Ternární číselný systém

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 7. ledna 2019; ověření vyžaduje 21 úprav .

Číselné soustavy v kultuře
Indoarabština
Arabská tamilská barmština	Khmer Lao Mongol Thai
východní Asiat
Čínský Japonec Suzhou Korejský	Vietnamské počítací tyčinky
Abecední
Abjadia arménská Aryabhata azbuka Řek	Gruzínský etiopský židovský Akshara Sankhya
jiný
Babylonian Egyptian Etruscan Roman Danubian	Attic Kipu Mayské Egejské KPPU Symboly
poziční
2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 8 , 10 , 12 , 16 , 20 , 60
Nega-poziční
symetrický
smíšené systémy
Fibonacci
nepoziční
jednotné číslo (unární)

Ternární číselná soustava je poziční číselná soustava s celočíselným základem rovným 3.

K dispozici ve dvou verzích: asymetrické a symetrické.

Ternární číslovky

V asymetrické ternární číselné soustavě se častěji používají čísla {0,1,2} a v ternární symetrické číselné soustavě znaménka {−,0,+}, {−1,0,+1}, { 1 ,0,1}, { 1 ,0,1}, {i,0,1}, {N,O,P}, {N,Z,P} a číslice {2,0,1}, {7 ,0,1} . Výtisky počítače Setun používaly kódování {jeden,0,1} [1] . Trojici číslic lze označit libovolnými třemi znaky {A,B,C}, ale musíte dodatečně určit prioritu znaků, například A<B<C.

Fyzické implementace

V digitální elektronice , bez ohledu na variantu ternárního číselného systému, odpovídá jedna ternární číslice v ternárním číselném systému jednomu ternárnímu spouštění na alespoň třech invertorech se vstupní logikou nebo dvěma binárním spouštěčům na alespoň čtyřech invertorech se vstupní logikou.

Reprezentace čísel v ternárních číselných soustavách

Asymetrická ternární číselná soustava

Příkladem reprezentace čísel v asymetrickém ternárním číselném systému je záznam v tomto systému kladných celých čísel:

Desetinné číslo	0	jeden	2	3	čtyři	5	6	7	osm	9	deset
ternární číslo	0	jeden	2	deset	jedenáct	12	dvacet	21	22	100	101

Pokud je v desítkové soustavě 10 číslic a váhy sousedních číslic se liší 10krát (jednotka, desítky, stovky), pak se v ternární soustavě používají pouze tři číslice a váhy sousedních číslic se liší třikrát (číslice jedniček, trojek, devítek, ...). Číslo 1, psané nejprve vlevo od čárky, označuje jednotku; stejné číslo, psané jako druhé nalevo od čárky, označuje trojici atd.

Asymetrická ternární číselná soustava je speciální případ párových (kombinovaných) exponenciálních pozičních číselných soustav, ve kterých a k je z ternární množiny a={0,1,2}, b=3, váhy číslic jsou 3 k .

Exponenciální číselné soustavy

V exponenciálních pozičních ternárních číselných soustavách se používají dva systémy:

systém vnitročíslicového kódování se základem c , jehož čísla se používají k zápisu číslic a
soustava připsaných meziciferných čísel se základem b .

Celé číslo v systému exponenciálních pozičních čísel je reprezentováno jako součet součinů hodnot v číslicích (číslicích) - k - tou mocninou čísla b : $\a_k$

x_{{a,b}}=\součet _{{k=0}}^{{n-1}}a_{k}b^{k}

, kde:

k je číslo od 0 do n-1 , číslo numerické číslice ,
n je počet číslic,
c je základ kódovacího systému, c je rovno rozměru množiny a={0,1,…,c-1}, ze které jsou převzaty číslice a k ,
a k jsou celá čísla z množiny a nazývaná číslice,
b je číslo, základ meziciferné exponenciální váhové funkce,
b k jsou čísla meziciferné funkce, váhové koeficienty číslic.

