Napoleon body

Napoleonovy body v geometrii jsou dvojice speciálních bodů v rovině trojúhelníku . Legenda připisuje objevení těchto bodů francouzskému císaři Napoleonovi I. , ale jeho autorství je pochybné [1] . Napoleonovy body patří mezi pozoruhodné body trojúhelníku a jsou uvedeny v Encyklopedii středisek trojúhelníků jako body X(17) a X(18).

Název „Napoleonovy body“ se také používá pro různé dvojice středů trojúhelníků, lépe známé jako izodynamické body [2] .

Stanovení bodů

Napoleonův první bod

Nechť ABC je libovolný trojúhelník v rovině . Na stranách BC , CA , AB trojúhelníku sestrojíme vnější pravidelné trojúhelníky DBC , ECA a FAB . Nechť těžiště těchto trojúhelníků jsou X , Y a Z. Poté se přímky AX , BY a CZ protnou v jednom bodě a tento bod N1 je prvním (neboli vnějším) Napoleonovým bodem trojúhelníku ABC .

Trojúhelník XYZ se nazývá vnější Napoleonův trojúhelník trojúhelníku ABC . Napoleonova věta říká, že tento trojúhelník je pravidelný .

V Encyclopedia of Triangle Centers je první bod Napoleona označen jako X(17). [3]

Trilineární souřadnice bodu N1:

{\begin{aligned}&\left(\csc \left(A+{\frac {\pi }{6}}\right),\csc \left(B+{\frac {\pi }{6} }\right),\csc \left(C+{\frac {\pi }{6}}\right)\right)\\&=\left(\sec \left(A-{\frac {\pi }{ 3}}\vpravo),\sec \left(B-{\frac {\pi }{3}}\vpravo),\sec \left(C-{\frac {\pi }{3}}\vpravo) \right)\end{aligned}}

Barycentrické souřadnice bodu N1:

\left(a\csc \left(A+{\frac {\pi }{6}}\right),b\csc \left(B+{\frac {\pi }{6}}\right), c\csc \left(C+{\frac {\pi }{6}}\right)\right)

Napoleonův druhý bod

Nechť ABC je libovolný trojúhelník v rovině . Na stranách BC , CA , AB trojúhelníku postavíme vnitřní rovnostranné trojúhelníky DBC , ECA a FAB . Nechť X , Y a Z jsou těžiště těchto trojúhelníků. Potom se přímky AX , BY a CZ protnou v jednom bodě a tento bod N2 je druhým (nebo vnitřním) Napoleonovým bodem trojúhelníku ABC .

Trojúhelník XYZ se nazývá vnitřní Napoleonův trojúhelník trojúhelníku ABC . Napoleonova věta říká, že tento trojúhelník je pravidelný .

V Encyclopedia of Triangle Centers je Napoleonův druhý bod označen jako X(18). [3]

Trilineární souřadnice bodu N2:

{\begin{aligned}&\left(\csc \left(A-{\frac {\pi }{6))\right),\csc \left(B-{\frac {\pi }{ 6}}\vpravo),\csc \left(C-{\frac {\pi }{6}}\vpravo)\vpravo)\\&=\left(\sec \left(A+{\frac {\pi }{3}}\vpravo),\sec \left(B+{\frac {\pi }{3}}\vpravo),\sec \left(C+{\frac {\pi }{3}}\vpravo) \right)\end{aligned}}

Barycentrické souřadnice bodu N2:

\left(a\csc \left(A-{\frac {\pi }{6}}\right),b\csc \left(B-{\frac {\pi }{6}}\right ),c\csc \left(C-{\frac {\pi }{6}}\right)\right)

Dva body úzce související s Napoleonovými body jsou Fermatovy body (X13 a X14 v Encyklopedii bodů). Pokud místo úseček spojujících těžiště rovnostranných trojúhelníků s odpovídajícími vrcholy nakreslíme čáry spojující vrcholy rovnostranných trojúhelníků s odpovídajícími vrcholy původního trojúhelníku, protnou se takto sestrojené tři úsečky v jednom bodě. Průsečíky se nazývají Fermatovy body a jsou označeny jako F1 a F2. Průsečík Fermatovy přímky (tj. přímky spojující dva Fermatovy body) a Napoleonovy přímky (tj. přímky spojující dva Napoleonovy body) je symetrickým symetricky trojúhelníku (bod X6 v Encyklopedii center).

Vlastnosti

Kiepertova hyperbola je ohraničená hyperbola procházející těžištěm a ortocentrem . Pokud postavíme podobné rovnoramenné trojúhelníky na stranách trojúhelníku (směrem ven nebo dovnitř) a pak jejich vrcholy spojíme s opačnými vrcholy původního trojúhelníku, pak se tři takové přímky protnou v jednom bodě, ležícím na Kiepertově hyperbole. Zejména na této hyperbole leží Torricelliho body a Napoleonovy body (Cevian průsečíky spojující vrcholy se středy pravidelných trojúhelníků postavených na opačných stranách) [4] .

