Trigamma funkce

Trigamma funkce v matematice je druhá funkce polygama . Označuje se a definuje jako $\psi_{{1}}(z)$

\psi _{1}(z)={\frac {{{\rm {d}}}^{2}}{{{\rm {d}}}z^{2}}}\ln \Gamma ( z)\;,

kde je funkce gama [1] . Z této definice vyplývá, že $\Gamma(z)$

\psi _{1}(z)={\frac {({\rm {d}}}}{({\rm {d}}}z}}\psi (z)\;,

kde je funkce digamma (první z funkcí polygama ) [2] . $\psi (z)$

Funkci trigama lze také definovat jako součet následujících řad:

\psi _{1}(z)=\sum _{{n=0}}^{{\infty }}{\frac {1}{(z+n)^{2}}},

odkud lze vidět, že se jedná o speciální případ Hurwitzovy zeta - funkce [2 ] ,

\psi _{1}(z)=\zeta (2,z)\;.

Tyto vzorce jsou pravdivé, když (v uvedených bodech má funkce kvadratické singularity , viz graf funkce). $z\neq 0,\;-1,\;-2,\;-3,\ldots$ $\psi_{{1}}(z)$

V literatuře se používají i další označení : $\psi_{{1}}(z)$

\psi '(z),\;\;\;\psi ^{{(1)}}(z)\;.

Někdy se pro funkci používá termín „trigamma funkce“ [1] . $F'(z)=\psi _{{1}}(z+1)$

Integrální reprezentace

Pomocí řadové reprezentace, stejně jako vzorce pro součet členů geometrické posloupnosti , lze získat následující dvojitou integrální reprezentaci:

\psi _{1}(z)=\int _{0}^{1}\int _{0}^{y}{\frac {x^{z-1}y}{1-x }}\,{\rm {d}}x\,{\rm {d}}y\;.

Integrace po částech poskytuje následující jednorázovou reprezentaci:

\psi _{1}(z)=-\int _{0}^{1}{\frac {x^{z-1}\ln {x}}{1-x}}\,{ \rm {d}}x\;.

Používá se také další zobrazení, které lze získat z předchozího nahrazením x = e -t :

\psi _{1}(z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-zt)){1-e^{-t))}\,{\ rm {d}}t\;.

Jiné vzorce

Trigama funkce splňuje rekurzivní vztah [2]

\psi _{1}(z+1)=\psi _{1}(z)-{\frac {1}{z^{2}}}\;,

stejně jako vzorec doplňku [2]

\psi _{1}(1-z)+\psi _{1}(z)={\frac {\pi ^{2}}{\sin ^{2}(\pi z)))\;.

Trigamma funkce vícenásobného argumentu má následující vlastnost [2] :

\psi _{1}(kz)={\frac {1}{k^{2}}}\sum _{{n=0}}^{{k-1}}\psi _{1}\left (z+{\frac {n}{k}}\vpravo)\;.

Poskytujeme také asymptotický rozvoj pomocí Bernoulliho čísel :

\psi _{1}(z+1)={\frac {1}{z}}-{\frac {1}{2z^{2}}}+\sum _{k=1}^ {\infty }{\frac {B_{2k}}{z^{2k+1}}}\;.

Soukromé hodnoty

Níže jsou uvedeny konkrétní hodnoty trigamma funkce [1] :

\psi _{1}\!\left({\tfrac {1}{4}}\right)=\pi ^{2}+8G\;,

\psi _{1}\!\left({\tfrac {1}{3}}\right)={\tfrac {2}{3}}\pi ^{2}+3{\sqrt { 3}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {2}{3}}\pi \right)\;,

\psi _{1}\!\left({\tfrac {1}{2}}\right)={\tfrac {1}{2}}\pi ^{2}\;,

\psi _{1}\!\left({\tfrac {2}{3}}\right)={\tfrac {2}{3}}\pi ^{2}-3{\sqrt { 3}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {2}{3}}\pi \right)\;,

\psi _{1}\!\left({\tfrac {3}{4}}\right)=\pi ^{2}-8G\;,

\psi _{1}(1)\;={\tfrac {1}{6}}\pi ^{2}\;,

kde G je Catalanova konstanta a Clausenova funkce související s imaginární částí dilogaritmu přes ${\mathrm {Cl}}_{2}(\theta)$

{\mathrm {Cl}}_{2}(\theta )={\mathrm {Im}}\left[{\mathrm {Li}}_{2}\!\left(e^{{{\mathrm { i}}\theta }}\vpravo)\vpravo]\;.

Pomocí vzorce s více argumenty a vzorcem doplňku, stejně jako spojením s Clausenovou funkcí [3] [4] , dostaneme: $\psi_{{1}}\!\left({\tfrac 18}\right)$

\psi _{1}\!\left({\tfrac {1}{6}}\right)=2\pi ^{2}+15{\sqrt {3}}\;\mathrm {Cl } _{2}\!\left({\tfrac {2}{3}}\pi \right)\;,

\psi _{1}\!\left({\tfrac {5}{6}}\right)=2\pi ^{2}-15{\sqrt {3}}\;\mathrm {Cl } _{2}\!\left({\tfrac {2}{3}}\pi \right)\;,

\psi _{1}\!\left({\tfrac {1}{8}}\right)=(2+{\sqrt {2}})\pi ^{2}+4(4- {\sqrt {2}})G+16{\sqrt {2}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {\pi }{4}}\right)\; ,

\psi _{1}\!\left({\tfrac {3}{8}}\right)=(2-{\sqrt {2}})\pi ^{2}-4(4+ {\sqrt {2}})G+16{\sqrt {2}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {\pi }{4}}\right)\; ,

\psi _{1}\!\left({\tfrac {5}{8}}\right)=(2-{\sqrt {2}})\pi ^{2}+4(4+ {\sqrt {2}})G-16{\sqrt {2}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {\pi }{4}}\right)\; ,

\psi _{1}\!\left({\tfrac {7}{8}}\right)=(2+{\sqrt {2}})\pi ^{2}-4(4- {\sqrt {2}})G-16{\sqrt {2}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {\pi }{4}}\right)\; .

Pro hodnoty mimo rozsah lze použít výše uvedené opakování. Například [1] , $0<z\leq 1$

\psi _{1}\!\left({\tfrac {5}{4}}\right)=\pi ^{2}+8G-16\;,

\psi _{1}\!\left({\tfrac {3}{2}}\right)={\tfrac {1}{2}}\pi ^{2}-4\;,

\psi _{1}(2)\;={\tfrac {1}{6}}\pi ^{2}-1\;.

Viz také

Poznámky

↑ 1 2 3 4 Eric W. Weisstein. Trigamma Function (anglicky) na webu Wolfram MathWorld .
↑ 1 2 3 4 5 Eric W. Weisstein. Funkce Polygamma (anglicky) na webu Wolfram MathWorld .
↑ C.C. Grosjean, Vzorce týkající se výpočtu Clausenova integrálu ${\mathrm {Cl}}_{2}(\theta)$ , J. Comp. Appl. Matematika. 11 (1984) 331-342
↑ PJ de Doelder, O Clausenově integrálu a příbuzném integrálu ${\mathrm {Cl}}_{2}(\theta)$ , J. Comp. Appl. Matematika. 11 (1984) 325-330

Odkazy

Milton Abramowitz & Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions , (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4 . Viz část §6.4
Eric W. Weisstein, Trigamma Function , MathWorld - mathworld.wolfram.com
Eric W. Weisstein, Polygamma Function , MathWorld - mathworld.wolfram.com