Každý součin v takovém zápisu se nazývá (a, b)-ární číslice. $\a_{k}b^{k}$

Při c=b se tvoří (b, b) -ární číselné soustavy se součinem - a k b k a součtem - , které při b = 3 přecházejí v obvyklé (3,3) -ární (ternární) číselný systém. Při psaní se často vynechává první rejstřík, někdy, když je v textu zmínka, vynechává se i druhý rejstřík. $\sum _{{k=0}}^{{n-1}}a_{k}b^{k}$

Váhový faktor cifry - b k - je přiřazen a v obecném případě může být volitelnou exponenciální funkcí ciferného čísla - k a volitelně mocninou 3 . Sada hodnot a k je omezenější a souvisí spíše s hardwarovou částí - počtem stabilních stavů spouštěčů nebo počtem stavů skupiny spouštěčů v jednom bitu registru . V obecném případě může být a k volitelně také z ternární množiny a={0,1,2}, ale aby byl párový systém ternární a nazýval se ternární, musí být alespoň jeden ze dvou systémů ternární. o k -tou blíže k hardwaru a o k -tou z množiny a={0,1,2} nebo z množiny a={-1,0,+1} je určen systém kódování: asymetrický ternární nebo symetrický ternární.

Exponenciální ternární číselné soustavy

Celé číslo v exponenciálním pozičním ternárním systému se zapisuje jako posloupnost jeho číslic (řetězců číslic), uvedených zleva doprava v sestupném pořadí podle priority číslic: $X$

x_{a,b}=(a_{n-1}a_{n-2}\tečky a_{0})_{a,b}.

V soustavách exponenciálních čísel jsou hodnotám číslic přiřazeny váhové koeficienty , v zápisu jsou vynechány, ale rozumí se, že k -tá číslice zprava doleva má váhový koeficient rovný . $b^{k}$ $b^{k}$

Z kombinatoriky je známo , že počet zaznamenaných kódů se rovná počtu umístění s opakováním :

{\bar {A}}(a,n)={\bar {A}}_{a}^{n}=a^{n}=3^{n},

kde a = 3 je 3prvková množina a = {0, 1, 2}, ze které jsou převzaty číslice a k , n je počet prvků (číslic) v čísle x 3, b .

Počet zaznamenaných kódů nezávisí na bázi exponenciální funkce - b , která určuje rozsah hodnot reprezentovaný čísly x 3, b .

Zlomkové číslo je zapsáno a reprezentováno jako

x_{a,b}=(a_{n-1}a_{n-2}\tečky a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}\tečky a_{-( m-1)}a_{-m})_{a,b}=\součet _{k=-m}^{n-1}a_{k}b^{k},

kde m je počet číslic ve zlomkové části čísla vpravo od desetinné čárky;

pro m = 0, chybí zlomková část, číslo je celé číslo,
pro a k se z ternární množiny a = {0, 1, 2} a b = 1 vytvoří nepoziční ternární číselná soustava se stejnými váhovými koeficienty všech cifer rovnými 1 k = 1,
pro a k z binární množiny a = {0, 1} a b = 3 bude součet pouze celočíselné mocniny — 3 k ,
pro a k z ternární množiny a = {0, 1, 2} a b = 3 bude součet celé číslo a dvojnásobné mocniny 3, číselná soustava se stane obvyklou asymetrickou ternární číselnou soustavou, a k vyhoví nerovnosti , že je , , $0\leqslant a_{k}\leqslant (b-1)<b$ $0\leqslant a_{k}\leqslant 2<3$
pro a k z desetinné množiny a = {0, 1, ..., 9} a b = 3 bude součet celočíselné mocniny 3 krát 1, 2, ..., 9.

V některých případech to nemusí stačit, v takových případech lze použít vestavěné (komentované), quad a další číselné systémy.

