Gromovova věta o kompaktnosti (Riemannova geometrie)
Gromovova věta o kompaktnosti nebo Gromovova věta o výběru uvádí, že množina Riemannových variet dané dimenze s Ricciho křivostí ≥ c a průměrem ≤ D je v Gromovově–Hausdorffově metrice relativně kompaktní .
Historie
Větu dokázal Gromov , [1]
v důkazu je použita Bishop-Gromovova nerovnost .
Objevení se této věty podnítilo studium Alexandrovových prostorů
se zakřivením ohraničeným níže v dimenzích 3 a vyšších a později zobecněných prostorů s Ricciho zakřivením ohraničeným níže.
Variace a zobecnění
Gromovův teorém je důsledkem následujícího tvrzení.
- Jakákoli univerzálně zcela ohraničená rodina metrických prostorů je v Gromovově-Hausdorffově metrice relativně kompaktní.
- O rodině metrických prostorů se říká, že je univerzálně zcela ohraničená, pokud pro jakýkoli existuje kladné celé číslo , takže jakýkoli prostor z připouští -síť nanejvýš bodů.
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
![\varepsilon >0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e04ec3670b50384a3ce48aca42e7cc5131a06b12)
![N(\varepsilon)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f00ece08176c0cb5df492282936cdc5185331b75)
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
![\varepsilon](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a30c89172e5b88edbd45d3e2772c7f5e562e5173)
![N(\varepsilon)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f00ece08176c0cb5df492282936cdc5185331b75)
Viz také
Poznámky
- ↑ Gromov, Mikhael (1981), Structures métriques pour les variétés riemanniennes , sv. 1, Textes Mathématiques [Matematické texty], Paříž: CEDIC, ISBN 2-7124-0714-8
Literatura
- D. Yu. Burago, Yu. D. Burago, S. V. Ivanov. Kurz metrické geometrie. - Moskva-Iževsk: Institut počítačového výzkumu, 2004. - 512 s. — ISBN 5-93972-300-4 .