Diracova rovnice pro grafen

Kvazičástice v grafenu mají v blízkosti Diracových bodů zákon lineární disperze a jejich vlastnosti jsou kompletně popsány Diracovou rovnicí [1] . Samotné Diracovy body jsou na okrajích Brillouinovy zóny , kde mají elektrony velký vlnový vektor. Pokud zanedbáme přenosové procesy mezi údolími, pak tento velký vektor nijak neovlivňuje transport v nízkoenergetické aproximaci, takže vlnový vektor objevující se v Diracově rovnici se počítá z Diracových bodů a Diracova rovnice se píše pro různé údolí odděleně.

Závěr

Struktura pásma

Pokud vezmeme v úvahu pouze příspěvek nejbližších sousedů k vytvoření energetických pásů , pak Hamiltonián v aproximaci silné vazby pro hexagonální krystalovou mřížku má tvar

H=-t\součet _{{i\in \Lambda _{A}}}\součet _{{j=1}}^{3}a^{{\dagger }}({\textbf {r}} _{i})b({\textbf {r}}_{i}+{\textbf {u}}_{j})-t\součet _{{i\in \Lambda _{B}}}\ součet _{{j=1}}^{3}b^{{\dagger }}({\textbf {r}}_{i})a({\textbf {r}}_{i}+{\ textbf {v}}_{j}),\qquad (1.1)

kde je integrál překrytí mezi vlnovými funkcemi nejbližších sousedů, který také určuje pravděpodobnost přechodu („skoku“) mezi sousedními atomy (atomy z různých podmřížek), operátory tvorby a operátory působící na trojúhelníkové podmřížky krystalu respektive a jsou operátory anihilace . Splňují obvyklé antikomutační vztahy pro fermiony : $t$ $a^{{\dagger }}({\textbf {r}}_{i})$ $b^{{\dagger }}({\textbf {r}}_{i})$ $\Lambda _{A}$ $\Lambda _{B}$ $a({\textbf {r}}_{i})$ $b({\textbf {r}}_{i})$

[a({\textbf {r}}_{i}),a^{{\dagger }}({\textbf {r}}_{{i^{{'}}})]_{{+ }}=[b({\textbf {r}}_{i}),b^{{\dagger }}({\textbf {r}}_{{i^{{'}}}})]_ {{+}}=\delta _{{ii^{{'}}}}.\qquad (1.2)

Šest vektorů a ukazuje na nejbližší uzly od vybraného centrálního atomu a je dáno vztahy ${\textbf {u}}_{i}$ ${\textbf {v}}_{i}$

{\textbf {u}}_{1}=(-d,0),\,{\textbf {u}}_{2}=\left({\frac {1}{2}}d,{\ frac {{\sqrt {3}}}{2}}d\right),\,{\textbf {u}}_{3}=\left({\frac {1}{2}}d,-{ \frac {{\sqrt {3}}}{2}}d\right),\qquad (1.3)

{\textbf {v}}_{1}=(d,0),\,{\textbf {v}}_{2}=\left(-{\frac {1}{2}}d,-{ \frac {{\sqrt {3}}}{2}}d\right),\,{\textbf {v}}_{3}=\left(-{\frac {1}{2}}d, {\frac {{\sqrt {3}}}{2}}d\right).\qquad (1.4)

Fourierova transformace operátorů stvoření a anihilace

a({\textbf {r}}_{i})=\int \limits _{{BZ}}{\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}e^ {{i{\textbf {k}}{\textbf {r}}_{i}}}{\tilde {a}}({\textbf {k}}),b({\textbf {r}}_ {i})=\int \limits _{{BZ}}{\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}e^{{i{\textbf {k}} {\textbf {r}}_{i}}}{\tilde {b}}({\textbf {k}}),\qquad (1.5)

kde se integrace přes vlnové vektory provádí z první Brillouinovy zóny , nám umožňuje zapsat hamiltonián ve tvaru

H=\int \limits _{{BZ}}{\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}{\tilde {\psi }}^{{\dagger }} ({\textbf {k))){\tilde {H}}{\tilde {\psi }}({\textbf {k}}),\qquad (1.6)

kde jsou akceptována tato označení:

{\tilde {\psi }}({\textbf {k}})=\left({\tilde {a}}({\textbf {k}}),{\tilde {b}}({\textbf { k)))\right)^{{T)),\,{\tilde {\psi }}^{{\dagger }}({\textbf {k}})=\left({\tilde {a} }^{{\dagger }}({\textbf {k}}),{\tilde {b}}^{{\dagger }}({\textbf {k}})\right),\qquad (1.7)