Ternární číselné soustavy s přídavným faktorem

V exponenciálních pozičních ternárních číselných soustavách lze do váhy číslice zavést další faktor. Například faktor (b/c):

x_{{a,b,c}}=(a_{{n-1}}a_{{n-2}}\tečky a_{{1}}a_{{0}},a_{{-1}} a_{{-2}}\tečky a_{{-(m-1)}}a_{{-m}})_{{a,b,c}}=\součet _{{k=-m}} ^{{n-1}}a_{k}b^{k}(b/c)

Obecně c≠3.
Když a k z a={0,1,2}, b=3 ac=3, vznikne obvyklá asymetrická ternární číselná soustava.
S a=2, b=3 ac=2 se vytvoří (2,3,2)-ární číselná soustava s dalším neceločíselným váhovým koeficientem v součinu rovným (3/c)=(3/2 ) = 1,5.
Pro jiné hodnoty a, b a c jsou další exponenciální poziční číselné soustavy tvořeny s dalším faktorem (b/c), jehož počet je nekonečný.
Možné jsou i nekonečné množiny jiných složených číselných soustav.

Kódování ternárních číslic

Jedna ternární číslice může být zakódována různými způsoby.

Tříúrovňové kódovací systémy pro ternární číslice

1. Tříúrovňové kódování ternárních číslic (3úrovňové kódování ternárních číslic, 3L LCT, „jednodrátové“):
Počet tříúrovňových kódovacích systémů pro ternární číslice se rovná počtu permutací :

P_{3}=A_{3}^{3}={\frac {3!}{(3-3)!}}={\frac {3!}{0!}}=3!=6,

jeden z nich

1.1. Symetrický {-1,0,+1}
+U - (+1) ;
0 - (0);
-U - (-1),
1,2. Posunuto o +1 {0,1,2}
1.3. Posunuto o +2 {1,2,3}

Dvouúrovňové kódovací systémy pro ternární číslice

2. Dvoubitové binárně kódované ternární číslice (2- Bit BinaryCodedTernary, reprezentace 2B BCT, "dvouvodičové") pomocí 3 kódů ze 4 možných [2] :
Počet možných systémů kódování ternárních číslic 2B BCT je roven počet kombinací bez opakování :

{n \choose k}=C_{n}^{k}={\frac {n!}{k!\left(nk\right)!}}={4 \choose 3}={\frac {4! }{3!\left(4-3\right)!}}=4,

vynásobený počtem permutací v každé sadě 3 číslic:

P_{3}=A_{3}^{3}={\frac {3!}{(3-3)!}}={\frac {3!}{0!}}=3!=6,

tj. 4*6 = 24.

Zde jsou některé z nich:
2.1. [3]
(1,0) - 2;
(0,1) - 1;
(0,0) - 0.
2.2.
(1,1) - 2;
(0,1) - 1;
(0,0) - 0.
3. Dvoubitové binárně kódované ternární číslice (2- Bit BinaryCodedTernary, reprezentace 2B BCT, „dvouvodičový“) pomocí všech 4 kódů ze 4 možných (dva ze 4 kódů kódují jeden a těsnější ternární číslice od 3).
3.1.
Zde je jeden z nich [4] :
(0.0) - "0"
(1.1) - "0"
(0.1) - "-1"
(1.0) - "+1"
4. Tříbitové binárně kódované ternární číslic (3-Bit BinaryCodedTernary, 3B BCT reprezentace, "třívodičové") pomocí 3 kódů z 8 možných:
Počet možných 3B BCT ternárních číselných kódovacích systémů se rovná počtu kombinací bez opakování :

{n \choose k}=C_{n}^{k}={\frac {n!}{k!\left(nk\right)!}}={8 \choose 3}={\frac {8! }{3!\left(8-3\right)!}}=54,

vynásobený počtem permutací v každé sadě 3 číslic:

P_{3}=A_{3}^{3}={\frac {3!}{(3-3)!}}={\frac {3!}{0!}}=3!=6,

tj. 54*6 = 324.

Zde jsou některé z nich:
3.1.
(1,0,0) - 2;
(0,1,0) - 1;
(0,0,1) - 0.
3.2.
(0,1,1) - 2;
(1,0,1) - 1;
(0,1,0) - 0.
3.3.
(1,1,1) - 2;
(0,1,1) - 1;
(0,0,1) - 0.
3.4.
(0,0,0) - 2;
(1,0,0) - 1;
(1,1,0) - 0.
3.5.
(1,0,0) - 2;
(1,1,0) - 1;
(1,1,1) - 0.
3.6.
(0,1,1) - 2;
(0,0,1) - 1;
(0,0,0) - 0.
3.7.
(1,0,1) - 2;
(0,1,0) - 1;
(0,0,0) - 0
atd.

