Koopman-von Neumannova teorie

Teorie Koopmana -von Neumanna (KvN-teorie) v matematické fyzice je původní přeformulování klasické statistické mechaniky , vytvořené americkými matematiky Johnem von Neumannem a Bernardem Koopmanem . Formalismus Koopman-von Neumannovy mechaniky je co nejblíže formalismu nerelativistické kvantové mechaniky : stav dynamického systému v ní je popsán pomocí klasické vlnové funkce, která je obdobou kvantově mechanické vlnové funkce , klasická Liouvilleova rovnice získává matematickou strukturu Schrödingerovy rovnice atd.

Ideologicky je teorie KvN diametrálně odlišná od Wignerovy reprezentace , ve které je obdobné myšlenky sjednocení matematického aparátu klasické statistické a kvantové fyziky dosaženo naopak převedením vlnové funkce, která se objevuje v Schrödingerově rovnici na Wignerova funkce definovaná v klasickém fázovém prostoru . Je příznačné, že obě tyto teorie vznikaly téměř současně – v letech 1931-1932 .

Historie vytvoření

Počátky teorie KvN jsou úzce spjaty s historií vzniku ergodické teorie jako samostatného odvětví matematiky. Na začátku roku 1931 zůstával vážným problémem teoretické fyziky nedostatek přijatelného matematického zdůvodnění ergodické hypotézy , formulované L. Boltzmannem v roce 1887 . To zejména znesnadnilo důsledné odvození zákonů termodynamiky plynů, přičemž jako výchozí bod byl použit mikroskopický obraz pohybu velkého souboru molekul, který nastává v souladu se zákony newtonovské mechaniky [1] .

Za přímý předpoklad řešení problému lze považovat práci amerického matematika Marshalla Stonea z roku 1930 o spektrální teorii jednoparametrových grup unitárních operátorů [2] . Již v následujícím roce vyšla klíčová práce Koopmana [3] , který si všiml, že fázový prostor klasického systému vyvíjejícího se v souladu se standardními zákony klasické mechaniky lze přeměnit na Hilbertův prostor postulováním přirozeného pravidla integrace přes body fázového prostoru jako definice skalárního díla [4] . Je pozoruhodné, že evoluci fyzikálních proměnných v tomto případě začínají popisovat unitární operátory, které tvoří jednoparametrovou skupinu, pro kterou platí Stoneovy výsledky.

Taková operátorská reprezentace klasické mechaniky byla v té době zcela nová myšlenka; to podnítilo von Neumanna, jednoho ze zakladatelů kvantové mechaniky a předního odborníka na teorii operátorů, aby se pokusil aplikovat operátorově-teoretický přístup k řešení ergodického problému. Na základě výsledků Koopmana a A. Weila dokončil vytvoření operátorového formalismu klasické mechaniky, dnes známého jako Koopman-von Neumannova teorie, a již v roce 1932 publikoval řadu prací, které se staly základem moderní ergodické teorie. (v těchto článcích byla zejména prokázána slavná statistická ergodická věta ) [5] . Je zvláštní, že ve stejném roce von Neumann také publikoval Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, který obsahoval první kompletní, rigorózní a systematický výklad kvantové mechaniky v moderním jazyce Hilbertových prostorů.

Základní ustanovení a vlastnosti

Výchozím bodem teorie KvN je zavedení Hilbertova prostoru komplexně hodnotných a čtvercově integrovatelných funkcí souřadnic a momentů , vybavených následujícím vnitřním součinem: $\Psi(t,p,q)$ $q$ $p$

\langle \Psi _{1}(t)|\Psi _{2}(t)\rangle =\int \limits _{p}\int \limits _{q}\Psi _{1}^ {*}(t,p,q)\Psi _{2}(t,p,q)\,dq\,dp,

(jeden)

kde hvězdička znamená komplexní konjugaci (k dosažení co nejvizuálnější analogie s kvantovou mechanikou, dále bude k označení prvků Hilbertova prostoru použit Diracův algebraický formalismus ) [6] . Předpokládá se, že druhá mocnina modulu takových funkcí je rovna klasické hustotě pravděpodobnosti nalezení částice v daném bodě ve fázovém prostoru v daném čase : $\rho (p,q,t)$ $(p,q)$ $t$

\rho (t,p,q)=|\Psi (t,p,q)|^{2}.

