Interakce spin-orbita

Spin-orbitální interakce - v kvantové fyzice interakce mezi pohybující se částicí a jejím vlastním magnetickým momentem v důsledku rotace částice. Nejběžnějším příkladem takové interakce je interakce elektronu umístěného na jedné z drah v atomu s vlastním spinem. Taková interakce vede zejména ke vzniku tzv. jemné struktury energetického spektra elektronu a štěpení spektroskopických čar atomu.

Odvození hamiltoniánu spin-orbity

Interakce spin-orbita je relativistický efekt , proto pro odvození části hamiltoniánu odpovídající této interakci je třeba vycházet z Diracovy rovnice s příspěvkem vnějšího elektromagnetického pole zohledněným v hamiltoniánu s vektorovým potenciálem A a skalární potenciál φ, za který v Diracově rovnici podle Lagrangeova formalismu [1] musíte nahradit

{\mathbf {p}}\rightarrow {\mathbf {p}}-(e/c){\mathbf {A}}

E\šipka doprava E+e\varphi

Výsledkem je, že Diracova rovnice má tvar:

i\hbar {{\frac {\partial \psi }{\partial t}}}=[c{\boldsymbol \alpha }({\mathbf p}-{{\frac {e}{c}}}{\ mathbf A})+\beta mc^{2}+e\varphi ]\psi

kde $\beta ={\begin{pmatrix}{\mathbf 1}&0\\0&-{\mathbf 1}\\\end{pmatrix)),\quad {\boldsymbol \alpha }={\begin{pmatrix}0&{ \boldsymbol \sigma }\\{\boldsymbol \sigma }&0\\\end{pmatrix}}$

$\sigma _{i}$ jsou Pauliho matrice

\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\\\end{pmatrix)),\quad \sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\\\ end{pmatrix)),\quad \sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\\\end{pmatrix)),\quad \ {\mathbf 1}={\begin{pmatrix }1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}.

Z tohoto Hamiltoniánu je vidět, že vlnová funkce ψ musí být čtyřsložková a je známo, že dvě její složky odpovídají řešením s pozitivní energií a dvě s negativní energií. Role řešení s negativní energií je při zvažování problémů souvisejících s magnetickými jevy malá, protože díry ve spektru negativní energie odpovídají pozitronům , pro jejichž vytvoření je energie řádu , která je mnohem vyšší než energie spojená s magnetické jevy. V souvislosti s výše uvedeným je vhodné použít kanonickou Foldyho a Wouthuizenovu transformaci [2] , která rozdělí Diracovu rovnici na dvojici dvousložkových rovnic. Jeden z nich popisuje řešení s negativní energií a druhý s pozitivní energií a má hamiltonián následujícího tvaru: $mc^{2}$

{\mathcal H}=\left[mc^{2}+{\frac {1}{2m}}\left(({\mathbf p}}-{\frac {e}{c}}{{\mathbf A}}\right)^{2}-{\frac {p^{4}}{8m^{3}c^{2}}}\right]+{e\varphi }-{\frac {e\ hbar }{2mc)){{\boldsymbol \sigma }}\cdot {{\mathbf H}}+\left\{-i({\frac {e\hbar ^{2}}{8m^{2}c ^{2)))){{\boldsymbol \sigma }}\cdot {\nabla }\times {{\mathbf E}}-{{\frac {e\hbar }{4m^{2}c^{2 }}}}{{\boldsymbol \sigma }}\cdot {{\mathbf E}}\times {{\mathbf p}}\right\}-{\frac {e\hbar ^{2}}{8m^ {2}c^{2}}}{\nabla }\cdot {{\mathbf E}}.

Termíny uzavřené ve složených závorkách charakterizují interakci spin-orbita. Konkrétně, pokud je elektrické pole centrálně symetrické, pak máme , a Hamiltonián interakce spin-orbita má tvar: $\nabla \times {\mathbf E}=0$

{\mathcal H}_{{so}}=-{{\frac {e\hbar }{4m^{2}c^{2}}}}{{\boldsymbol \sigma }}\cdot {{\mathbf E}}\times {{\mathbf p}}={{\frac {\hbar }{4m^{2}c^{2}}}}{{\frac {1}{r}}{\frac { \partial V}{\partial r}}}{{\boldsymbol \sigma }}\cdot {{\mathbf r}}\times {{\mathbf p}}={{\frac {\hbar }{4m^{ 2}c^{2)))){{\frac {1}{r}}{\frac {\partial V}{\partial r}}}{{\boldsymbol \sigma }}\cdot {{\mathbf L}},

kde je operátor momentu hybnosti elektronu. ${\mathbf L}={\mathbf r}\times {\mathbf p}$

Tento výsledek je v souladu s klasickým výrazem popisujícím interakci elektronového spinu s polem v důsledku orbitálního pohybu elektronu. Pojďme si to vysvětlit.