Srovnání s binárním systémem

V bitovém srovnání je ternární číselný systém prostornější než binární číselný systém.
S devíti číslicemi má binární kód kapacitu čísel a ternární kód má kapacitu čísla, tedy dvojnásobek. S dvaceti sedmi číslicemi má binární kód kapacitu čísel a ternární kód má kapacitu čísel, tedy je krát větší. $2^{9}=512$ $3^{9}=19683$ $3^{9}/2^{9}=38,4$
$2^{{27}}=134217728$ $3^{{27}}=7625597484987$ $3^{{27}}/2^{{27}}=56815,13$

Vlastnosti

Ternární poziční exponenciální asymetrický číselný systém z hlediska počtu znaků (v třímístném dekadickém čísle 3 * 10 = 30 znaků) je z pozičních exponenciálních asymetrických číselných systémů nejekonomičtější. [5] [6] [7] [8] [9] A. Kushnerov [6] připisuje tuto větu Johnu von Neumannovi .

Převod celých čísel z desítkových na trojkové

Pro překlad se dekadické celé číslo dělí 3 se zbytkem (celočíselné dělení), pokud je podíl větší než nula. Zbytky, psané zleva doprava od posledního k prvnímu, jsou celočíselným nesymetrickým ternárním ekvivalentem celého desetinného čísla. [10] [11]
Příklad: dekadické celé číslo 48 10,10 bude převedeno na asymetrické ternární celé číslo:
číslo = 48 10,10 děleno 3, podíl = 16, zbytek a 0 = 0
podíl = 16 10,10 děleno 3 , podíl = 5, podíl a 1 = 1
kvocient = 5 10,10 děleno 3, kvocient = 1, zbytek a 2 = 2
kvocient = 1 10,10 děleno 3, kvocient = 0, zbytek a 3 = 1
kvocient ne větší než nula, dělení je dokončeno.
Nyní, když zapíšeme všechny zbytky od posledního k prvnímu zleva doprava, dostaneme výsledek 48 10,10 \u003d (a 3 a 2 a 1 a 0 ) 3,3 \u003d 1210 3,3 .

Symetrická ternární číselná soustava

Polohový celočíselný symetrický ternární číselný systém navrhl italský matematik Fibonacci (Leonardo z Pisy) (1170-1250) k vyřešení „problému s váhou“. [12] Problémem nejlepšího systému vah se zabýval Luca Pacioli (XV století). Zvláštní případ tohoto problému byl publikován v knize francouzského matematika Clauda Bacheta de Meziriac „Sbírka zábavných úloh“ v roce 1612 (ruský překlad knihy C. G. Bacheta „Hry a problémy založené na matematice“ vyšel v St. Petrohrad až v roce 1877). V roce 1797 byl v Rusku vydán zákon „O stanovení správné váhy pro pití a chléb všude v Ruské říši“. Pro vážení zboží byly povoleny pouze váhy následujících hmotností: 1 a 2 libry, 1, 3, 9, 27 liber a 1, 3, 9, 27 a 81 cívek . Jako příloha zákona byla zveřejněna tabulka pro vážení zboží od 1 libry do 40 liber pomocí hmotnosti 1, 3, 9, 27 liber a pro vážení zboží od 1 cívky do 96 cívek pomocí hmotnosti 1, 3, 9, 27 a 81 cívky [13] . Tímto problémem se zabýval petrohradský akademik Leonard Euler a později D. I. Mendělejev . [14] [15] [16] [17] [18]

Symetrie při vážení na pákové váze se používala již od starověku, přidávání závaží do misky se zbožím. Prvky ternární číselné soustavy byly v číselné soustavě starých Sumerů [19] v soustavách měr, vah a peněz, v nichž existovaly jednotky rovné 3. Ale pouze v symetrické ternární Fibonacciho číselné soustavě obě tyto vlastnosti jsou kombinovány.

