Přímý produkt

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 4. srpna 2022; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Přímý nebo kartézský součin dvou množin je množina , jejíž prvky jsou všechny možné uspořádané dvojice prvků původních množin.

Pojem přímého součinu přirozeně zobecňuje na součin množin s další strukturou ( algebraickou , topologickou atd.), protože součin množin často dědí struktury, které byly přítomné na původních množinách.

Přímý součin v teorii množin

Součin dvou sad

Součin množiny {at, u, k} množinou barev duhy

v	v	v	v	v	v	v	v
a	a	a	a	a	a	a	a
na	na	na	na	na	na	na	na

Nechat dvě sady a být dán . Přímým součinem množiny a množiny je množina, jejíž prvky jsou uspořádané dvojice pro všechny možné a . Uspořádaná dvojice vytvořená z prvků a obvykle se zapisuje pomocí závorek: . Prvek se nazývá první souřadnice (složka) dvojice a prvek se nazývá druhá souřadnice (složka) dvojice. $X$ $Y$ $X$ $Y$ $X \krát Y$ $(x,y)$ $x\in X$ $y\v Y$ $A$ $b$ $(a,b)$ $A$ $b$

Přímý součin dvou sad lze zobrazit jako tabulku, jejíž řádky definují prvky první sady a sloupce druhé. Všechny buňky této tabulky budou v tomto případě prvky kartézského součinu.

Slovo "objednáno" znamená, že pro , . Tedy páry a jsou si rovny tehdy a jen tehdy, když a . $x\ney$ $(x,y)\neq (y,x)$ $(a,b)$ $(c,d)$ $a=c$ $b=d$

Důležitost „pořádku“ lze ilustrovat na příkladu obvyklého zápisu čísel: pomocí dvou číslic 3 a 5 lze napsat čtyři dvouciferná čísla: 35, 53, 33 a 55. Přesto, že čísla 35 a 53 se zapisují pomocí stejných čísel, tato čísla se liší. V případě, kdy je důležité pořadí prvků, mluví se v matematice o uspořádaných množinách prvků.

V objednaném páru to může být ono . Takže zápis čísel 33 a 55 lze považovat za uspořádané dvojice (3; 3) a (5; 5). $(a,b)$ $a=b$

Zobrazení součinu množin do jeho faktorů – a – se nazývají souřadnicové funkce . $\varphi\colon X\krát Y\to X,\; \varphi(x,y)=x$ $\psi\dvojtečka X\krát Y\to Y,\; \psi(x,y)=y$

Součin konečné rodiny množin je definován podobně.

Komentáře

Přísně vzato, identita asociativnosti neplatí, ale vzhledem k existenci přirozené korespondence jedna ku jedné (bijekce) mezi množinami lze tento rozdíl často zanedbat. $A \times (B \times C) = (A \times B) \times C$ $A \krát (B\krát C)$ $(A \krát B) \krát C$

Kartézský stupeň

{0, 1, 2} 3 , 3 3 = 27 prvků
000	001	002	010	011	012	020	021	022
100	101	102	110	111	112	120	121	122
200	201	202	210	211	212	220	221	222

$n$ -tá kartézská mocnina množiny je definována pro nezáporná celá čísla jako -násobný kartézský součin se sebou samým [1] : $X$ $n$ $n$ $X$

\begin{matrix} \underbrace{X\times X\times \ldots \times X}. \\ n \end{matrix}

Obvykle se označuje jako nebo . $X^n$ $X^{\times n}$

Když je kladný, kartézský stupeň se skládá ze všech uspořádaných množin prvků délky . Takže reálný prostor - množina n-tic tří reálných čísel - je 3. mocninou množiny reálných čísel $n$ $X^n$ $X$ $n$ $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb{R}.$

When , kartézský stupeň podle definice, obsahuje jeden prvek - prázdnou n-tici. $n=0$ $X^0,$

Přímý produkt rodiny sad

Obecně platí, že pro libovolnou rodinu množin (ne nutně odlišných) ( množina indexů může být nekonečná ) je přímý součin definován jako množina funkcí, které přiřazují každý prvek prvku množiny : $\{X_i\}_{i\in I}$ $X = \prod_{i\in I} X_i$ $i\v I$ $X_{i}$

X=\prod _{i\in I}X_{i}=\{f\dvojtečka I\to \bigcup \limits _{i\in I}X_{i}\mid f(i)\in X_{i},i\v I\}.

