varepsilon }{4}}$ ${\displaystyle n>n_{0))$ $\tau$ ${\displaystyle 0<\tau \leq \tau _{0))$

\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f_{n}\left(t\right)dt\right|>1-{ \frac {\varepsilon }{2}}

Z nerovností a máme $\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f_{n}\left(t\right)dt\right|>1-{ \frac {\varepsilon }{2}}$ $\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f_{n}\left(t\right)dt-{\frac {1} {2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f\left(t\right)dt\right|<{\frac {\varepsilon }{4}}$

F_{n_{k}}\left({\frac {2}{\tau }}\right)-F{n_{k}}\left(-{\frac {2}{\tau }} -0\right)\geq P\left(\left|\varepsilon _{n_{k))\right|\leq {\frac {\tau }{2))\right)\geq 2\left(1- {\frac {\varepsilon }{2}}\right)-1=1-\varepsilon

pro všechny a . Z poslední nerovnosti díky libovůli získáme ${\displaystyle n>n_{0))$ ${\displaystyle 0<\tau \leq \tau _{0))$ $\tau$ $\varepsilon$

F\left(+\infty \right)-F\left(-\infty \right)=1

tedy distribuční funkce. U přímé limitní věty vyplývá z toho, co bylo dokázáno $F$

f_{n_{k}}\left(t\right){\underset {n_{k}\rightarrow \infty }{\rightarrow }}\int _{-\infty }^{\infty }e^ {itx}dF\left(x\right),t\in \mathbb {R}

Ale podle věty

f_{n}\left(t\right){\underset {n\rightarrow \infty }{\rightarrow }}f\left(t\right),t\in \mathbb {R}

tudíž

f\left(t\right)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}dF\left(x\right)

je charakteristická funkce odpovídající distribuční funkci

F

Pojďme to nyní dokázat

F_{n}{\underset {n\rightarrow \infty }{\Rightarrow }}F

Předpokládejme opak , ať

F_{n}\nšipka doprava F

v . Pak existuje , a a jsou distribuční funkce

n\rightarrow\infty

\left\{F_{m_{k}}\right\}\subset \left\{F_{n}\right\},F_{m_{k}}\Rightarrow F^{*},F^ {*}\neq F

F

F^{*}

Podle přímé limitní věty máme

f_{n_{k}}\left(t\right)\rightarrow f\left(t\right),f_{m_{k}}\left(t\right)\rightarrow f^{*}\ left(t\right),k\rightarrow \infty

a teorémem o jedinečnosti , ale to nemůže být, protože $f\left(t\right)\neq f^{*}\left(t\right)$

f_{n}\left(t\right){\underset {n\rightarrow \infty }{\rightarrow }}f\left(t\right)

tudíž

f\left(t\right)=f^{*}\left(t\right)

Věta byla prokázána.

Literatura

Lazakovich N.V., Stashulenok S.P., Yablonsky O.L. Pravděpodobnostní kurz. - 2003. - 322 s.
Sevastjanov B.A. Kurz teorie pravděpodobnosti a matematické statistiky. - 1982. - 244 s.

Přímá a inverzní limitní věta