Trigonometrické Fourierovy transformace

Sinusová Fourierova transformace a kosinusová Fourierova transformace jsou některé typy Fourierových transformací , které nepoužívají komplexní čísla .

Definice

Sinusová Fourierova transformace nebo funkce se rovná ${\hat {f}}^{s}$ ${\mathcal {F}}_{s}(f)$ $f(t)$

2\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)\sin \,{2\pi \nu t}\,dt.

, kde

t

— čas, — kmitočet kmitů.

\nu

Funkce je lichá v , tj. ${\hat {f}}^{s}(\nu )$ $\nu$

{\hat {f}^{s}(\nu )=-{\hat {f}}^{s}(-\nu )

pro jakýkoli .

\nu

Kosinová Fourierova transformace nebo funkce se rovná ${\hat {f}}^{c}$ ${\mathcal {F}}_{c}(f)$ $f(t)$

2\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos \,{2\pi \nu t}\,dt.

kde

t

— čas, — kmitočet kmitů.

\nu

Funkce je sudá v , tedy pro libovolné . ${\hat {f}}^{c}(\nu )$ $\nu$ ${\hat {f}^{c}(\nu )={\hat {f}}^{c}(-\nu )$ $\nu$

Původní funkci lze nalézt podle vzorce $f(t)$

f(t)=\int _{0}^{\infty }{\hat {f))^{c}\cos(2\pi \nu t)d\nu +\int _{0} ^{\infty }{\hat {f}}^{s}\sin(2\pi \nu t)d\nu .

Pomocí sčítacího vzorce pro kosinus dostaneme to

{\frac {\pi }{2}}(f(x+0)+f(x-0))=\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^ {\infty }\cos \omega (tx)f(t)dtd\omega ,

, kde

f(x+0)

f(x-0)

Pokud je funkce sudá, část vzorce se sinem zmizí, pokud je lichá, zmizí kosinus. $f(t)$ $f(t)$

Dnes se častěji používá vzorec pro sinusovou a kosinovou Fourierovu transformaci v komplexní formě

{\hat {f))(\nu )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-2\pi i\nu t}\,dt.

Pomocí Eulerova vzorce dostaneme

{\hat {f))(\nu )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)(\cos \,{2\pi \nu t}-i\ ,\sin {2\pi \nu t})\,dt=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos \,{2\pi \nu t}\,dt -i\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)\sin \,{2\pi \nu t}\,dt={\frac {1}{2}}{\hat {f}}^{c}(\nu )-{\frac {i}{2}}{\hat {f}}^{s}(\nu ).

Whittaker, Edmund a James Watson, Kurz moderní analýzy , čtvrté vydání, Cambridge Univ. Tisk, 1927, str. 189, 211