Mapování se nazývají projekce a jsou definovány takto: . $\pi_i \colon X \to X_i \colon f \mapsto f(i)$ $\pi_i\dvojtečka (a_1,\tečky a_n) \mapsto a_i$

Konkrétně pro konečnou rodinu množin je jakákoli funkce s podmínkou ekvivalentní nějaké n-tice délky , složené z prvků množin , takže i - té místo množiny je prvkem množiny . Kartézský (přímý) součin konečného počtu množin lze tedy zapsat takto: $\{A_1, \tečky ,A_n\}$ $f:\{1,\tečky ,n\} \to \bigcup\limits_{i = 1}^n A_i$ $f(i) \in A_i$ $n$ $\{A_i\}_{i = 1}^n$ $i$ $A_{i}$ $\{A_i\}_{i = 1}^n$

A_1 \times \dots \times A_n = \{(a_1, \tečky ,a_n) \mid a_i \in A_i, i \in \{1, \tečky ,n\}\}.

Přímý součin zobrazení

Dovolit být mapování od do a být mapování od do . Jejich přímým produktem je mapování od do : . $F$ $A$ $B$ $G$ $X$ $Y$ $f\krát g$ $A\krát X$ $B\krát Y$ $(f\krát g)(a,\;x) = (f(a),\;g(x))$

Podobně jako výše lze tuto definici zobecnit na vícenásobné a nekonečné produkty.

Účinky na matematické struktury

Přímý součin skupin

Přímý (kartézský) součin dvou grup a je grupou všech dvojic prvků s operací komponentového násobení: . Tato skupina je označována jako . Asociativita operace násobení ve skupině vyplývá z asociativnosti operací násobených grup. Faktory a jsou izomorfní ke dvěma normálním podskupinám jejich produktu, resp . Průnik těchto podskupin tvoří jeden prvek , který je jednotkou skupiny výrobků. Souřadnicové funkce součinu grup jsou homomorfismy . $(G*)$ $(H,\circ)$ $(g,h)$ $(g_1,h_1)\times(g_2,h_2)=(g_1*g_2,h_1\circ h_2)$ $G\krát H$ $G\krát H$ $G$ $H$ $\{(g,1_H)\mid g\in G\}$ $\{(1_G,h)\mid h\in H\}$ $(1_G,1_H)$

Tato definice se vztahuje na libovolný počet násobených skupin. V případě konečného čísla je přímý součin izomorfní k přímému součtu. Rozdíl vzniká v nekonečném množství faktorů.

Obecně platí, , kde a . (Operace na pravé straně je skupinová operace ). Jednotkou skupiny výrobků bude sekvence složená z jednotek všech násobených skupin: . Například pro spočetný počet skupin: , kde na pravé straně je množina všech nekonečných binárních posloupností. $\overline{\prod_{i\in I}} G_i=\{f\dvojtečka I\to\bigcup_{i\in I} G_i\}$ $f(i)\isin G_i$ $(f_1\krát f_2)(i)=f_1(i)*f_2(i)$ $G_{i}$ $(1_i),\; i\v I$ $\overline{\prod_{i\in\mathbb{N}}} \mathbb{Z}_2=(2^\mathbb{N},\; \operatorname{xor})$

Podgrupa na množině všech , jejichž podpora (tj. množina ) je konečná , se nazývá přímý součet . Například přímý součet stejné množiny množin obsahuje všechny binární posloupnosti s konečným počtem jedniček a lze s nimi zacházet jako s binárními reprezentacemi přirozených čísel. $F$ $\mathrm{supp}\,(f) = \{i\in I\mid f(i)\ne 1_i\}$ $\prod_{i\in\mathbb{N}} \mathbb{Z}_2\ =\ (\mathbb{N},\; \operatorname{xor})$

Kartézský součin indexovaného skupinového systému je jeho přímým součinem v kategorii Grp.

