Mocenský zákon

Ve statistice je mocenský zákon ( angl.  power law ) takový funkční vztah mezi dvěma veličinami, ve kterém relativní změna v jedné veličině vede k proporcionální relativní změně v jiné veličině, bez ohledu na počáteční hodnoty . tyto veličiny: závislost jedné veličiny na druhé je mocninnou funkcí . Zvažte například závislost plochy čtverce na délce jeho strany. Pokud se délka zdvojnásobí, plocha se zčtyřnásobí. [jeden]

Případové studie

V mnoha fyzikálních, biologických a umělých jevech jsou pozorována rozložení, která přibližně odpovídají mocninnému zákonu na různých měřítcích: například velikost měsíčních kráterů a slunečních erupcí [2] , vzorce krmení různých druhů [3] , aktivita populace neuronů [4] , četnost používání slov ve většině jazyků, prevalence příjmení , počet druhů v kladech organismů [5] , rozsah nehod v energetických systémech , počet obvinění z trestného činu na jednoho zločince, počet sopečných erupcí [6] , lidské odhady intenzity podnětů [7] [8] a mnoho dalších veličin [9] . Empirická rozdělení mohou odpovídat mocninnému zákonu v celém rozsahu svých hodnot, nebo například v ocasu. Tlumení zvukových vibrací se řídí zákonem o výkonu v širokých frekvenčních pásmech v mnoha složitých prostředích. Allometrické vzory vztahů mezi biologickými proměnnými patří mezi nejznámější příklady mocenských zákonů v přírodě.

Vlastnosti

Invariance měřítka

Mocninný zákon je charakterizován neměnností měřítka . Pokud je true , pak změna měřítka argumentu konstantním faktorem způsobí, že se samotná funkce změní proporcionálně. to je:

kde označuje přímou úměrnost . Jinými slovy, vynásobení argumentu konstantou má za následek vynásobení hodnoty funkce konstantou . Všechny mocninné zákony s daným exponentem jsou tedy ekvivalentní až do násobení konstantou, protože všechny jsou pouze zmenšenými verzemi každého jiného. Toto dá svah lineárnímu vztahu mezi logaritmy a , a přímce na log-log plot , který je často považován za charakteristiku mocninného práva. V reálných datech je tato vlastnost nezbytná, ale nestačí k závěru, že existuje mocenský zákon. Existuje mnoho způsobů, jak generovat konečná množství dat, která napodobují mocninný zákon, ale odchylují se od něj v asymptotickém limitu (například pokud proces generování dat sleduje lognormální rozdělení ). Kontrola modelů z hlediska souladu s mocenským zákonem je aktuální oblastí výzkumu ve statistice, viz níže.

Nedostatek přesně definovaného průměru

Mocninné právo má přesně definovaný průměr v , pouze pokud , a má konečný rozptyl , pouze pokud . Pro většinu známých mocninných zákonů v přírodě jsou hodnoty exponentu takové, že střední hodnota je přísně definována, ale rozptyl není, takže pro ně existuje možnost výskytu událostí " černé labutě " typ. [10] To lze ilustrovat následujícím myšlenkovým experimentem: [11] Představte si, že jste v místnosti s přáteli a odhadněte průměrný měsíční příjem v této místnosti. Nyní si představte, že do této místnosti vstoupil nejbohatší člověk na světě s měsíčním příjmem asi 1 miliardy USD. Jak se změní hodnota průměrného měsíčního příjmu na pokoji? Rozdělení příjmů se řídí mocenským zákonem známým jako Paretovo rozdělení (například bohatství Američanů se rozděluje podle mocenského zákona s exponentem 2).

Na jedné straně to neumožňuje správné použití tradiční statistiky založené na rozptylu a směrodatné odchylce (například regresní analýza ). Na druhou stranu umožňuje nákladově efektivní zásah. [11] Řekněme například, že výfukové plyny automobilů jsou distribuovány podle mocenského zákona mezi automobily (to znamená, že většina znečištění pochází z velmi malého počtu automobilů). Pak bude stačit tento malý počet aut odstranit ze silnic, aby se výrazně snížilo celkové množství emisí. [12]

Medián existuje: pro mocninný zákon x - k s exponentem nabývá hodnoty 2 1/( k  - 1) x min , kde x min  je minimální hodnota, pro kterou mocninný zákon platí [13]

Test mocenského zákona

Ačkoli je mocninný zákon atraktivní z mnoha teoretických důvodů, dokázat, že data skutečně dodržují mocninný zákon, vyžaduje více než jen dosazení parametrů modelu. [14] Je důležité pochopit, jak dochází k distribucím: zdánlivě podobná distribuce se mohou vyskytovat z výrazně odlišných důvodů a různé modely poskytují různé předpovědi, například při extrapolaci. [15] [16]