Zobecnění

Výsledek o existenci Napoleonových bodů lze zobecnit různými způsoby. Při určování Napoleonových bodů jsme použili rovnostranné trojúhelníky postavené na stranách trojúhelníku ABC a poté jsme zvolili středy X, Y a Z těchto trojúhelníků. Tyto středy lze považovat za vrcholy rovnoramenných trojúhelníků postavených na stranách trojúhelníku ABC se základním úhlem π/6 (30 stupňů). Zobecnění uvažují další trojúhelníky, které jsou sestrojené na stranách trojúhelníku ABC a mají podobné vlastnosti, to znamená, že přímky spojující vrcholy sestrojených trojúhelníků s odpovídajícími vrcholy původního trojúhelníku se protínají v jednom bodě.

Rovnoramenné trojúhelníky

Toto zobecnění říká: [5]

Pokud jsou tři trojúhelníky XBC, YCA a ZAB postaveny na stranách trojúhelníku ABC, jsou podobné , jsou rovnoramenné se základnami na stranách původního trojúhelníku a jsou stejně umístěny (to znamená, že jsou všechny postaveny zvenčí, nebo jsou všechny postavené zevnitř), pak se přímky AX, BY a CZ protínají v jednom bodě N.

Pokud je společný úhel na základně , pak vrcholy tří trojúhelníků mají následující trilineární souřadnice. $\theta$

$X(-\sin \theta ,\sin(C+\theta ),\sin(B+\theta ))$
$Y(\sin(C+\theta ),-\sin \theta ,\sin(A+\theta ))$
$Z(\sin(B+\theta ),\sin(A+\theta ),-\sin \theta )$

Trilineární souřadnice bodu N

(\csc(A+\theta ),\csc(B+\theta ),\csc(C+\theta ))

Několik speciálních případů.

Význam $\theta$	Tečka $N$
0	G, těžiště trojúhelníku ABC (X2)
π /2 (nebo, - π /2)	O, ortocentrum trojúhelníku ABC(X4)
$\mathrm {arctg} \,[\mathrm {tg} \,(A/2)\mathrm {tg} \,(B/2)\mathrm {tg} \,(C/2)]$ [6]	Spieker Center (X10)
π /4	Vecten body (X485)
— π/4	Vecten body (X486)
π /6	N1, Napoleonův první bod (X17)
- π /6	N2, druhý Napoleonův bod (X18)
π /3	F1, 1. farmářský bod (X13)
- π /3	F2, druhý Fermatův bod (X14)
- A (pokud A < π /2) π — A (pokud A > π /2)	Vertex A
- B (pokud B < π /2) π - B (pokud B > π /2)	Pinnacle B
- C (pokud C < π /2) π — C (pokud C > π /2)	Vertex C

Navíc těžiště bodů N při změně úhlu na základně trojúhelníků mezi -π/2 a π/2 je hyperbola $\theta$

{\frac {\sin(BC)}{x}}+{\frac {\sin(CA)}{y}}+{\frac {\sin(AB)}{z}}=0,

kde jsou trilineární souřadnice bodu N v trojúhelníku. $x, y, z$

Historie

Tato hyperbola se nazývá Kiepertova hyperbola (na počest německého matematika Friedricha Wilhelma Augusta Ludwiga Kieperta, 1846-1934 [5] , který ji objevil ). Tato hyperbola je jedinou kuželosečkou procházející body A, B, C, G a O.

Poznámka

Velmi podobnou nemovitost má Spieker Center . Spiekerův střed S je průsečík přímek AX , BY a CZ , kde trojúhelníky XBC , YCA a ZAB jsou podobné, rovnoramenné a stejně umístěné, postavené na stranách trojúhelníku ABC z vnějšku, které mají v základně stejný úhel [ 6] . $\mathrm {arctg} \,[\mathrm {tg} \,(A/2)\mathrm {tg} \,(B/2)\mathrm {tg} \,(C/2)]$

Podobné trojúhelníky

Aby se tři úsečky AX, BY a CZ protínaly v jednom bodě, nemusí být trojúhelníky XBC, YCA a ZAB postavené na stranách trojúhelníku ABC rovnoramenné [7] .

Jsou-li podobné trojúhelníky XBC, AYC a ABZ postaveny zvenčí na stranách libovolného trojúhelníku ABC, pak se přímky AX, BY a CZ protínají v jednom bodě.

Libovolné trojúhelníky

Linie AX, BY a CZ se i za slabších podmínek protínají v jednom bodě. Následující podmínka je jednou z nejobecnějších podmínek pro protnutí přímek AX, BY a CZ v jednom bodě [7] .