Symetrický systém umožňuje reprezentovat záporná čísla bez použití samostatného znaménka mínus. Číslo 2 je zastoupeno číslem 1 na místě trojek a číslem (mínus jedna) na místě jednotek. Číslo −2 je reprezentováno číslem (mínus jedna) na místě trojek a číslem 1 na místě jednotek. Existuje šest možných shod mezi číslicemi (znaky) ternárního symetrického číselného systému a číslicemi (znaky) ternárního asymetrického číselného systému: ${\bar 1}$ ${\bar 1}$

	jeden.	2.	3.	čtyři.	5.	6.

jeden	2	jeden	0	0	2	jeden
0	jeden	0	2	jeden	0	2
jeden	0	2	jeden	2	jeden	0

Podle 2. jsou uloženy číselné hodnoty 0 a 1.

Desetinná soustava	−9	−8	−7	−6	−5	−4	−3	−2	−1	jeden	2	3	čtyři	5	6	7	osm	9
Ternární asymetrický	-100	−22	−21	−20	−12	−11	−10	−2	−1	jeden	2	deset	jedenáct	12	dvacet	21	22	100
Ternární symetrické	100 _	101 _	1 1 1	110 _	111 _	jedenáct	10 _	11 _	jeden	jeden	11 _	deset	jedenáct	111 _	1 1 0	1 1 1	10 1	100

V ternární symetrické číselné soustavě lze znaménko 1 nahradit znaménkem (nikoli číslem) i nebo 2 a ve druhém případě lze pro znaménko použít znaménka ternární asymetrické soustavy {2,0,1}. ternární symetrická číselná soustava {-1,0,+1}.

Vlastnosti

Vzhledem k tomu, že základ 3 je lichý, je v ternární soustavě možné uspořádání čísel symetrických vzhledem k nule: −1, 0, 1, což je spojeno se šesti hodnotnými vlastnostmi:

Přirozenost reprezentace záporných čísel;
Žádný problém se zaokrouhlováním : nulování zbytečných nižších číslic zaokrouhluje – přibližuje číslo k nejbližšímu „hrubému“.
Násobící tabulka v tomto systému, jak poznamenal O. L. Cauchy , je asi čtyřikrát kratší. [14] (str. 34).
Chcete-li změnit znaménko reprezentovaného čísla, musíte změnit nenulové číslice na symetrické.
Při sčítání velkého počtu čísel hodnota pro převod na další číslici roste s nárůstem počtu členů nikoli lineárně, ale úměrně druhé odmocnině počtu členů.
Podle nákladů na počet znaků pro reprezentaci čísel se rovná ternárnímu asymetrickému systému.

Znázornění záporných čísel

Mít kladné a záporné číslice umožňuje přímou reprezentaci kladných i záporných čísel. V tomto případě není potřeba speciální bit znaménka a pro provádění aritmetických operací se zápornými čísly není třeba zadávat žádný další (nebo inverzní) kód. Všechny akce s čísly reprezentovanými v ternární symetrické číselné soustavě se provádějí samozřejmě s přihlédnutím ke znaménkům čísel. Znaménko čísla je určeno znaménkem nejvýznamnější číslice čísla: pokud je kladné, pak je číslo kladné, pokud je záporné, je číslo záporné. Chcete-li změnit znaménko čísla, musíte změnit znaménka všech jeho číslic (tj. invertovat jeho kód Lukasiewiczovou inverzí). Například:

10{\bar 1}=9-1=8

{\bar 1}01=-9+1=-8

Zaokrouhlení

Dalším užitečným důsledkem symetrického uspořádání číselných hodnot je absence problému zaokrouhlování čísel: absolutní hodnota části čísla představované vyřazenými nižšími číslicemi nikdy nepřekročí polovinu absolutní hodnoty části čísla odpovídající na nejméně významnou číslici nejméně významné číslice uložených číslic. V důsledku vyřazení vedlejších číslic čísla se tedy pro daný počet zbývajících číslic získá nejlepší aproximace tohoto čísla a zaokrouhlování není nutné.