Viz také

Poznámky

  1. ↑ Yaneer Bar-Yam. Pojmy: Mocenský zákon . Nový anglický institut komplexních systémů. Získáno 18. srpna 2015. Archivováno z originálu 11. července 2015.
  2. ↑ Newman, MEJ Mocninné zákony, Paretovo rozdělení a Zipfův zákon  //  Současná fyzika : deník. - 2005. - Sv. 46 , č. 5 . - S. 323-351 . - doi : 10.1080/00107510500052444 . - . - arXiv : cond-mat/0412004 .
  3. ↑ Humphries NE, Queiroz N., Dyer JR, Pade NG, Musyl MK, Schaefer KM, Fuller DW, Brunnschweiler JM, Doyle TK, Houghton JD, Hays GC, Jones CS, Noble LR, Wearmouth VJ, Southall EJ, Sims DW Environmental kontext vysvětluje Lévyho a Brownovy pohybové vzorce mořských predátorů  //  Nature: journal. - 2010. - Sv. 465 , č.p. 7301 . - S. 1066-1069 . - doi : 10.1038/nature09116 . — . — PMID 20531470 .
  4. ↑ Klaus A., Yu S., Plenz D. Statistické analýzy podporují rozdělení zákonů moci nalezené v neuronálních lavinách  // PLoS ONE : časopis  /  Zochowski, Michal. - 2011. - Sv. 6 , č. 5 . — P. e19779 . - doi : 10.1371/journal.pone.0019779 . - . — PMID 21720544 .
  5. ↑ Historická biogeografie neotropických sladkovodních ryb  / Albert, JS; Reis, RE. — Berkeley: University of California Press , 2011. Archivováno 30. června 2011 na Wayback Machine
  6. ↑ Cannavò, Flavio; Nunnari, Giuseppe. O možném jednotném škálovacím zákoně pro trvání sopečných erupcí   // Vědecké zprávy : deník. - 2016. - 1. března ( vol. 6 ). — S. 22289 . — ISSN 2045-2322 . - doi : 10.1038/srep22289 . - . — PMID 26926425 . Archivováno z originálu 18. ledna 2017.
  7. ↑ Stevens, S.S. (1957). O psychofyzickém zákoně. Psychologická revue, 64, 153-181
  8. ↑ Staddon, JER (1978). Teorie behaviorálních mocenských funkcí. Psychologická revue, 85, 305-320.
  9. ↑ Clauset, Shalizi, Newman, 2009 .
  10. ↑ Newman, M.E.J.; Reggiani, Aura; Nijkamp, ​​Peter. Mocenské zákony, Paretova rozdělení a Zipfův  zákon //  Města. — Elsevier , 2005. — Sv. 30 , č. 2005 . - S. 323-351 . - doi : 10.1016/j.cities.2012.03.001 . - arXiv : cond-mat/0412004 .
  11. ↑ 1 2 9na CEPAL Charlas Sobre Sistemas Complejos Sociales (CCSSCS): Leyes de potencias, https://www.youtube.com/watch?v=4uDSEs86xCI Archivováno 14. srpna 2019 na Wayback Machine
  12. ↑ Malcolm Gladwell (2006), Million-Dollar Murray; Archivovaná kopie . Získáno 14. června 2015. Archivováno z originálu 18. března 2015.
  13. ↑ Newman, Mark EJ. "Mocenské zákony, Paretovo rozdělení a Zipfův zákon." Současná fyzika 46,5 (2005): 323-351. . Staženo 24. ledna 2019. Archivováno z originálu 25. listopadu 2018.
  14. ↑ Hilbert, Martin. Mocenské zákony bez měřítka jako interakce mezi pokrokem a šířením  //  Složitost: časopis. - 2013. - Sv. 19 , č. 4 . - str. 56-65 . - doi : 10.1002/cplx.21485 . - . Archivováno z originálu 7. listopadu 2018.
  15. ↑ Hall, P. On Some Simple Estimates of an Exponent of Regular Variation  //  Journal of the Royal Statistical Society, Series B : deník. - 1982. - Sv. 44 , č. 1 . - str. 37-42 . — .
  16. ↑ Stumpf, MPH Critical Truths about Power Laws  // Science  :  journal. - 2012. - Sv. 335 , č.p. 6069 . - S. 665-666 . - doi : 10.1126/science.1216142 . - . — PMID 22323807 .

Literatura

Odkazy