(2)

Z tohoto postulátu a definice ( 1 ) kromě normalizační podmínky vyplývá , že průměrnou hodnotu libovolné fyzikální veličiny , dané reálnou funkcí , lze zjistit vzorcem $\langle \Psi (t)|\Psi (t)\rangle =1$ $\langle X\rangle$ $X$ $X(p,q)$

\langle X\rangle (t)=\langle \Psi (t)|{\hat {X))\Psi (t)\rangle =\langle \Psi (t){\hat {X}}| \Psi (t)\rangle =\langle \Psi (t)|{\hat {X}}|\Psi (t)\rangle ,

(3)

který se formálně shoduje s analogickým výrazem Schrödingerovy kvantové mechaniky (význam výše uvedeného čepice bude vysvětlen níže). Díky tomu je legitimní dát funkci název klasické vlnové funkce . $X$ $\Psi(t,p,q)$

Ústředním tvrzením teorie je postulát, že zákon evoluce klasické vlnové funkce se musí přesně shodovat ve formě s Liouvilleovou rovnicí pro klasické rozložení hustoty pravděpodobnosti ve fázovém prostoru: $i{\frac {\partial }{\partial t))\rho ={\hat {L))\rho$ $\rho (t,p,q)$

i{\frac {\partial }{\partial t))|\Psi \rangle ={\hat {L))|\Psi \rangle ,

(čtyři)

kde

{\hat {L}}=-iH_{p}(x,p){\frac {\částečné }{\částečné x}}+iH_{x}(x,p){\frac {\částečné }{\částečné p))

(5)

je klasický operátor Liouville . Z tohoto postulátu, vezmeme-li v úvahu vlastnosti ( 2 ) a ( 3 ) klasické vlnové funkce, pro ni můžeme získat nejobecnější vyjádření:

\Psi (t,p,q)={\sqrt {\rho (t,p,q)))e^{i\phi (t,p,q)},

(6)

ve kterém je fáze libovolnou reálnou funkcí jejích argumentů. $\phi (t,p,q)$

Důležitým rysem Koopman-von Neumannovy teorie je, že výrazy ( 5 ) a ( 6 ) jsou pouze jednou z mnoha možných ekvivalentních reprezentací dynamických rovnic. Nejobecnější moderní forma generátoru pohybu ( 5 ) je následující:

{\klobouček {L}}=-H_{p}({\klobouček {x}},{\klobouček {p}}){\klobouček {\lambda }}_{x}+H_{x} ({\klobouček {x)),{\klobouček {p))){\klobouček {\lambda }}_{p},

(7)

kde jsou samoadjungované operátory splňující následující komutační vztahy: ${\klobouček {x)),{\klobouček {p)),{\klobouček {\lambda }}_{x},{\klobouček {\lambda }}_{p}$

[{\hat {x}},{\hat {\lambda }}_{x}]=i;\quad [{\hat {p}},{\hat {\lambda }}_{p }]=i;\quad [{\klobouk {p)),{\klobouk {x}}]=[{\klobouk {\lambda }}_{p},{\klobouk {\lambda }}_{x }]=[{\klobouk {p)),{\klobouk {\lambda }}_{x}]=[{\klobouk {\lambda }}_{p},{\klobouk {x}}]=0 ,

(osm)

ve kterém je komutátor operátoru označen závorkami . Relace ( 8 ) jsou klasickou obdobou kanonických komutačních vztahů kvantové mechaniky. Je snadné zkontrolovat, že výraz ( 5 ) je získán z ( 8 ) při výběru , , , . Nicméně, stejně jako v kvantové mechanice, výběr konkrétní algebraické formy pro tyto operátory není podstatný a je určován pouze úvahami o vhodnosti. $[\cdot ,\cdot ]$ ${\klobouček x}=x$ ${\hat {p}}=p$ ${\hat {\lambda ))_{x}=-i{\frac {\partial }{\partial x))$ ${\hat {\lambda ))_{p}=-i{\frac {\partial }{\partial p))$

Podobně je jakákoli fyzikální veličina spojena s hermitovským operátorem klasické pozorovatelné , získaným nahrazením operátorů za odpovídající argumenty. Je poučné, že na rozdíl od kvantové mechaniky je taková substituce unikátní díky tomu, že klasické operátory a komutují. Ze stejného důvodu mezi sebou pendlují operátoři KvN všech fyzikálních veličin. $X(p,q)$ ${\hat {X}}=X({\hat {p}},{\hat {q}}))$ $\hat x$ ${\hat {p))$

Generátor pohybu ( 7 ) je také hermitovský operátor , a proto je časová dynamika popsaná rovnicí ( 4 ) popsána nějakou unitární transformací klasické vlnové funkce: a zobrazení je jednoparametrová grupa . V tomto smyslu je rovnice ( 4 ) strukturálně zcela ekvivalentní Schrödingerově rovnici. Právě toto Koopmanovo pozorování podnítilo rozvoj teorie KvN. $U_{t}$ $|\Psi (t)\rangle =U_{t}|\Psi (0)\rangle$ ${\displaystyle t\mapto U_{t))$

Dnes se možnost výše uvedené abstraktní operátorské formy zápisu rovnic klasické dynamiky může zdát dostatečně zřejmá, ale na počátku třicátých let byla tato myšlenka zcela nová a revoluční. Otevřela nečekané vyhlídky pro přímé spojení kvantově mechanického matematického aparátu, zejména teorie reprezentace, s analýzou klasických systémů, což von Neumann neopomněl použít k prokázání své ergodické věty. [1] Jako příklady modernějších výpůjček lze uvést metody poruchové teorie a funkční integrace [7] , techniku Feynmanova diagramu [8] .

