Von Neumannův vesmír

Von Neumannův vesmír ( hierarchie množin podle von Neumanna ) je třída tvořená dědičnými dobře založenými množinami ; taková sbírka, formalizovaná Zermelo-Fraenkel teorií množin (ZFC), je často používána jako výklad nebo ospravedlnění ZFC axiomů. Standardní notace je . $PROTI$

Hodnost fundované množiny je induktivně definována jako nejmenší pořadové číslo větší, než je hodnost kteréhokoli prvku v této množině [1] . Zejména je hodnost prázdné množiny rovna nule a hodnost jakéhokoli pořadového čísla je rovna sama sobě. Množiny zařazené do třídy tvoří díky rozdělení do řad transfinitní hierarchii, které se také říká kumulativní množinová hierarchie . $PROTI$

Historie

V roce 1982 Gregory Moore uvedl, že kumulativní typová hierarchie, známá také jako von Neumannův vesmír, byla chybně připisována von Neumannovi [2] , protože byla poprvé zmíněna v publikaci z roku 1930 od Ernsta Zermela [3] .

Existenci a jedinečnost transfinitně rekurzivní definice množin prokázal von Neumann v roce 1928 pro případ Zermelo-Fraenkelovy teorie množin [4] , stejně jako vlastní teorii množin (která se později stala základem teorie NBG ). [5] V žádném z těchto článků však nepoužil svou transfinitní rekurzivní metodu ke konstrukci univerzální sbírky všech množin. Popisy von Neumannova vesmíru od Bernayse [6] a Mendelssohna [7] přisuzují von Neumannovi konstrukční metodu založenou na transfinitní indukci , ale ne její aplikaci na problém konstrukce vesmíru obyčejných množin.

Symbol není odkazem na von Neumannovo jméno, již v roce 1889 jím Peano označoval vesmír množin, znamenající slovo „Verum“, které používal nejen jako logický symbol, ale také k označení třídy všechny prvky. [8] V roce 1910 přijali Whitehead a Russell Peano notaci k označení třídy všech souborů. [9] Von Neumannovy práce o ordinálních číslech a transfinitní indukci (20. léta 20. století) nepoužívají označení V (ve smyslu třídy všech množin). Paul Cohen [10] výslovně připisuje své použití symbolu V (třída všech množin) článku napsanému Gödelem v roce 1940 [11] , ačkoli Gödel si tento zápis s největší pravděpodobností vypůjčil z dřívějších publikací jako Whitehead a Russell. [9] $PROTI$

Vzorec je často považován spíše za větu než za definici. [6] [7] Podle Roitmana [12] (bez uvedení jakýchkoli zdrojů) ekvivalenci axiomu pravidelnosti a rovnosti kumulativní hierarchie k univerzu ZF-množin poprvé prokázal von Neumann. $\bigcup _{{\alpha }}V_{\alpha }$

Definice

Kumulativní hierarchie je rodina množin , kde index prochází třídou všech pořadových čísel . Přesněji řečeno, sada se skládá ze všech sad, které mají hodnocení nižší než . Každé pořadové číslo tedy odpovídá jedné množině . Formálně lze množinu definovat pomocí transfinitní rekurze : $V_{\alpha }$ $\alpha$ $V_{\alpha }$ $\alpha$ $\alpha$ $V_{\alpha }$ $V_{\alpha }$

Vyberme prázdnou množinu jako: $V_{0}$ $V_{0}:=\{\}.$
Nechť je libovolné řadové číslo, pak je definováno jako Boolean množiny : $\beta$ $V_{{\beta +1}}$ $V_{\beta }$ $V_{{\beta +1}}:={\mathcal {P}}(V_{\beta }).$
Nechť je limitní pořadové číslo , pak je definováno jako sjednocení všech -množin vytvořených v předchozích krocích: $\lambda$ $V_{\lambda }$ $PROTI$ $V_{\lambda }:=\bigcup _{{\beta <\lambda }}V_{\beta }.$

Klíčovým rysem této definice je, že v jazyce teorie ZFC je tvrzení, že „množina patří “, vyjádřeno jediným vzorcem tvaru . $X$ $V_{\alpha }$ $\varphi (\alpha ,x)$

Třída je spojením všech množin formuláře : $PROTI$ $V_{\alpha }$

V:=\bigcup _{{\alpha }}V_{\alpha }

Ekvivalentní definice používá zápis formuláře

V_{\alpha }:=\bigcup _{{\beta <\alpha }}{\mathcal {P}}(V_{\beta })

kde je libovolné řadové číslo a Boolean množiny . $\alpha$ ${\mathcal {P}}(X)$ $X$

Hodnost sady je nejmenší , pro kterou $S$ $\alpha$ $S\subseteq V_{\alpha }\,.$

Na následujícím obrázku je schematicky znázorněno prvních pět úrovní von Neumannovy hierarchie (od do ). (Prázdné pole odpovídá prázdné množině. Pole obsahující pouze prázdný blok odpovídá množině, jejíž jediným prvkem je prázdná množina atd.) $V_{0}$ $V_{4}$

Sada se skládá z 65536 prvků. Velikost množiny se rovná a výrazně převyšuje počet atomů v pozorovatelném vesmíru . Konečné úrovně kumulativní hierarchie s indexem vyšším než 5 tedy nelze explicitně zapsat. Sada má stejnou mohutnost jako . Mocnina se shoduje s mocninou množiny reálných čísel . $V_{5}$ $V_{6}$ $2^{{65536}}$ $V_{\omega }$ $\omega$ $V_{{\omega +1}}$