Převod čísel z desítkových na trojkové

Převod čísel z desítkové soustavy do ternární soustavy a odpovídající otázka na váhy jsou podrobně popsány v knihách [20] [21] . Vypovídá také o použití ternárního systému vah v ruské praxi.

Překlad do jiných číselných soustav

Jakékoli číslo zapsané v ternární číselné soustavě s čísly 0, 1, −1 lze reprezentovat jako součet celočíselných mocnin čísla 3, a pokud je číslo 1 v daném bitu ternární reprezentace čísla, pak mocnina čísla 3 odpovídající tomuto bitu je zahrnuta do součtu se znaménkem „+“, pokud je číslo −1, pak se znaménkem „-“ a pokud je číslo 0, není zahrnuto vůbec . To může být reprezentováno vzorcem

\cdots +K_{3}\cdot 3^{3}+K_{2}\cdot 3^{2}+K_{1}\cdot 3^{1}+K_{0}\cdot 3^{0} +K_{{-1}}\cdot 3^{{-1}}+K_{{-2}}\cdot 3^{{-2}}+K_{{-3}}\cdot 3^{{ -3}}+\ctečky

, kde

\cdots +K_{3}\cdot 3^{3}+K_{2}\cdot 3^{2}+K_{1}\cdot 3^{1}+K_{0}\cdot 3^{0}

- celočíselná část čísla,

\cdots +K_{{-1}}\cdot 3^{{-1}}+K_{{-2}}\cdot 3^{{-2}}+K_{{-3}}\cdot 3^ {{-3}} +\ctečky

- zlomková část čísla

navíc koeficienty K mohou nabývat hodnot { 1, 0, −1 }.

Aby bylo možné číslo uvedené v ternární soustavě převést do desítkové soustavy, je nutné vynásobit číslici každé číslice daného čísla mocninou čísla 3 odpovídající této číslici (v desítkovém vyjádření) a sečíst výsledné produkty.

Praktické aplikace

D. I. Mendělejev, pracující v komoře vah a měr , s ohledem na symetrický ternární číselný systém vyvinul digitální řadu závaží pro vážení na laboratorních vahách , která se používá dodnes.
Symetrický ternární systém byl použit v sovětském počítači Setun .

Sčítací tabulky v ternárních číselných soustavách

V ternární nesymetrické číselné soustavě

+	0	jeden	2
2	02	deset	jedenáct
jeden	01	02	deset
0	00	01	02

V ternární symetrické číselné soustavě

+	jeden	0	jeden
jeden	00	01	11 _
0	0 1	00	01
jeden	11 _	0 1	00

Devítidesítková reprezentace příkazů

Reprezentace příkazů v ternárním kódu při programování a při zadávání do stroje je nepohodlná a neekonomická, proto se mimo stroj používá devítidesetinná forma znázornění příkazů. Devět číslic je mapováno na dvojice ternárních číslic: ${\bar 4},{\bar 3},{\bar 2},{\bar 1},0,1,2,3,4$

{\bar 1}{\bar 1}={\bar 4};\quad {\bar 1}0={\bar 3};\quad {\bar 1}1={\bar 2};\quad 0 {\bar 1}={\bar 1};\quad 00=0;

11=4;\quad 10=3;\quad 1{\bar 1}=2;\quad 01=1.

Při vyjímání ze stroje jsou záporná desetinná místa označena písmeny:

desetinná číslice	${\bar 1}$	${\bar 2}$	${\bar 3}$	${\bar 4}$
Písmeno latinské abecedy	Z	Y	X	W
Písmeno ruské abecedy	C	V	X	A

