Subfaktoriální

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 26. června 2016; kontroly vyžadují 16 úprav .

Subfaktoriál čísla n (zápis: !n ) je definován jako počet permutací řádu n , tj. permutací řádu n bez pevných bodů . Název subfaktoriál pochází z analogie s faktoriál , který určuje celkový počet permutací.

Konkrétně !n je počet způsobů, jak vložit n dopisů do n obálek (po jedné), aby žádné z nich neskončilo v odpovídající obálce (tzv. „Problém s dopisy“).

Explicitní vzorec

Subfaktoriál lze vypočítat pomocí principu inkluze-vyloučení :

!n=n!\left(1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+...+ (-1)^{n}{\frac {1}{n!}}\right)=n!\sum _{{k=0}}^{n}{\frac {(-1)^{k }}{k!}}

Jiné vzorce

$!n={\frac {\Gamma (n+1,-1)}{e))$ , kde označuje neúplnou funkci gama a e je matematická konstanta; $\Gamma$
$!n=\levá\lpatro {\frac {n!}{e}}\pravá\rceil$ , kde označuje nejbližší celé číslo k x . $\left\lpatro x\vpravo\rceil$
$!n=\levé\lpatro {\frac {n!+1}{e}}\pravé\rpatro$ (podle Mehdi Hassani ), kde označuje celočíselnou část čísla. $\lpatro x\rpatro$
Formální identity jsou platné: a , kde je nutné rozumět jako , a - jako . $Q^{n}=(P-1)^{n}$ $P^{n}=(Q+1)^{n}$ $P^{k}$ $k!$ $Q^{k}$ $!k$

Tabulka hodnot

n	! n [1]
jeden	0
2	jeden
3	2
čtyři	9
5	44
6	265
7	1854
osm	14 833
9	133 496
deset	1 334 961
jedenáct	14 684 570
12	176 214 841
13	2 290 792 932
čtrnáct	32 071 101 049
patnáct	481 066 515 734
16	7 697 064 251 745
17	130 850 092 279 664
osmnáct	2 355 301 661 033 953
19	44 750 731 559 645 100
dvacet	895 014 631 192 902 100

Vlastnosti

${\displaystyle !n={!(n-1)}\cdot n+(-1)^{n))$
$!n=(n-1)\cdot ({!(n-1)}+{!(n-2)})$ ( faktoriál samotný má stejnou vlastnost )
$!n=(n-1)\cdot a_{{n-2}},$

kde a . Počáteční členy posloupnosti [2] :

\;a_{0}=a_{1}=1

{\displaystyle a_{n}=n\cdot a_{n-1}+(n-1)\cdot a_{n-2}={!(n+1)}+{!n))

a_n

1, 1 , 3 , 11 , 53 , 309, 2119, …

Číslo 148349 je subfaktor , tj. se rovná součtu subfaktoriálů jeho číslic (analogicky k faktoru ):

148349={!1}+{!4}+{!8}+{!3}+{!4}+{!9}

(nalezl JS Madachy, 1979)

Subfaktoriál je někdy povolen v matematických hrách, jako je získávání různých výsledků z určitých čísel (například je známá hra Four Fours , kde může být užitečná rovnost! 4 \u003d 9).

Poznámky

↑ OEIS sekvence A000166 = Subfaktoriální nebo rencontres čísla, nebo odchylky: počet permutací n prvků bez pevných bodů
↑ OEIS sekvence A000255 = a (n) počítá permutace [1,...,n+1] bez podřetězce [k,k+1]