Rovnoramenný lichoběžník

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 12. prosince 2021; kontroly vyžadují 3 úpravy .

Rovnoramenný lichoběžník

Typ	čtyřúhelník , lichoběžník
žebra	čtyři
Nějaká symetrie	Dih 2 , [ ], (*), pořadí 2
Duální polygon	deltový sval
Vlastnosti
konvexní , vepsaný

V euklidovské geometrii je rovnoramenný lichoběžník konvexní čtyřúhelník s osou symetrie procházející středy dvou protilehlých stran. Tento čtyřúhelník je zvláštním případem lichoběžníků . V libovolném rovnoramenném lichoběžníku jsou dvě protilehlé strany (základny) rovnoběžné a další dvě strany (strany) mají stejnou délku (vlastnost, kterou splňuje také rovnoběžník ). Stejnou délku mají i úhlopříčky. Úhly na každé základně jsou stejné a úhly na různých základnách spolu sousedí (přičtení 180º).

Zvláštní příležitosti

Obdélníky a čtverce jsou obvykle považovány za zvláštní případy rovnoramenných lichoběžníků, ačkoli některé zdroje je za takové nepovažují.

Dalším speciálním případem je lichoběžník se 3 stejnými stranami. V anglické literatuře se nazývá trilateral trapezoid (třístranný lichoběžník) [1] , triramenný lichoběžník (triisored trapezoid) [2] nebo méně často symtra [3] . Takový lichoběžník si lze představit jako odříznutí 4 po sobě jdoucích vrcholů z pravidelného mnohoúhelníku , který má 5 nebo více stran.

Vlastní průniky

Jakýkoli samoprotínající čtyřúhelník s jednou osou symetrie musí být buď rovnoramenný lichoběžník, nebo deltoid [3] . Je-li však povoleno protínání, musí být sada symetrických čtyřúhelníků rozšířena tak, aby zahrnovala samoprotínající se rovnoramenné lichoběžníky, ve kterých jsou protínající se strany stejné a další dvě strany jsou rovnoběžné, a antiparalelogramy , ve kterých jsou opačné strany stejné. délka.

Pro jakýkoli antiparalelogram je konvexní trup rovnoramenný lichoběžník a antiparalelogram lze získat z úhlopříček rovnoramenného lichoběžníku [4] .

Konvexní rovnoramenný lichoběžník	Samoprotínající se rovnoramenný lichoběžník	Antiparalelogram

Popisy

Pokud je čtyřúhelník lichoběžník , není nutné kontrolovat, zda jsou strany stejné (a nestačí, protože kosočtverce jsou speciální případy lichoběžníků se stranami stejně dlouhými, ale nemají osovou symetrii přes středy základen) . Kterákoli z následujících vlastností odlišuje rovnoramenný lichoběžník od ostatních lichoběžníků:

Úhlopříčky jsou stejně dlouhé.
Základní úhly jsou stejné.
Úsečka spojující středy rovnoběžných stran je na ně kolmá.
Opačné úhly jsou komplementární (až do 180º), což zase znamená, že rovnoramenné lichoběžníky jsou vepsané čtyřúhelníky .
Úhlopříčky jsou rozděleny průsečíkem na párově stejné segmenty. Ve smyslu níže uvedeného obrázku AE = DE , BE = CE (a AE ≠ CE , pokud mají být vyloučeny obdélníky).

Pokud jsou do třídy lichoběžníků zahrnuty obdélníky, pak lze rovnoramenný lichoběžník definovat jako „vepsaný čtyřúhelník se stejnými úhlopříčkami“ [5] , jako „vepsaný čtyřúhelník s dvojicí rovnoběžných stran“ nebo jako „konvexní čtyřúhelník s osa symetrie procházející středy protilehlých stran“.

Úhly

V rovnoramenném lichoběžníku jsou úhly na základnách stejné ve dvojicích. Na obrázku níže jsou úhly ∠ABC a ∠DCB stejné tupé úhly a úhly ∠BAD a ∠CDA jsou stejné ostré úhly.