Korelace s kvantovou mechanikou

Navzdory mnoha formálním podobnostem se Schrödingerovou kvantovou mechanikou má teorie KvN s ní významné rozdíly. Přímé ověření [6] ukazuje, že evoluce klasické vlnové funkce ( 6 ) podle zákona ( 4 ) se rozkládá na dvě nezávislé rovnice pro fázi a preexponenciální faktor. Fázový faktor tedy v teorii KvN působí jako libovolný volný parametr, který nijak neovlivňuje dynamiku klasických pozorovatelných veličin. Tím se kvalitativně odlišuje klasická vlnová funkce od kvantové, kde podobný fázový faktor nese důležitou informaci o kvantové koherenci , která je zdrojem všech specificky kvantových efektů. Ze stejného důvodu neselektivní měření nemění klasickou vlnovou funkci [6] . $\phi (t,p,q)$ $\phi (t,p,q)$


Podrobnosti Video soubory ilustrují klasickou a kvantovou dynamiku distribuce částic o jednotkové hmotnosti v Morseově potenciálu : pro identické počáteční podmínky: . Černé tečky zobrazují pohyb klasických částic v souladu se zákony newtonovské dynamiky . Černé čáry jsou úrovně stejné celkové (kinetické + potenciální) energie částic. $U(x)=20(1-e^{-0{,}16x})^{2}$ $P(0,p,q)=\Psi (0,p,q)$

Dalším zásadním rozdílem mechaniky KvN je izolované místo generátoru pohybu ( 7 ) — klasický Liouvillean. Operátor ( 7 ) je jediným operátorem teorie, který neodpovídá žádné fyzikální veličině a nekomutuje s operátory fyzikálních veličin (které, připomínám, všechny komutují díky vztahům ( 8 )). Z tohoto důvodu je v teorii KvN pro zavedení pohybového generátoru nutné rozšířit algebru operátorů fyzikálních veličin o zavedení speciálních pomocných "diferenciálních" operátorů a . Kvantově mechanické pouzdro je mnohem jednodušší. Kvantový hamiltonián, který představuje generátor pohybu ve Schrödingerově rovnici , je zároveň kvantově mechanickým operátorem energie systému a v případě potřeby jej lze vyjádřit operátory jiných pozorovatelných veličin, tj. není třeba zvenčí uměle zavádět do algebry kvantových operátorů. Kdo ví, zda tento rozdíl není základním filozofickým důvodem, který přiměl Přírodu, aby „upřednostňovala“ kvantovou mechaniku? [9] $\lambda _{x}$ $\lambda _{p}$

Zajímavou a ne zcela pochopenou otázkou je, zda je Koopman-von Neumannův model klasickou limitou jakékoli kvantové reprezentace. Odpověď, a zcela neočekávaná, je dostupná pouze pro případ, kdy je kvantovou „protistranou“ klasické vlnové funkce čistý kvantový stav . [10] Lze ukázat, že správný generátor pohybu KvN ve tvaru ( 7 ) získáme jako klasickou limitu v odpovídajícím generátoru pohybu pro Wignerovu funkci . Pikantní situace spočívá ve skutečnosti, že Wignerova funkce a jí odpovídající pohybový generátor nejsou definovány v Hilbertově, ale v klasickém fázovém prostoru, což ztělesňuje myšlenku převedení popisu kvantově mechanických procesů do jazyka. klasické mechaniky, která je v podstatě diametrálně odlišná od koncepce KvN teorie. Zkrocení boje protikladů lze dosáhnout zavedením skalárního součinu ve tvaru ( 1 ) do klasického fázového prostoru a postulováním namísto standardního vzorce pro výpočet průměrů $\hbar \to 0$ $P(p,q)$

