Přidání funkce dělitele

Sčítací funkce dělitele v teorii čísel je funkce, která je součtem funkce dělitele . Funkce je často používána vyšetřovat asymptotické chování Riemann zeta funkce . Různá studia asymptotického chování funkce děliče jsou někdy označována jako problémy s dělitelem .

Definice

Funkce součtového dělitele je definována jako:

D(x)=\součet _{n\leq x}d(n)=\součet _{j,k \atop jk\leq x}1

kde

d(n)=\sigma _{0}(n)=\sum _{j,k \atop jk=n}1

je funkce dělitele . Funkce dělitel počítá počet způsobů, kterými lze celé číslo n zapsat jako součin dvou celých čísel.

Obecněji to lze definovat jako

D_{k}(x)=\součet _{n\leq x}d_{k}(n)=\součet _{mn\leq x}d_{k-1}(n)

kde d k ( n ) definuje počet způsobů, jak reprezentovat číslo n jako součin k čísel. Toto číslo lze vizuálně znázornit jako počet bodů mřížky ohraničených hyperbolickou plochou v k rozměrech. Pak pro k =2 D ( x )= D 2 ( x ) představuje počet bodů čtvercové mřížky ohraničených souřadnicovými osami a hyperbolou jk = x . Toto číslo lze zhruba znázornit jako hyperbolický simplex , což nám umožňuje získat alternativní způsob vyjádření D ( x ) a jednodušší způsob výpočtu v čase : $O({\sqrt {x)))$

D(x)=\součet _{k=1}^{x}\lpodlaží {\frac {x}{k))\rpodlaží =2\součet _{k=1}^{u}\lpodlaží {\frac {x}{k}}\rpodlaží -u^{2}

, kde

u=\lfloor {\sqrt {x}}\rfloor

Pokud je v tomto kontextu hyperbola nahrazena kružnicí, dostaneme problém s výpočtem podobné funkce, která je známá jako problém Gaussova kruhu .

Problém Dirichletova dělitele

Najít úplný výraz pro tento součet se zdá nemožné, ale lze uvést aproximaci, kterou lze snadno najít. Dirichlet to ukázal

D(x)=x\log x+x(2\gamma -1)+\Delta (x)\

kde je Euler-Mascheroniho konstanta a neasymptotická složka je rovna $\gamma$

\Delta (x)={\mathcal {O}}\left({\sqrt {x}}\right).

Přesnou formulací problému Dirichletova dělitele je najít infimum všech hodnot , pro které $\theta$

\Delta (x)={\mathcal {O}}\left(x^{\theta +\epsilon }\right)

platí pro jakýkoli . Do roku 2006 zůstal problém nevyřešen. $\epsilon >0$

Část F1 nevyřešených problémů v teorii čísel [1] poskytuje přehled toho, co je známo a co zůstává neznámé o problému Dirichletova dělitele a problému Gaussova kruhu.

V roce 1904 Voronoi dokázal, že odhad odchylky lze zlepšit na [2] . ${\mathcal {O}}(x^{1/3}\log x)$
V roce 1916 to Hardy ukázal . Zejména ukázal, že pro nějakou konstantu existuje x takové, že a x takové, že [3] . $\inf \theta \geq 1/4$ $K$ ${\displaystyle \Delta (x)>Kx^{1/4))$ ${\displaystyle \Delta (x)<-Kx^{1/4))$
V roce 1922 Johannes van der Corput zlepšil Dirichletův odhad na $\inf \theta \leq 33/100.$
V roce 1928 to dokázal Johannes van der Corput $\inf \theta \leq 27/82.$
V roce 1950 Chih Tsung-tao a nezávisle v roce 1953 JE Richert dokázali, že $\inf \theta \leq 15/46.$
V roce 1969 to ukázal Grigorij Kolesnik $\inf \theta \leq 12/37$
V roce 1973 to ukázal Grigorij Kolesnik . $\inf \theta \leq 346/1067$
V roce 1982 to ukázal Grigorij Kolesnik . $\inf \theta \leq 35/108$
V roce 1988 G. Ivanets a CJ Mozzochi dokázali, že [4] . $\inf \theta \leq 7/22$
V roce 2003 Martin Huxley zlepšil odhad tím, že ukázal, že [5] . $\inf \theta \leq 131/416$