Protože úsečky AD a BC jsou rovnoběžné, úhly náležející k protilehlým základnám jsou komplementární, tj. ∠ ABC + ∠ BAD = 180°.

Úhlopříčky a výška

Úhlopříčky rovnoramenného lichoběžníku jsou stejné. To znamená, že jakýkoli rovnoramenný lichoběžník je ekvidiagonální čtyřúhelník . Úhlopříčky rovnoramenného lichoběžníku jsou však rozděleny ve stejném poměru. Na obrázku mají úhlopříčky AC a BD stejnou délku ( AC = BD ) a rozdělují se na stejně dlouhé segmenty ( AE = DE a BE = CE ).

Poměr , ve kterém jsou úhlopříčky rozděleny, se rovná poměru délek rovnoběžných stran, tzn

{\frac {AE}{EC}}={\frac {DE}{EB}}={\frac {AD}{BC}}.

Délka každé úhlopříčky je podle důsledků Ptolemaiovy věty dána vzorcem

{\displaystyle p={\sqrt {ab+c^{2))))

kde aab jsou délky rovnoběžných stran AD a BC ac je délka každé strany AB a CD .

Výška podle Pythagorovy věty je dána vzorcem

h={\sqrt {p^{2}-\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}}}={\tfrac {1}{2}} {\sqrt {4c^{2}-(ab)^{2}}}.

Vzdálenost od bodu E k základně AD je dána vzorcem

d={\frac {ah}{a+b))

kde a a b jsou délky základen AD a BC a h je výška lichoběžníku.

Oblast

Plocha rovnoramenného (stejně jako jakéhokoli) lichoběžníku se rovná polovině součinu součtu základen a výšky. Pokud na obrázku vezmeme AD \ u003d a , BC \ u003d b a výška h se rovná délce segmentu mezi úsečkami AD a BC (kolmými k nim), pak je plocha K dána vzorcem :

K={\frac {h}{2}}\left(a+b\right).

Pokud jsou místo výšky lichoběžníku známé délky stran AB = CD = c , lze plochu vypočítat pomocí vzorce Brahmagupta pro plochu vepsaných čtyřúhelníků. Rovnost dvou stran zjednodušuje vzorec na

K={\sqrt {(sa)(sb)(sc)^{2))},

kde je semiperimetr lichoběžníku. Tento vzorec je podobný Heronovu vzorci pro výpočet plochy trojúhelníku. Stejný vzorec lze přepsat jako $s={\tfrac {1}{2}}(a+b+2c)$

K={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b)^{2}(a-b+2c)(b-a+2c))).

Poloměr kružnice opsané

Poloměr kružnice opsané je dán vzorcem [6]

R=c{\sqrt {\frac {ab+c^{2}}{4c^{2}-(ab)^{2}}}}.

Pro obdélník , kde a = b , se vzorec zjednoduší na . $R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}$

Viz také

Rovnoramenný opsaný lichoběžník

Literatura

George Bruce Halsted. Elementární syntetická geometrie. - J. Wiley & synové, 1896 .
William Dwight Whitney, Benjamin Eli Smith. Slovník století a kyklopedie. — The Century co., 1911. .

Poznámky

↑ Michael de Villiers, Hierarchický čtyřúhelníkový strom [1] Archivováno 22. prosince 2014 na Wayback Machine
↑ rovnoramenný lichoběžník . Získáno 25. září 2016. Archivováno z originálu 26. srpna 2016. (neurčitý)
↑ 12 Halsted , 1896 , s. 49–53.
↑ Whitney a Smith, 1911 , s. 1547.
↑ Mzone.mweb.co.za . Získáno 25. září 2016. Archivováno z originálu 19. července 2011. (neurčitý)
↑ Lichoběžník na Math24.net: Vzorce a tabulky [2] Archivováno 28. června 2018 na Wayback Machine Přístup k 1. červenci 2014.

Odkazy

Některé inženýrské vzorce zahrnující rovnoramenné lichoběžníky