Borelská konvergence

Borelova konvergence je zobecněním konceptu řadové konvergence navrženého francouzským matematikem Emilem Borelem . Existují dvě neekvivalentní definice, které jsou spojeny se jménem Borel.

Definice

Nechť je dána číselná řada , která se nazývá Borelova konvergentní (nebo B -konvergentní), pokud existuje limita : $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.$

\lim _{x\to \infty }e^{-x}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!)}}S_{ k }=S,

kde S k jsou dílčí součty řady. Číslo S se pak nazývá borelovský součet řady.

Nechť je dána číselná řada Řada se nazývá Borelova konvergentní (nebo B ' -konvergentní), pokud existuje integrál : $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.$

\int _{0}^{\infty }dte^{-t}\sum _{n}{\frac {a_{n}}{n!)}}t^{n}=S

Příklad

Uvažujme řadu Tato řada je divergentní pro libovolnou řadu , ale podle integrálních definic borelské konvergence máme: $\sum _{0}^{\infty }n!x^{n}.$ $x\neq 0.$

\sum _{0}^{\infty }n!x^{n}=\int _{0}^{\infty }dte^{-t}\sum _{n=0}^{\ infty }(xt)^{n}=\int _{0}^{\infty }dt{\frac {e^{-t)){1-xt)),

a součet je specifický pro záporné hodnoty x .

Vlastnosti

Nechte funkci:

{\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k))

je regulární na nule a C je množina všech jeho singulárních bodů . Každým bodem nakreslíme úsečku a přímku , která prochází bodem P kolmo k . Množina bodů ležících na stejné straně s nulou ke každé z přímek je označena . Potom se hranice oblasti nazývá borelský mnohoúhelník funkce f(z) a oblast se nazývá její vnitřní oblast. Věta je pravdivá: řada $P\in C$ $OP$ $L_{p}\,,$ $OP$ $L_{p}\,,$ $\Pí$ $\Gamma$ $\Pí$ $\Pí$

{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k))

je B -konvergentní v doméně a není B -konvergentní v doméně – doplněno na . $\Pí$ $\Pi ^{*}$ $\Pí$

Viz také

Odkazy

Borelova sumační metoda , v Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104
Shrnutí borelů

Literatura

Fikhtengol'ts G. M. Kurz diferenciálního a integrálního počtu. Svazek 2. - Ed. 6-je, stereotypní. — M.: Nauka, 1966
Hardy G., Divergentní řada, přel. z angličtiny, M., 1951.
Shawyer, Bruce; Watson, Bruce (1994), Borel's Methods of Summability: Theory and Applications, Oxford UP, ISBN 0-19-853585-6 .