Přímý součet indexovaného skupinového systému je jeho koproduktem v kategorii Grp.

Přímý součin jiných algebraických struktur

Podobně jako součin grup lze definovat součin kruhů , algeber , modulů a lineárních prostorů a v definici přímého součinu (viz výše) by měl být nahrazen nulou . Definice součinu dvou (nebo konečného počtu) objektů je stejná jako u přímého součtu . Obecně se však přímý součet od přímého součinu liší: například přímým součinem spočetné množiny kopií je prostor všech posloupností reálných čísel , zatímco přímý součet je prostorem těch posloupností, které mají pouze konečný počet nenulových členů (tzv. konečné posloupnosti ). $1_i$ $\mathbb {R}$

Přímý součin vektorových prostorů

Kartézský součin dvou vektorových prostorů a nad společným polem je množina uspořádaných dvojic vektorů , tj. množinově teoretický kartézský součin množin vektorů z a , s linearitou danou souřadnicově: , . $U\times V$ $U$ $PROTI$ $F$ ${\displaystyle \left\{(u,v)\mid u\in U\wedge v\in V\right\))$ $U$ $PROTI$ $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$ $\mathrm {\alpha } \left(a,b\right)=\left(\mathrm {\alpha } a,\mathrm {\alpha } b\right)$

Tato definice platí pro jakýkoli indexovaný systém lineárních (vektorových) prostorů: kartézský součin indexovaného systému vektorových prostorů nad společným polem je množinově teoretický kartézský součin množin faktorových vektorů, na kterých je specifikována souřadnicová linearita, to znamená, že při sčítání se sečtou všechny projekce, při násobení číslem se všechny projekce vynásobí tímto číslem: , . ${\displaystyle c=a+b\leftrightarrow \forall i:c_{i}=a_{i}+b_{i))$ ${\displaystyle b=\mathrm {\alpha } a\leftrightarrow \forall i:b_{i}=\mathrm {\alpha } a_{i))$

Kartézský součin indexovaného systému lineárních prostorů je jeho přímým součinem v kategorii , kde je předmětné pole systému. $\operatorname {Vec} _{F}$ $F$

Přímý součet vektorových prostorů je taková podmnožina jejich přímého součinu, jejíž prvky mají pouze konečný počet nenulových projekcí , kde je indexová množina indexovaného systému . Pro konečný počet členů se přímý součet neliší od přímého součinu. $\coprod {A}=\left\{a\in \prod {A}\mid \left\vert \left\{i\in \operatorname {dom} A\mid a_{i}\neq 0\ vpravo\}\vpravo\vert <\aleph _{0}\vpravo\}$ $\operatorname {dom} A$ $A$

Přímý součet indexovaného systému lineárních prostorů je jeho koproduktem v kategorii , kde je předmětové pole systému. $\operatorname {Vec} _{F}$ $F$

Přímý součin topologických prostorů

Dovolit a být dva topologické prostory . Topologie kartézského součinu je dána na jejich množinově teoretickém součinu jako bezstrukturní množiny bází skládající se ze všech možných součinů , kde je otevřená podmnožina a je otevřená podmnožina . $X$ $Y$ $X\krát Y$ $U\krát V$ $U$ $X$ $PROTI$ $Y$

Definici lze snadno zobecnit na případ součinu několika prostorů.