\langle X\rangle =\int \limits _{p}\int \limits _{q}X(p,q)P(p,q)\,dq\,dp

(9)

pravidlo ( 3 ) (se substitucí funkce místo ). Je dokázáno, že takto modifikovaná Wignerova reprezentace je fyzikálně správná pro čisté kvantové stavy (tj. výsledky výpočtů podle vzorců ( 3 ) a ( 9 ) se shodují) a přechází na rovnice Koopman-von Neumannovy mechaniky v klasické limitě. . Je pozoruhodné, že v tomto případě je radikálně odstraněn problém negativity „Wignerovy kvazi-pravděpodobnostní distribuční funkce“ , protože v nové interpretaci se rozdělení pravděpodobnosti neshoduje s funkcí , ale je vypočítáno podle vzorce ( 2 ) a je vždy pozitivní. Významnou slabinou výše uvedeného schématu je však nemožnost jeho rozšíření na případ smíšených kvantových stavů . $P(p,q)$ $\Psi(p,q)$ $\hbar \to 0$ $P(p,q)$

Význam

Koopmanova-von Neumannova teorie na rozdíl od dosti hojně používaného Wignerova zobrazení za léta své existence nenalezla přímé praktické uplatnění, a proto její zmínku ve vědecké literatuře najdeme především na stránkách publikace určené úzkému okruhu odborníků na matematickou fyziku. Vzhledem k relativně nízké oblibě teorie zůstává její historický význam a metodologický potenciál málo prozkoumaný.

V moderních pracích se teorie KvN někdy používá jako konstruktivní nástroj, například pro vývoj techniky Feynmanových diagramů v klasické poruchové teorii. [8] Jeho hlavní nikou v moderní vědě je však reinterpretace výsledků získaných jinými metodami za účelem objasnění jejich fyzikálního významu, zobecnění a systematizace. To platí především pro semiklasické případy, pro které je teorie vhodným doplňkovým nástrojem pro studium korespondence mezi klasickou a kvantovou limitou.

Poznámky

↑ 1 2 The Legacy of John von Neumann (Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, vol 50), edited by James Glimm, John Impagliazzo, Isadore Singer . - Amata Graphics, 2006. - ISBN 0-8218-4219-6
↑ Podrobnosti o Stoneově výsledku lze nalézt v článku Stoneova věta o skupinách unitárních operátorů v Hilbertově prostoru .
↑ Koopman, B. O. "Hamiltonovské systémy a transformace v Hilbertově prostoru" // Proceedings of the National Academy of Sciences 17 (5), 315 (1931).
↑ Podobné myšlenky byly vyvinuty současně a nezávisle Weilem .
↑ von Neumann, J. "Zur Operatorenmethod In Der Klassischen Mechanik" // Annals of Mathematics 33 (3), 587–642 (1932). von Neumann, J. "Zusatze Zur Arbeit "Zur Operatorenmethode..." // Annals of Mathematics 33 (4), 789–791 (1932). Collected Works of John von Neumann , Taub, AH, ed., Pergamon Press, 1963. ISBN 0-08-009566-6
↑ 1 2 3 Mauro, D. (2002). „Témata v Koopman-von Neumann teorie“ . arXiv:quant-ph/0301172 [quant-ph] Archivováno 6. října 2016 na Wayback Machine . (Existuje výběrový překlad do ruštiny od M.Kh. Shulmana: [1] Archivní kopie ze 4. března 2016 na Wayback Machine ).
↑ Liboff, RL Kinetická teorie : klasické, kvantové a relativistické popisy . - Springer, 2003. - ISBN 9780387955513 .
↑ 1 2 Blasone M., Jizba P., Kleinert H. "Path-integral approach to 't Hooft's derivation of kvantové fyziky from classic fyziky" // Physical Review A 71 (5), 052507 (2005).
↑ Grishanin B. A. „Klasická mechanika v kvantové formě: proč příroda „upřednostnila“ kvantovou mechaniku“, v knize: B. A. Grishanin. Vybraná díla a vzpomínky příbuzných, přátel a kolegů (editovali V. N. Zadkov a Yu. M. Romanovsky) - Nakladatelství MSU, 2011.
↑ Bondar D.; Cabrera R.; Ždanov D.; Rabitz H. (2012). "Wigner Function's Negativity Demystified" // arXiv:1202.3628[quant-ph] Archivováno 10. prosince 2020 na Wayback Machine .

Literatura

Mauro, D. (2002). „Témata v Koopman-von Neumann teorie“ . arXiv: quant-ph/0301172 [quant-ph] . (Existuje výběrový překlad do ruštiny od M. Kh. Shulmana: [2] ).
John von Neumann , Mathematical Foundations of Quantum Mechanics , Princeton University Press, 1955. Přetištěno v brožované podobě.
HR Jauslin, D. Sugny, Dynamika smíšených klasicko-kvantových systémů, geometrická kvantizace a koherentní stavy (odkaz není k dispozici) , Lecture Note Series, IMS, NUS, Review Vol., 13. srpna 2009
The Legacy of John von Neumann (Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, vol 50), edited James Glimm, John Impagliazzo, Isadore Singer . - Amata Graphics, 2006. - ISBN 0821842196