Hilbert-Schmidtova věta

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 8. října 2016; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Hilbert -Schmidtův teorém rozšiřuje na zcela spojité symetrické operátory v Hilbertově prostoru dobře známý fakt o redukci matice samoadjungovaného operátoru v konečnorozměrném euklidovském prostoru na diagonální formu v nějaké ortonormální bázi .

Prohlášení věty

Pro jakýkoli zcela spojitý symetrický operátor v Hilbertově prostoru existuje ortonormální systém vlastních prvků odpovídající vlastním číslům operátoru tak, že pro jakýkoli existuje reprezentace $A$ $H$ $\{x_i\}$ $\{\lambda_n\}$ $A$ $x\v H$

x=\sum_k\xi_k x_k+x_0,\ x_0\in\jméno operátora{Ker}\,A,\ Ax=\sum_k\lambda_k \xi_k x_k,

navíc součet může být buď konečná nebo nekonečná řada, v závislosti na počtu vlastních prvků operátoru . Pokud jich je nekonečně mnoho, pak . $A$ $\lim_{n\rightarrow\infty}\lambda_n=0$

Hilbert-Schmidtův teorém pro integrální operátory

Hilbert-Schmidtův teorém lze použít k řešení nehomogenní integrální rovnice se spojitým (a také slabě polárním) Hermitovým jádrem .

Pro integrální operátor je věta přeformulována následovně: je-li funkce zdrojově reprezentovatelná v podmínkách Hermitova spojitého jádra (tj . taková, že ), pak její Fourierova řada z hlediska vlastních funkcí jádra konverguje absolutně a jednotně k tato funkce: $(kg)(x)=\int\limits_G\!K(x,y)g(y)\,dy$ $f(x)$ $K(x,y)$ $\existuje g(x)\v L^2(G)$ $f(x)=(kg)(x)$ $K(x,y)$ $G$

f(x)=\sum_{k=1}^\infty(f,\varphi_k)\varphi_k(x)=\sum_{k=1}^\infty\frac{(g,\varphi_k)}{\lambda_k }\varphi_k(x),

kde a jsou vlastní funkce jádra odpovídající vlastním číslům . $\varphi_k$ $\lambda_k$

Literatura

Vladimirov V. S. , Zharinov V. V. Rovnice matematické fyziky. — M.: Fizmatlit, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5 .
Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. Základy teorie funkcí a funkcionální analýzy. - 7. vyd. - M. : FIZMATLIT, 2004. - S. 263-266. — 572 s. — ISBN 5-9221-0266-4 .

Viz také

Operátor Hilbert-Schmidt

Příspěvek Davida Hilberta k vědě
prostory	Hilbertův prostor PředHilbertův prostor Gilbertova cihla
axiomatika	Hilbertova axiomatika
Věty	Hilbertova věta 90 Hilbertova základní věta Hilbertova nulová věta Hilbert-Schmidtova věta
Operátoři	Hilbertova transformace Operátor Hilbert-Schmidt
Obecná teorie relativity	Einstein-Hilbertovy rovnice " Hilbert a rovnice gravitačního pole "
jiný	Hilbertovy problémy Hilbertova křivka Hilbertova matice Problém Hilbert-Arnold Hilbertova řada a Hilbertův polynom Paradox "Grand Hotel"