Hilbertova věta 90

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 24. dubna 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Hilbertův teorém 90 je jedním z hlavních tvrzení pro konečná cyklická Galoisova rozšíření .

Násobná forma

Nechť je Galoisova grupa konečného cyklického rozšíření a buď jeho generátor. Pak je norma libovolného prvku 1 právě tehdy, když existuje nenulový prvek , což je $G$ $E/K,$ $\sigma$ $\beta \v E$ $\alpha \v E$ $\beta ={\frac \alpha {\sigma (\alpha ))).$

Důkaz

Dostatečnost je zřejmá: pokud tedy, vezmeme-li v úvahu multiplikativitu normy, máme Vzhledem k tomu, že norma pro oddělitelná rozšíření je rovna součinu všech a aplikace na takový součin vede pouze k permutaci faktorů, pak $\beta ={\frac \alpha {\sigma (\alpha ))),$ $N(\beta )={\frac {N(\alpha )}{N(\sigma (\alpha )))).$ $\sigma _{i}(\alpha),$ $\sigma$ ${\frac {N(\alpha )}{N(\sigma (\alpha ))))={\frac {N(\alpha )}{N(\alpha )))=1.$

Abychom dokázali nutnost, napíšeme následující mapování:

{\mathrm {id}}+\beta \sigma +\beta \sigma (\beta )\sigma ^{2}+\ldots +(\beta \sigma (\beta )\ldots \sigma ^{{n-2 }}(\beta )\sigma ^{{n-1}}).

Podle teorému o lineární nezávislosti znaků není toto zobrazení nulové. Proto existuje prvek, pro který $\gamma \in E,$

0\neq \alpha =\gamma +\beta \sigma (\gamma )+\beta \sigma (\beta )\sigma ^{2}(\gamma )+\ldots +(\beta \sigma (\beta )\ ldots \sigma ^{{n-2}}(\beta )\sigma ^{{n-1}}(\gamma).

Pokud použijeme mapování na a poté výsledný výraz vynásobíme, první člen přejde na druhý atd. a poslední přejde na první, protože $\sigma$ $\alpha ,$ $\beta,$ $\beta \sigma (\beta )\ldots \sigma ^{{n-2}} (\beta )\sigma ^{{n-1}}(\beta )=N(\beta )=1.$

Pak dostaneme, že je dokázáno dělení tím , že máme Nezbytnost. $\beta \sigma (\alpha )=\alpha ,$ $\sigma (\alpha )\neq 0$ $\beta ={\frac \alpha {\sigma (\alpha ))).$

Aditivní forma

Nechť je Galoisova grupa konečného cyklického rozšíření a buď jeho generátor. Pak je stopa prvku 0 právě tehdy, když existuje nenulový prvek takový , že $G$ $E/K,$ $\sigma$ $\beta \v E$ $\alpha\v E,$ $\beta =\alpha -\sigma (\alpha).$

Důkaz dostatečnosti je zcela analogický s multiplikativním případem a v případě potřeby uvažujeme prvek, pro který a konstruujeme požadované ve tvaru: $\gamma \in E,$ ${\mathrm {tr}} \gamma \neq 0$ $\alpha$

\alpha ={\frac {1}{{\mathrm {tr}}\gamma }}[\beta \sigma (\gamma )+(\beta +\sigma (\beta ))\sigma ^{2}(\ gamma )+\ldots +(\beta +\ldots +\sigma ^{{n-2}}(\beta ))\sigma ^{{n-1}}(\gamma )|.

Literatura

Leng S. Algebra . - M .: Mir, 1967. - S. 243 -244.

Viz také

Galoisova kohomologie

Příspěvek Davida Hilberta k vědě
prostory	Hilbertův prostor PředHilbertův prostor Gilbertova cihla
axiomatika	Hilbertova axiomatika
Věty	Hilbertova věta 90 Hilbertova základní věta Hilbertova nulová věta Hilbert-Schmidtova věta
Operátoři	Hilbertova transformace Operátor Hilbert-Schmidt
Obecná teorie relativity	Einstein-Hilbertovy rovnice " Hilbert a rovnice gravitačního pole "
jiný	Hilbertovy problémy Hilbertova křivka Hilbertova matice Problém Hilbert-Arnold Hilbertova řada a Hilbertův polynom Paradox "Grand Hotel"