{\tilde {H}}=\left({\begin{array}{cc}0&-t\sum _{{j=1}}^{3}e^{{i{\textbf {k}}{ \textbf {u}}_{j}}}\\-t\sum _{{j=1}}^{3}e^{{i{\textbf {k}}{\textbf {v}}_ {j}}}&0\\\end{array}}\right).\qquad (1.8)

Výraz (1.6) lze získat dosazením (1.5) do (1.1). Zvažte součet

\sum _{{i\in \Lambda _{A}}}\součet _{{j=1}}^{3}a^{{\dagger }}({\textbf {r}}_{i} )b({\textbf {r}}_{i}+{\textbf {u}}_{j}),\qquad (1.9)

který lze pomocí vztahů (1.5) zapsat jako

\sum _{{i\in \Lambda _{A}}}\součet _{{j=1}}^{3}\int \limits _{{BZ}}{\frac {d^{2}k }{(2\pi )^{2))}e^{{-i{\textbf {k}}{\textbf {r}}_{i}}}{\tilde {a\dagger }}({ \textbf {k)))\int \limits _{{BZ}}{\frac {d^{2}k^{{'}}}{(2\pi )^{2}}}e^{{ i{\textbf {k}}^{{'}}({\textbf {r}}_{i}+{\textbf {u}}_{j}})}}{\tilde {b}}( { \textbf {k}}^{{'}}),\qquad (1.10)

nebo

\int \limits _{{BZ}}{\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}{\tilde {a\dagger }}({\textbf {k}} )\int \limits _{{BZ}}{\frac {d^{2}k^{{'}}}{(2\pi )^{2}}}\sum _{{i\in \Lambda _{A))}e^{{-i{\textbf {k}}{\textbf {r}}_{i}+i{\textbf {k}}^{{'}}{\textbf {r }}_{i}}}\sum _{{j=1}}^{3}e^{{i{\textbf {k}}^{{'}}{\textbf {u}}_{j ))}{\tilde {b}}({\textbf {k}}^{{'}}).\qquad (1.11)

Pomocí poměru

\sum _{{i\in \Lambda _{A}}}e^{{-i{\textbf {k}}{\textbf {r}}_{i}+i{\textbf {k}}^ {{'}}{\textbf {r}}_{i}}}=(2\pi )^{2}\delta \left({\textbf {k}}^{{'}}-{\textbf {k}}\right),\qquad (1,12)

dostaneme po integraci přes výraz ${\textbf {k}}^{{'}}$

\int \limits _{{BZ}}{\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}{\tilde {a\dagger }}({\textbf {k}} )\sum _{{j=1}}^{3}e^{{i{\textbf {k}}{\textbf {u}}_{j}}}{\tilde {b}}({\ textbf {k}}).\qquad (1.13)

Podobná transformace druhého součtu v Hamiltoniánu (1.1) vede k požadovanému výsledku (1.6).

Vlastní hodnoty Hamiltoniánu (1.8) nabývají hodnot

E=\pm t{\sqrt {\sum _{{j=1}}^{3}e^{{i{\textbf {k}}{\textbf {u}}_{j}}}\sum _{{j^{{'}}=1}}^{3}e^{{i{\textbf {k}}{\textbf {v}}_{{j^{{'}}}}} }}}=\pm t{\sqrt {\left(e^{{-ik_{x}d}}+2e^{{ik_{x}d/2}}\cos {{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}dk_{y}}\right)\left(e^{{ik_{x}d}}+2e^{{-ik_{x}d/2}}\cos {{ \frac {{\sqrt {3}}}{2}}dk_{y}}\right)}}=

\pm t{\sqrt {\left(1+2e^{{i3k_{x}d/2}}\cos {{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}dk_{y}}\ right)\left(1+2e^{{-i3k_{x}d/2}}\cos {{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}dk_{y}}\right))) =\pm t{\sqrt {1+4\cos \left({\frac {{\sqrt {3}}}{2}}k_{y}d\right)\left[\cos \left({\ frac {3}{2}}k_{x}d\right)+\cos \left({\frac {{\sqrt {3}}}{2}}k_{y}d\right)\right]} },\qquad (1,14)

které určují pásovou strukturu grafenu. [2]

Nízkoenergetická aproximace

Zóny (1.14) s pozitivní energií ( elektrony ) a negativní energií ( díry ) se dotýkají v šesti bodech, nazývaných Diracovy body, protože v jejich blízkosti získává energetické spektrum lineární závislost na vlnovém vektoru. Souřadnice těchto bodů jsou

