Smluvní prostor

Stahovatelný prostor je topologický prostor , který je homotopicky ekvivalentní bodu. Tato podmínka je ekvivalentní tvrzení, že identitní mapa na je homotopická s konstantní mapou. $X$

Lokálně kontrahovatelný prostor je topologický prostor, jehož každý bod má kontrahovatelné okolí .

Vlastnosti

Prostor je smrštitelný tehdy a jen tehdy, když existuje něco , co je deformační stažení prostoru . $X$ $x_{0}\v X$ $\{x_{0}\}$ $X$

Stahovatelné prostory jsou vždy jednoduše propojeny ; opačné tvrzení v obecném případě neplatí, kontrahovatelnost je silnějším omezením než prostá spojitost.

Každá spojitá mapa kontrahovatelných prostorů je homotopická ekvivalence. Jakékoli dvě spojité mapy libovolného prostoru do kontrahovatelného prostoru jsou homotopické; navíc, pokud jsou jakékoli dvě spojité mapy homotopické, pak jde o kontrahovatelný prostor. $X$ $X$

Kužel pro daný prostor je stahovací prostor, takže do smrštitelného prostoru může být zabudován jakýkoli prostor, což zase ukazuje, že ne každý podprostor stahovacího prostoru je stahovací. Také je kontrahovatelné tehdy a pouze tehdy, když dojde k zatažení . $\mathrm{C}X$ $X$ $X$ $X$ ${\mathrm {C}}X\to X$

Příklady a protipříklady

Stahovatelný -rozměrný reálný prostor , jakákoli konvexní podmnožina euklidovského prostoru, zejména -rozměrná koule . $n$ $\mathbb {R} ^{n}$ $n$

Koule v nekonečném -rozměrném Hilbertově prostoru je smršťovací, ale -rozměrné euklidovské koule jsou nestahitelné. Jakékoli spojité mapování -rozměrné koule do smrštitelného prostoru může být plynule rozšířeno na -rozměrnou kouli. $n$ $n$ $n+1$

Dalšími pozoruhodnými kontrahovatelnými prostory jsou Whiteheadova varieta (trojrozměrná varieta , nikoli homeomorfní ), Mazurova varieta ( hladká čtyřrozměrná varieta s hranicí, která není difeomorfní ke čtyřkouli ), Bingův dům a šaškovská čepice . $\mathbb {R} ^{3}$

Všechny rozdělovače a CW-komplexy jsou lokálně kontrahovatelné, ale obecně ne kontrahovatelné.

Literatura

E. Španěl. Algebraická topologie. - M .: Mir , 1971. - S. 39-42. — 680 s.