Skutečná hodnota tedy leží někde mezi 1/4 a 131/416 (přibližně 0,3149). Široce přijímaná hypotéza je, že hodnota je přesně 1/4. Přímé výpočty vedou k této domněnce, protože se ukazuje jako téměř normální rozdělení s rozptylem 1 pro x až 10 16 . $\inf \theta$ $\Delta (x)$ ${\displaystyle \Delta (x)/x^{1/4))$

Problém zobecněného dělitele

V generalizovaném případě

D_{k}(x)=xP_{k}(\log x)+\Delta _{k}(x)

kde je polynom stupně . $P_{k}$ $k-1$

Pomocí jednoduchých odhadů to lze ukázat

\Delta _{k}(x)={\mathcal {O}}\left(x^{1-1/k}\log ^{k-2}x\right)

pro celá čísla . Stejně jako v případě , spodní hranice není známa. Označíme-li minimální hodnotou, pro kterou $k\geq 2$ $k=2$ $\theta_k$

\Delta _{k}(x)={\mathcal {O}}\left(x^{\theta _{k}+\varepsilon }\right)

pro any , pak jsou známy následující výsledky: $\varepsilon >0$

Voronoi a Landau: pro $\theta _{k}\leq {\frac {k-1}{k+1))$ $k=2,3,\ldots$
Hardy a Littlewood: pro $\theta _{k}\leq {\frac {k-1}{k+2))$ $k=4,5,\ldots$
Hardy to ukázal $\theta _{k}\geq {\frac {k-1}{2k))$ $k=2,3,\ldots$
Titchmarsh to navrhl . $\theta _{k}={\frac {k-1}{2k))$

Mellinova transformace

Oba pojmy lze vyjádřit pomocí Mellinovy transformace :

D(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{ci\infty }^{c+i\infty }\zeta ^{2}(w){\frac { x^{w}}{w}}\,dw

pro . Zde jsou Riemannovy zeta funkce . $c>1$ $\zeta (s)$

Stejně

\Delta (x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c^{\prime }-i\infty }^{c^{\prime }+i\infty } \zeta ^{2}(w){\frac {x^{w}}{w}}\,dw

s . Asymptotický člen se získá posunutím obrysu za dvojitý singulární bod : asymptotický člen je prostě zbytek (podle Cauchyho integrálního vzorce ). $0<c^{\prime }<1$ $D(x)$ $w=1$

Obecně

D_{k}(x)={\frac {1}{2\pi i))\int _{ci\infty }^{c+i\infty }\zeta ^{k}(w){ \frac {x^{w}}{w}}\,dw

a totéž pro , pro . $\Delta _{k}(x)$ $k\geq 2$

Poznámky

↑ Richard K. Guy. Nevyřešené problémy v teorii čísel. — 3. - Berlin: Springer, 2004. - ISBN 978-0-387-20860-2 .
↑ Ivic Aleksandar. Riemann Zeta-funkce. - New York: Dover Publications, 2003. - ISBN 0-486-42813-3 .
↑ Montgomery Hugh, R. C. Vaughan . Multiplikativní teorie čísel I: Klasická teorie. - Cambridge: Cambridge University Press, 2007. - ISBN 978-0-521-84903-6 .
↑ Henryk Iwaniec, CJ Mozzochi . O úlohách dělitele a kruhu // Journal of Number Theory. - 1988. - Vydání. 29 . - S. 60-93 . - doi : 10.1016/0022-314X(88)90093-5 .
↑ Martin Huxley. Exponenciální součty a mřížkové body III // Proc. Londýnská matematika. Soc .. - 2003. - T. 87 , č. 3 . - S. 591-609 . - doi : 10.1112/S0024611503014485 .

Literatura

Harold Edwards . Riemannova funkce Zeta“. - Dover Publications, 1974. - ISBN 0-486-41740-9 .
EC Titchmarsh. kapitola 12 pro diskusi o problému zobecněného dělitele // Teorie Riemannovy zeta-funkce. — Oxford: Oxford v Clarendon Press, 1951.
Apostol, Tom M. Úvod do analytické teorie čísel, Vysokoškolské texty v matematice. - New York-Heidelberg: Springer-Verlag, 1976. - ISBN 978-0-387-90163-3 . . Uvádí úvod do Dirichletova problému dělitele.
Vstal. Kurz teorie čísel . - Oxford, 1988.
Martin Huxley . Exponenciální součty a mřížkové body III // Proc. Londýnská matematika. soc. - 2003. - T. 87 , č. 3 . - S. 591-609 .