Vztah s teorií množin

Jestliže je množina přirozených čísel , pak se množina skládá z dědičně konečných množin a je modelem teorie množin bez axiomu nekonečna . existuje vesmír "obyčejné matematiky" a Zermelův model teorie množin . Jestliže je nedosažitelné kardinální číslo , pak je modelem samotné teorie ZFC , zatímco je modelem Morse-Kellyho teorie množin . $\omega$ $V_{\omega }$ $V_{{\omega +\omega }}$ $\kappa$ $V_{\kappa }$ $V_{{\kappa +1}}$

$PROTI$ není " množinou všech množin " ze dvou důvodů. Za prvé, V není množina; přestože každá z kolekcí je soubor, jejich spojení je třída sama pro sebe . Za druhé, do třídy vstupují jako prvky pouze dobře podložené množiny . V souladu s axiomem založení (nebo pravidelnosti) je každá množina dobře podložená, a proto patří do třídy . V teorii ZFC je tedy každá množina prvkem třídy . V jiných axiomatických systémech však může být axiom nadace nahrazen jeho silnou negací (například Axelův axiom proti nadaci ), nebo může jednoduše chybět. Takové teorie nepodložených množin se v praxi obvykle neuplatňují, ale mohou být předmětem studia. $V_{\alpha }$ $PROTI$ $PROTI$ $PROTI$ $PROTI$

Třetí námitka proti interpretaci jako „množina všech množin“ je, že ne každá množina je „čistá“, to znamená, že ji lze vyjádřit v termínech prázdné množiny, booleanu a sjednocení. V roce 1908 Zermelo navrhl přidání urelementů do teorie množin a v roce 1930 na jejich základě vybudoval transfinitní rekurzivní hierarchii. [3] Podobné urelementy jsou široce používány v teorii modelů , zejména Frenkel-Mostowski modely [13] . $PROTI$

Filosofická perspektiva

Existují dva hlavní přístupy (bez zohlednění různých možností a přechodných gradací) k pochopení vztahu mezi von Neumannovým vesmírem a teorií ZFC . Obecně řečeno: formalisté mají tendenci vnímat jako jakýsi důsledek ZFC axiomů (např. v teorii ZFC je možné dokázat, že každá množina je prvkem ), zatímco realisté nejčastěji vidí ve von Neumannově vesmíru objekt, který je přímo přístupný intuici, a v axiomech ZFC - výroky, jejichž pravdivost v kontextu lze potvrdit pomocí přímých argumentů vyjádřených v přirozeném jazyce. Jedním z možných přechodných úhlů pohledu je, že mentální obraz von Neumannovy hierarchie slouží jako ospravedlnění pro axiomy ZFC (a tím jim dává objektivitu), i když nutně nemusí odpovídat žádným reálným objektům. $PROTI$ $PROTI$ $PROTI$ $PROTI$

Viz také

Poznámky

↑ Mirimanoff 1917; Moore 1982, str. 261-262; Rubin 1967, str. 214
↑ Gregory H. Moore, „Zermelo's axiom of choice: Its origins, development & influence“, 1982, 2013, Dover Publications, ISBN 978-0-486-48841-7 . (Na str. 279 autor tvrdí, že odkaz na von Neumannovo jméno je chybný. Zermelův příspěvek je zmíněn na str. 280 a 281.)
↑ 1 2 Ernst Zermelo , Über Grenzzahlen und Mengenbereiche: Neue Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre, Fundamenta Mathematicae , 16 (1930) 29-47 (pozn. s. 36-40).
↑ von Neumann, John (1928), Über die Definition durch transfinite Induktion und verwandte Fragen der allgemeinen Mengenlehre, Mathematische Annalen T. 99: 373–391
↑ von Neumann, John (1928), Die Axiomatisierung der Mengenlehre , Mathematische Zeitschrift Vol. 27: 669–752 , < http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN =PPN266833020_0027&DMDID=DMDLOG_0042 > (Viz strany 745-752.)
↑ 1 2 Bernays, Paul. Axiomatická teorie množin (neopr.) . - Dover Publications , 1991. - ISBN 0-486-66637-9 . (Viz str. 203-209.)
↑ 12 Mendelson , Elliott. Úvod do matematické logiky (neurčité) . — Van Nostrand Reinhold , 1964. (Viz str. 202.)
↑ Peano, Giuseppe. Arithmetices principia, nova methodo exposita (port.) . — 1889. (Viz strany VIII a XI.)
↑ 12 Alfred North Whitehead ; Bertrand Russell . Principia Mathematica (neopr.) . - Merchant Books, 2009. - T. Volume One. — ISBN 978-1-60386-182-3 . (Viz strana 229.)
↑ Cohen, Paul Joseph. Teorie množin a hypotéza kontinua (neopr.) . — Addison–Wesley , 1966. — ISBN 0-8053-2327-9 . (Viz strana 88)
↑ Godel, Kurt. Konzistence axiomu volby a zobecněné hypotézy kontinua s axiomy teorie množin (anglicky) . - Princeton, NJ: Princeton University Press , 1940. - Sv. 3. - (Annals of Mathematic Studies).
↑ Roitman, Judith. Úvod do moderní teorie množin (neopr.) . - Virginia Commonwealth University , 2011. - ISBN 978-0-9824062-4-3 . (Viz strana 79.)
↑ Howard, Paul; Rubin, Jean. Důsledky axiomu volby (neopr.) . Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 1998. s . 175-221 . — ISBN 9780821809778 .

Literatura

Jech, Thomasi. Teorie množin: Vydání třetího tisíciletí, revidováno a rozšířeno. - Springer, 2003. - ISBN 3-540-44085-2 .
Kunen, Kenneth. Teorie množin: Úvod do důkazů nezávislosti. - Elsevier, 1980. - ISBN 0-444-86839-9 .

Slovníky a encyklopedie	Britannica (online)