Viz také

Poznámky

↑ N. A. Krinitsky, G. A. Mironov, G. D. Frolov, ed. M. R. Shura-Bura. Kapitola 10. Programově řízený stroj "Setun" // Programování . - M. , 1963. (Ruština)
↑ http://314159.ru/kushnerov/kushnerov1.pdf Archivní kopie ze 7. října 2013 na digitální technologii Wayback Machine Ternary. Retrospektivní a současnost
↑ BCT: Binary Coded Ternary . Získáno 30. září 2012. Archivováno z originálu 21. ledna 2022. (neurčitý)
↑ Trinari. Fórum. Hardwarová část. Zmije. Blok 003 (nepřístupný odkaz) . Získáno 29. září 2012. Archivováno z originálu dne 30. března 2022. (neurčitý)
↑ S. V. Fomin . Číselné soustavy . — M .: Nauka , 1987. — 48 s. - ( Populární přednášky o matematice ). Archivováno 16. října 2004 na Wayback Machine ( alternativní odkaz Archivováno 2. června 2013 na Wayback Machine )
↑ 1 2 A. Kushnerov Ternární digitální technologie. Retrospektivní a současnost. Archivováno 7. října 2013 na Wayback Machine
↑ https://web.archive.org/web/20120111141145/http://misterkruger.narod.ru/math/base3rus.htm Úžasná vlastnost ternární číselné soustavy]
↑ Ekonomika číselných soustav s exponenciální váhovou funkcí . Staženo 22. ledna 2019. Archivováno z originálu 29. října 2018. (neurčitý)
↑ O. A. Akulov, N. V. Medveděv. Informatika a výpočetní technika. 4. vyd. - M .: Omega-L, 2007. (část I, kap. 3.3)
↑ Převod dekadických celých čísel na ternární nesymetrická celá čísla . Staženo 22. ledna 2019. Archivováno z originálu 22. ledna 2019. (neurčitý)
↑ http://algolist.manual.ru/maths/teornum/count_sys.php Archivováno 31. března 2022 na Wayback Machine Transfer ze systému s více rozumem na systém s méně
↑ „Princip Trojice“ od Nikolaje Brusentsova Archivní kopie z 11. června 2008 na Wayback Machine .
↑ Depman I. Ya. Vznik systému měření a metod měření veličin. Číslo 1. (Moskva: Státní vzdělávací a pedagogické nakladatelství Ministerstva školství RSFSR (Uchpedgiz), 1956. - Řada "Knihovna školáků"). Kapitola VIII. § Použití nejpohodlnějšího systému závaží v Rusku. Strana 118
↑ 1 2 S. B. Gaškov. § 11. D. I. Mendělejev a ternární soustava // Číselné soustavy a jejich aplikace . - M .: MTSNMO , 2004. - ( Knihovna "Matematická výchova" ). Archivováno 12. ledna 2014 na Wayback Machine Archived copy (odkaz není k dispozici) . Získáno 18. října 2009. Archivováno z originálu 12. ledna 2014. (neurčitý) V prohlížeči Google Chrome musíte po kliknutí na PDF (333 kB) posunout jednu ze stran rámce prohlížeče.
↑ I. Ano, Depman. Historie aritmetiky. Průvodce pro učitele. Druhé vydání, opraveno. Nakladatelství "Osvícení", Moskva, 1965. Kapitola I. Přirozené číslo. 7. Problém Basche-Mendělejev, str. 36.
↑ E. S. Davydov, Nejmenší skupiny čísel pro tvoření přirozených řad, Petrohrad, 1903, 36 s.
↑ V.F.Gartz, Nejlepší systém pro závaží, Petrohrad, 1910, 36 s.
↑ F. A. Sludsky, O vlastnostech mocnin dvojky a trojky. "Matematická sbírka", díl III, str. 214.
↑ Yuri Revich "Heirs of Babbage" // "Domácí počítač", č. 12, 1. prosince 2002.
↑ I. Ano, Depman. "Míra a metrický systém", Uchpedgiz, 1955.
↑ I. Ano, Depman. "Vznik systému opatření a metod měření veličin", sv. 1, Uchpedgiz, 1956.

Literatura

Brusentsov N. P., S. P. Maslov, V. P. Rozin, A. M. Tishulina „Malý digitální počítač Setun “, Moscow University Press, 1965.
Fomin SV Číselné soustavy . — M .: Nauka, 1987. — 48 s. - ( Populární přednášky o matematice ).