Pokud jsou trojúhelníky XBC, YCA a ZAB postaveny zvenčí na stranách trojúhelníku ABC tak, že ∠CBX = ∠ABZ, ∠ACY = ∠BCX, ∠BAZ = ∠CAY, pak se přímky AX, BY a CZ protnou v jednom bodě.

O objevu Napoleonových bodů

Coxeter a Greitzer formulují Napoleonovu větu takto: Jsou-li rovnostranné trojúhelníky postaveny zvenčí na stranách libovolného trojúhelníku, pak jejich středy tvoří rovnostranný trojúhelník . Všimli si, že Napoleon Bonaparte byl tak trochu matematik a měl velký zájem o geometrii, ale pochybují, že byl dostatečně vzdělaný v geometrii, aby objevil větu, která je mu připisována [1] .

Nejstarší dochovanou publikací s tečkami je článek v každoročním „The Ladies' Diary“ (Women's Diary, 1704-1841) ve vydání z roku 1825. Tato věta byla součástí odpovědi na otázku zaslanou W. Resenfordem, ale tato publikace se nezmiňuje o Napoleonovi.

V roce 1981 publikoval německý historik matematiky Christoph J. Scriba svůj výzkum v otázce přidělování bodů Napoleonovi v časopise Historia Mathematica [8] .

Viz také

Van Obelova věta
Bodová farma
Vecten body jsou dvojice trojúhelníkových středů konstruovaných podobně jako Napoleonovy body pomocí čtverců místo rovnostranných trojúhelníků.

Poznámky

↑ 1 2 Coxeter, Greitzer, 1967 , str. 61–64.
↑ Rigby, 1988 , s. 129–146.
↑ 1 2 Kimberling, Clark Encyklopedie trojúhelníkových center . Staženo: 2. května 2012. (neurčitý)
↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Geometrické vlastnosti křivek 2. řádu. - 2. vydání, Doplňkové - 2011. - S. 125-126.
↑ 1 2 Eddy, Fritsch, 1994 , str. 188–205.
↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Kiepert Hyperbola (anglicky) na webu Wolfram MathWorld .
↑ 1 2 de Villiers, 2009 , s. 138–140.
↑ Scriba, 1981 , str. 458–459.

Literatura

JF Rigby . Napoleon znovu navštívil // Journal of Geometry. - 1988. - T. 33 , no. 1-2 . - S. 129-146 . - doi : 10.1007/BF01230612 .
Kuželosečky Ludwiga Kieperta: Komplexní lekce z geometrie trojúhelníku // Magazín Mathematics. - 1994. - T. 67 June , no. 3 . - doi : 10.2307/2690610 .
Michael de Villiers. Některá dobrodružství v euklidovské geometrii. - Dynamické učení matematiky, 2009. - ISBN 9780557102952 .
H.S.M. Coxeter, S.L. Greitzer. Geometrie přehodnocena. - Mathematical Association of America, 1967. Přeložili G. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer. Nová setkání s geometrií. - Moskva: "Nauka", 1978. - (Knihovna Matematického kroužku).
Christoph J Scriba. Jako 'Napoleons Satz' podle svého jména? // Historia Mathematica. - 1981. - T. 8 , no. 4 . - doi : 10.1016/0315-0860(81)90054-9 .
Stachel, Hellmuth. Napoleonova věta a zobecnění prostřednictvím lineárních map // Příspěvky k algebře a geometrii: časopis. - 2002. - Sv. 43 , č. 2 . - str. 433-444 .
Grünbaum, Branko . Příbuzný "Napoleonova teorému" (neopr.) // Geombinatorika . - 2001. - T. 10 . - S. 116-121 .
Katrien Vandermeulen a kol. Napoleon, matematik? (nedostupný odkaz) . Matematika pro Evropu. Získáno 25. dubna 2012. Archivováno z originálu 30. srpna 2012. (neurčitý)
Bogomolnyj, Věta Alexandra Napoleona . Cut The Knot! Interaktivní sloupec využívající Java applety. Datum přístupu: 25. dubna 2012. (neurčitý)
Napoleon's Thm and the Napoleon Points (nepřístupný odkaz) . Získáno 24. dubna 2012. Archivováno z originálu 21. ledna 2012. (neurčitý)
Weisstein, Eric W. Napoleon Points . Z MathWorld — webový zdroj Wolfram. Staženo: 24. dubna 2012. (neurčitý)
Napoleonova věta Philipa LaFleura . Získáno 24. dubna 2012. Archivováno z originálu 7. září 2012. (neurčitý)
Wetzel, John E. Converses of Napoleon's Theorem (duben 1992). Získáno 24. dubna 2012. Archivováno z originálu 29. dubna 2014. (neurčitý)