Klasický výraz pro energii interakce spin-orbita pro atomový elektron

Nechť se elektron pohybuje rovnoměrně a přímočaře rychlostí v v poli jádra umístěného v počátku souřadnicového systému 1 a vytváří Coulombovo pole . V rámci 2, spojeném s pohybujícím se elektronem, pozorovatel uvidí pohybující se jádro, které vytváří jak elektrické, tak magnetické pole o síle E' a H' . Jak vyplývá z teorie relativity, E' a H' souvisí s E následujícími vztahy: $e{\mathbf E}=-{{\frac {{\mathbf r}}{r}}{\frac {\partial V}{\partial r}}}$

{\mathbf E}'={\mathbf E},\quad {\mathbf H}'\cca -{\frac {1}{c)){\mathbf v}\times {\mathbf E}=-{\ frac {1}{mc)){\mathbf p}\times {\mathbf E}.

Kde jsou vyřazeny podmínky objednávky $v^{2}/c^{2}.$

Pak rovnice pro změnu spinové hybnosti hybnosti (sdružená podle Uhlenbeck-Goudsmitovy hypotézy gyromagnetickým poměrem s magnetickým momentem as ) v souřadnicovém systému 2 bude mít tvar: ${\mathbf S}={\frac {\hbar }{2}}{\boldsymbol \sigma }{}$ ${\boldsymbol \mu }$ ${\frac {|{\boldsymbol \mu }|}{|{\mathbf S}|}}={\frac {|e|}{mc}}{}$

{\frac {d{\mathbf S}}{dt}}=\mu \times {\mathbf H}'=-{\frac {e\hbar }{2m^{2}c^{2}}}{ \boldsymbol \sigma }\times \left[{\mathbf p}\times {\mathbf E}\right].

Tato rovnice odpovídá interakci elektronového spinu s elektromagnetickým polem, která je popsána Hamiltoniánem následujícího tvaru:

{\mathcal H}'_{{so}}={\frac {e\hbar }{2m^{2}c^{2}}}{\boldsymbol \sigma }\cdot {\mathbf p}\times { \mathbf E}.

Všimněte si, že tvar hamiltoniánu se až do faktoru 1/2 shoduje s tvarem spin-orbitální části hamiltoniánu získaného z Diracovy rovnice pomocí Foldyho a Wouthuysenovy transformace. Absence tohoto faktoru je způsobena skutečností, že rovnice pro změnu magnetického momentu elektronu bude platit pouze v případě, že se systém 2 neotáčí, jinak by tato rovnice kvůli Thomasově precesi měla vypadat takto

{\frac {d{\mathbf S}}{dt}}={\frac {e\hbar }{2mc}}{\boldsymbol \sigma }\times {\mathbf H}'-\omega _{{T} }\krát {\mathbf S},

kde je Tomosova úhlová rychlost rotace. $\omega _{{T}}$

Elektron v atomu je urychlován stíněným Coulombovým polem, proto je Tomosova úhlová rychlost popsána vztahem

\omega _{{T))\cca {\frac {1}{2m^{2}c^{2))}({\frac {1}{r)){\frac {\částečné V}{\ částečné r))}[{\mathbf r}\times {\mathbf p}]

Hamiltonián interakce spin-orbita tedy bude mít tvar:

{\mathcal H}_{{so}}={\frac {\hbar }{2m^{2}c^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {dV}{dr )){\boldsymbol \sigma }\cdot {\mathbf r}\times {\mathbf p}-{\frac {\hbar }{4m^{2}c^{2))}{{\frac {1} {r}}{\frac {\partial V}{\partial r}}}{\boldsymbol \sigma }\cdot {\mathbf r}\times {\mathbf p}={\frac {\hbar }{4m^ {2}c^{2))}{{\frac {1}{r)){\frac {\částečné V}{\částečné r))}{\boldsymbol \sigma }\cdot {\mathbf r}\ krát {\mathbf p},

Což je úplně stejné jako předchozí výsledek.

Viz také

Rashba efekt

Poznámky

↑ Landau L. D. , Lifshitz E. M. Teorie pole. - 7. vydání, přepracované. — M .: Nauka , 1988. — 512 s. - (" Teoretická fyzika ", svazek II). — ISBN 5-02-014420-7 .
↑ LLFoldy, SAWouthuysen. O Diracově teorii spin 1/2 částice a její nerelativistické limitě // Phys.Rev . : časopis. - 1950. - Sv. 78 . — S. 29-36 . - doi : 10.1103/PhysRev.78.29 .

Literatura

Stepanov N. F. Kvantová mechanika a kvantová chemie. -M.:Mir, 2001. - S. 391-398. — 519 s. -5000 výtisků. -ISBN 5-03-003414-5.
White R. Kvantová teorie magnetismu / Per. z angličtiny. — 2. vyd., opraveno. a. přidat. — M.: Mir , 1985. — 304 s.
Björken JD , Drell S.D. Relativistická kvantová teorie. Svazek 2. - IO NFMI, 2000. - 296 s.
Jackson J. Klasická elektrodynamika. — M.: Mir , 1965. — 703 s.