\left(0,{\frac {4\pi }{3{\sqrt {3}}d}}\right),\,\left(0,-{\frac {4\pi }{3{\sqrt {3}}d}}\vpravo),\,\vlevo ({\frac {2\pi }{3d)),{\frac {2\pi }{3{\sqrt {3}}d}}\ vpravo),\,\left({\frac {2\pi }{3d)),-{\frac {2\pi }{3{\sqrt {3}}d}}\right),\,\left (-{\frac {2\pi }{3d)),{\frac {2\pi }{3{\sqrt {3}}d}}\right),\,\left(-{\frac {2 \pi }{3d)),{\frac {-2\pi }{3{\sqrt {3}}d}}\right).\qquad (2.1)

Lze zvolit dvě nezávislá údolí, takže vrcholy valenčních pásem budou v Diracových bodech se souřadnicemi

{\textbf {K}}^{{\pm }}=\left(0,\pm {\frac {4\pi }{3{\sqrt {3}}d}}\right).\qquad (2.2 )

Uvažujme mimodiagonální prvek Hamiltoniánu (1.8). Rozšiřme jej poblíž Diracových bodů (2.2) z hlediska malého parametru d ${\tilde {H}}_{{12}}$

\lim _{{d\rightarrow 0}}d^{{-1}}{\tilde {H}}_{{12}}|_{{{\textbf {k}}={\textbf {K} }^{{\pm }}+{\boldsymbol {\kappa }}}}=-t\lim _{{d\rightarrow 0}}d^{{-1}}\left(e^{{-i \kappa _{x}d}}+2e^{{i\kappa _{x}d/2}}\cos {{\frac {{\sqrt {3}}d}{2}}}\left( \pm {\frac {4\pi }{3{\sqrt {3}}d}}+\kappa _{y}\right)\right)={\frac {3t}{2}}(i\kappa _{x}\pm \kappa _{y}).\qquad (2.3)

Pro , expanze se vypočítá podobně a v důsledku toho můžeme zapsat Hamiltonián pro kvazičástice poblíž Diracových bodů ve tvaru ${\tilde {H}}_{{21}}$

\left({\begin{array}{cc}H^{{+}}&0\\0&H^{{-}}\\\end{array}}\right)=\hbar v_{F}(\alpha ^{1}\kappa _{x}+\alpha ^{2}\kappa _{y}),\qquad (2.4)

kde je fermiho rychlost a $v_{F}=3td\hbar ^{{-1}}/2$

\alpha ^{1}=-\left({\begin{array}{cc}\sigma ^{2}&0\\0&\sigma ^{2}\\\end{array}}\right),\, \alpha ^{2}=\left({\begin{array}{cc}\sigma ^{1}&0\\0&-\sigma ^{1}\\\end{array}}\right).\qquad (2,5)

Zde a jsou Pauliho matrice . $\sigma ^{1}$ $\sigma ^{2}$

Přejdeme-li nyní k reprezentaci souřadnic provedením Fourierovy transformace hamiltoniánu (2.4), dojdeme k hamiltoniánu v Diracově rovnici pro kvazičástice v grafenu

H=-i\hbar v_{F}(\alpha ^{1}\částečné _{x}+\alpha ^{2}\částečné _{y}).\qquad (2.6)

Řešením Diracovy rovnice pro grafen bude čtyřsložkový sloupec formuláře $H\psi =E\psi$

\psi =(\psi _{A}^{{+}},\psi _{B}^{{+}},\psi _{A}^{{-}},\psi _{B}^ {{-}})^{{T}},\qquad (2,7)

kde indexy a odpovídají dvěma podmřížkám krystalu a znaménka "+" a "-" označují neekvivalentní Diracovy body v k-prostoru. [2] $A$ $B$

Libovolná rotace souřadnicového systému

Vzhledem k tomu, že disperzní zákon by v nízkoenergetické aproximaci neměl záviset na orientaci krystalové mřížky vůči souřadnicovému systému a Diracova rovnice pro grafen tuto vlastnost nemá, vyvstává otázka o obecné podobě Diracovy rovnice, kdy souřadnicový systém je otočen. Je jasné, že jediný rozdíl mezi Diracovými rovnicemi v daném souřadnicovém systému a souřadnicovém systému otočeném o úhel , za předpokladu zachování disperzního zákona, je součet fázových faktorů. Výpočty vedou k Hamiltoniánu pro volné částice ve tvaru [3] $\alpha$

H_{{\pm }}=-i\hbar v\left({\begin{array}{cc}0&e^{{\pm i\alpha }}(i\částečné _{x}\pm \částečné _{ y})\\e^{{\mp i\alpha }}(-i\částečné _{x}\pm \částečné _{y})&0\\\end{array}}\vpravo),\qquad ( 3.1)

ze kterého můžete získat všechny rovnice, které se používají v literatuře (s výhradou volby opačných K bodů).

