Sférická sinusová věta

Sférický sinusový teorém stanoví úměrnost mezi siny stran a , b , c a siny úhlů A , B , C protilehlých těmto stranám sférického trojúhelníku :

Sférická sinusová věta je obdobou rovinné sinusové věty a přechází do ní v limitu malosti stran trojúhelníků ve srovnání s poloměrem koule.

Důkaz projekcemi [1] . Obrázek ukazuje sférický trojúhelník ABC na kouli o poloměru R se středem v O ​​. BP  je kolmá k rovině velké kružnice procházející stranou b , BM  je kolmá k OC , BN  je kolmá k OA . Převrácením věty o třech kolmicích je PM  kolmice k OC , PN  je kolmice k OA . Všimněte si, že úhel PMB je roven π - C, navíc BN= R sin c a BM = R sin a. Dále promítnutím BN a BM na BP dostaneme:

Podobně získáme druhou rovnost.

Důkaz založený na již ověřených vztazích mezi stranami a úhly sférického pravoúhlého trojúhelníku. Pusťme kolmici CD = h z vrcholu C na stranu c nebo její pokračování. Z výsledných pravoúhlých trojúhelníků ACD a BCD vyjádříme h dvěma způsoby :

Odtud dostaneme poměr

ke kterému obdobně přidáme poměr třetí dvojice strana-úhel.

Historie

Sinusová věta pro sférické trojúhelníky byla formulována a prokázána ve spisech řady matematiků středověkého Východu, kteří žili v 10. století našeho letopočtu. E. - Abu-l-Vafa , al-Khojandi a Ibn Irák . Tato věta umožnila zjednodušit řešení řady problémů sférické astronomie, které byly dříve řešeny pomocí Menelaovy věty pro úplný čtyřúhelník .

Viz také

• Řešení trojúhelníků
• Sinusová věta
• Sférické kosinové věty

Poznámky

1. ↑ Citováno podle publikace: Stepanov N.N. Sinusové vzorce // Sférická trigonometrie . - M. - L .: OGIZ , 1948. - S.  29 -32. — 154 str.

Literatura

• Matvievskaya G.P. Eseje o historii trigonometrie. Taškent: Fan, 1990.