Pro součin nekonečné množiny faktorů se definice komplikuje: nechť existuje indexovaný systém topologických prostorů, - bezstrukturní součin prvků jako množin. Definujme válec vztyčený nad jako množinu všech bodů , v nichž leží -té průměty , tj . kde a je indexová množina indexovaného systému . Topologie součinu bude dána na předzákladě válců konstruovaných přes všechny otevřené množiny všech topologií z množiny : , kde je sbírka všech otevřených množin (topologie) prostoru , tj. dána základnou složenou z všechny možné průsečíky konečného počtu otevřených válců. Tato topologie je „kontravariančně“ indukována projektory — je to minimální topologie na množinově teoretickém kartézském součinu, pro který jsou všechny projektory spojité (taková topologie je podobná kompaktní-otevřené topologii mapovacích prostorů, pokud vezmeme v úvahu sadu indexů mají diskrétní topologii). $X$ $B=\prod {\overline {X}}$ $X$ $U\subseteq X_{i}$ $B$ $i$ $U$ $\operatorname {Cyl} \left(i,\;U\right)=\left\{x\in B\mid x_{i}\in U\right\}$ $i\in \operatorname {dom} X$ $\operatorname {dom} X$ $X$ $X$ $\left\{\operatorname {Cyl} \left(i,\;U\right)\mid i\in \operatorname {dom} X\land U\in \operatorname {T} \left(X_{i }\dobře dobře\}$ $\operatorname {T} \left(X_{i}\right)$ $X_{i}$ $já$

Kartézský součin indexovaného systému topologických prostorů je jeho přímým součinem v kategorii . $\operatorname {nahoru}$

Přímý součet topologií je postaven na nestrukturovaném přímém součtu prostorů jako množin bodů. Otevřené jsou v něm všechny množiny, jejichž průsečíky se všemi pojmy jsou otevřené. Tato topologie je "kovariantně" indukována koprojektory - je to maximální topologie na množinově teoretickém přímém součtu, pod kterým jsou všechny koprojektory (tj. vložení členů do součtu) spojité.

Přímý součet indexovaného systému topologických prostorů je jeho koproduktem v kategorii . $\operatorname {nahoru}$

Tikhonovův teorém tvrdí kompaktnost součinů libovolného počtu kompaktních prostorů; u nekonečných součinů to však nelze dokázat bez použití axiomu výběru (nebo výroků teorie množin, které jsou mu ekvivalentní).

Také Aleksandrovův teorém ukazuje, že jakýkoli topologický prostor může být vložen do (nekonečného) součinu spojených dvojteček , pokud platí Kolmogorovův axiom .

Přímý součin grafů

	—	
	—	
		
	—	

Množina vrcholů přímého součinu dvou grafů a je definována jako součin vrcholů faktorových grafů. Hrany spojí následující dvojice vrcholů: $G$ $H$

$(g,\;h)(g',\;h)$ , kde a jsou vrcholy grafu spojené hranou a je libovolný vrchol grafu ; $G$ $G'$ $G$ $h$ $H$
$(g,\;h)(g,\;h')$ , kde je libovolný vrchol grafu a a jsou vrcholy grafu spojené hranou . $G$ $G$ $h$ $h'$ $H$

Jinými slovy, množina hran součinu grafů je spojením dvou produktů: hran prvního s vrcholy druhého a vrcholů prvního s hranami druhého.

Variace a zobecnění

Myšlenka přímého produktu byla dále rozvinuta v teorii kategorií , kde sloužila jako základ pro koncept produktu předmětů . Neformálně je produktem dvou objektů a je nejobecnějším objektem v této kategorii, pro který existují projekce na a . V mnoha kategoriích (množiny, skupiny, grafy, ...) je součin objektů jejich přímým součinem. Důležité je, že ve většině případů není důležitá ani tak konkrétní definice přímého produktu, ale výše zmíněná vlastnost univerzálnosti. Různé definice pak dají izomorfní objekty. $A$ $B$ $A$ $B$