V literatuře se vyskytuje hamiltonián ve tvaru [4]

H_{{\pm }}=-i\hbar v\left({\begin{array}{cc}0&\pm \partial _{x}-i\partial _{y}\\\pm \partial _{ x}+i\částečné _{y}&0\\\end{array}}\vpravo),\qquad (3.2)

který získáme z (3.1), pokud vezmeme úhel . $\alpha =-\pi /2$

Řešení Diracovy rovnice

Uvažujme hamiltonián pro jedno údolí

H_{{+}}=-i\hbar v{\begin{pmatrix}0&i{\frac {\partial }{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\\-i {\frac {\partial }{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial y}}&0\end{pmatrix}}.\qquad (4.1)

Vlnová funkce je reprezentována jako spinor sestávající ze dvou složek

\Psi ={\begin{pmatrix}\phi \\\chi \end{pmatrix}}.\qquad (4.2)

Tato funkce splňuje následující rovnici pro volné částice

\left\{{\begin{matrix}-i\hbar v\left(i{\frac {\partial \chi }{\partial x))+{\frac {\partial \chi }{\partial y)) \right)=E\phi &\\-i\hbar v\left(-i{\frac {\částečné \phi }{\částečné x))+{\frac {\částečné \phi }{\částečné y} }\right)=E\chi &\end{matrix}}\right.\qquad (4.3)

Dosazením druhé rovnice do první dostaneme vlnovou rovnici

{\frac {\částečné ^{2}\phi }{\částečné x^{2))}+{\frac {\částečné ^{2}\phi }{\částečné y^{2))}=-{ \frac {E^{2}}{\hbar ^{2}v^{2}}}\phi ,\qquad (4.4)

jehož řešením je rovinná vlna

\phi ={\frac {1}{{\sqrt {2}}}}e^{{ik_{x}x+ik_{y}y}}.\qquad (4.5)

Vlastní čísla mají formu spojitého lineárního spektra

E=\pm \hbar vk_{F}=\pm \hbar v{\sqrt {k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}}.\qquad (4.6)

Druhou složku vlnové funkce lze snadno najít dosazením nalezeného řešení do druhé rovnice (4.3)

\chi =-i{\frac {\hbar v\left(k_{x}+ik_{y}\right)}{E}}{\frac {1}{{\sqrt {2}}}}e^ {{ik_{x}x+ik_{y}y}}=-ie^{{i\theta }}{\frac {\hbar vk_{F}}{E}}{\frac {1}{{\ sqrt {2}}}}e^{{ik_{x}x+ik_{y}y}}.\qquad (4.7)

Proto lze vlnovou funkci pro údolí zapsat jako $K^{{+}}$

\Psi ={\frac {1}{{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}1\\-ie^{{i\theta }}{\frac {\hbar vk_{F}}{ E}}\end{pmatrix}}e^{{ik_{x}x+ik_{y}y}}.\qquad (4.8)

Literatura

Lozovik Yu. E. , Merkulova S.P., Sokolik A.A. Kolektivní elektronické jevy v grafenu //Phys. - 2008. -T. 178,č. 7. —S. 757–776.

Odkazy

↑ Novoselov KS et al. "Dvourozměrný plyn bezhmotných Diracových fermionů v grafenu", Nature 438 , 197 (2005) doi : 10.1038/nature04233
↑ 1 2 Sitenko Yu. A., Vlasii ND Elektronické vlastnosti grafenu s topologickým defektem Nucl. Phys. B 787 , 241 (2007) doi : 10.1016/j.nuclphysb.2007.06.001 Předtisk
↑ Ando T. "Teorie elektronických stavů a transportu v uhlíkových nanotrubičkách" J. Phys. soc. Jpn. 74 , 777 (2005) doi : 10.1143/JPSJ.74.777
↑ Gusynin V.P., et. al. AC vodivost grafenu: od modelu s pevnou vazbou po 2+1-rozměrnou kvantovou elektrodynamiku Int. J. Mod. Phys. B 21 , 4611 (2007) doi : 10.1142/S0217979207038022