Toroidní polytop je polytop , který je také toroidem ( torus s g otvory), který má topologický rod , g , rovný nebo větší než 1.
Toroidní mnohostěny jsou definovány jako množina mnohoúhelníků , které sdílejí vrcholy a hrany a tvoří různý tvar . To znamená, že každá hrana musí být společná právě dvěma polygonům, vrchol každého vrcholu musí být jeden cyklus polygonů, ke kterým daný vrchol patří. Pro toroidní mnohostěny bude toto potrubí orientovanou plochou [1] . Někteří autoři omezují koncept „toroidního mnohostěnu“ na polytopy, které jsou topologicky ekvivalentní (rodu 1) torus [2] .
Zde je třeba rozlišovat mezi vnořenými toroidními polyedry, jejichž plochy jsou ploché polygony, které se vzájemně neprotínají v trojrozměrném euklidovském prostoru , od abstraktních polyedrů , topologických ploch bez konkrétní geometrické realizace [3] . Střed mezi těmito dvěma extrémy lze považovat za ponořené toroidní mnohostěny, tedy mnohostěny tvořené mnohoúhelníky nebo hvězdicovými mnohoúhelníky v euklidovském prostoru, které se mohou vzájemně protínat.
Ve všech těchto případech lze toroidní charakter mnohostěnů ověřit orientací a Eulerovou charakteristikou, což pro tyto mnohostěny není pozitivní.
Dva nejjednodušší možné vnořené toroidní mnohostěny jsou Chasar a Silashi mnohostěny.
Chasar polyhedron je toroidní mnohostěn se sedmi vrcholy, 21 hranami a 14 trojúhelníkovými plochami [4] . Pouze tento mnohostěn a čtyřstěn (ze známých) mají tu vlastnost, že jakákoli úsečka spojující vrcholy mnohostěnu je hranou mnohostěnu [5] . Duálním polytopem je polytop Silashi , který má 7 šestiúhelníkových ploch, z nichž každá dvojice spolu sousedí [6] , což poskytuje polovinu teorému, že maximální hodnota barev pro vybarvení mapy na torusu (rod 1) je sedm [7] .
Polytop Chasar má nejmenší možný počet vrcholů, který může mít vnořený toroidní polytop, a polytop Silashi má nejmenší možný počet ploch.
| Šest šestihranných hranolů | Čtyři čtvercové kupole 8 čtyřstěnů |
Osm oktaedrů |
Zvláštní kategorie toroidních mnohostěnů je konstruována pouze pravidelnými polygonálními plochami bez jejich průniku, s dodatečným omezením, že sousední plochy neleží ve stejné rovině. Tyto polytopy se nazývají Stewartovy toroidy [8] po profesorce Bonnie Stewart , která zkoumala jejich existenci [9] . Jsou analogické k Johnsonovým tělesům v případě konvexních mnohostěnů , ale na rozdíl od nich existuje nekonečně mnoho Stewartových toroidů [10] . Tyto mnohostěny také zahrnují toroidní deltahedry , mnohostěny, jejichž tváře jsou rovnostranné trojúhelníky.
Omezená třída Stewartových toroidů, také definovaná Stewartem, jsou kvazi-konvexní toroidní polyhedra . Jedná se o Stewartovy toroidy, které zahrnují všechny okraje jejich konvexních trupů . Pro tyto mnohostěny každá plocha konvexního trupu leží buď na povrchu toroidu, nebo je to mnohoúhelník, jehož hrany leží na povrchu toroidu [11] .
Octahemioctahedron |
Malý kuboktaedr |
Velký dvanáctistěn |
Mnohostěn tvořený systémem protínajících se mnohoúhelníků v prostoru je mnohostěnným ponořením abstraktní topologické rozmanitosti tvořené jeho mnohoúhelníky a systémem hran a vrcholů. Příklady zahrnují oktahemioktaedr (rod 1), malý kuboktaedr (rod 3) a velký dvanáctistěn (rod 4).
Korunovaný mnohostěn (nebo stephanoid ) je toroidní mnohostěn, který je ušlechtilým mnohostěnem, který je jak (stejné typy vrcholů), tak isoedrický (stejné tváře). Korunovaný mnohostěn je sebeprotínající a topologicky sebeduální [12] .