Fourierova transformace

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 25. ledna 2022; kontroly vyžadují 10 úprav .

Fourierova transformace

Krátké jméno/titul	FT
Pojmenoval podle	Fourier, Jean-Baptiste Joseph
Vzorec popisující zákon nebo větu	$\left({\mathcal {F}}f\right)(\omega )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega t}f(t)\mathrm {d} t$ [jeden]
Označení ve vzorci	${\mathcal {F}}f$ , , a $F$ $\omega$ $\mathrm {e}$
zpět k	inverzní Fourierova transformace [d]
Mediální soubory na Wikimedia Commons

Fourierova transformace (symbol ℱ ) je operace, která mapuje jednu funkci reálné proměnné na jinou funkci reálné proměnné. Tato nová funkce popisuje koeficienty („amplitudy“) při rozkladu původní funkce na elementární složky – harmonické kmity s různými frekvencemi

Fourierova transformace funkce reálné proměnné je integrální a je dána následujícím vzorcem: $F$

{\hat {f}}(\omega )={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}}}\int \limits _{{-\infty }}^{{\infty }}f (x)e^{{-ix\omega }}\,dx.

Různé zdroje mohou uvádět definice, které se liší od výše uvedených, výběrem faktoru před integrál (tzv. normalizační faktor , který se týká otázky normalizace Fourierovy transformace ), jakož i znaménka „−“ v exponentu. . Ale bez ohledu na takové variace zůstanou všechny vlastnosti platné, i když se forma některých vzorců může změnit.

Obecný vzorec pro všechny varianty definice Fourierovy transformace s parametry a vypadá $A$ $b$

{\hat {f))(\omega )={\sqrt {\frac {\left|b\right|}{(2\pi )^{1-a))))\int \limits _ {-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ibx\omega }\,dx.

Inverzní transformace je definována následovně

f(x)={\sqrt {\frac {\left|b\right|}{(2\pi )^{1+a))))\int \limits _{-\infty }^{ \infty }{\hat {f}}(\omega )e^{ib\omega x}\,d\omega .

Při volbě a nebo se vzorce obzvláště zjednodušují, mizí v nich normalizační faktory a vzorce se liší pouze znaménkem stupně, v důsledku čehož je většina níže uvedených vzorců zjednodušena na konstantní konstanty. $a=0$ $b=2\pi$ $b=-2\pi$

Kromě toho existují různá zobecnění tohoto pojmu (viz níže).

Vlastnosti

Přestože vzorec definující Fourierovu transformaci má jasný význam pouze pro funkce této třídy $L_{1}(\mathbb{R} )$ , lze Fourierovu transformaci definovat pro širší třídu funkcí a dokonce i funkce zobecněné . To je možné díky řadě vlastností Fourierovy transformace:

Fourierova transformace je lineární operátor :

\widehat {(\alpha f+\beta g)}=\alpha {\hat {f}}+\beta {\hat {g}}.

Parsevalova rovnost je pravdivá : if , pak Fourierova transformace zachovává -normu: $f\in L_{1}(\mathbb{R} )\cap L_{2}(\mathbb{R} )$ $L_{2}$

\int \limits _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx=\int \limits _{-\infty }^{\infty }|{{ \hat {f}}(w)}|^{2}\,d\omega .

Tato vlastnost umožňuje rozšířit definici Fourierovy transformace na celý prostor pomocí spojitosti . Parsevalova rovnost pak bude platit pro všechny . $L_{2}(\mathbb{R} )$ $f\in L_{2}(\mathbb{R} )$

Léčebný vzorec :

f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}} (\omega ) e^{ix\omega }\,d\omega

platí, pokud integrál na pravé straně dává smysl. To platí zejména v případě, že je funkce dostatečně plynulá. Jestliže , pak je vzorec také pravdivý, protože Parsevalova rovnost umožňuje dávat smysl integrálu na pravé straně přechodem k limitě. $F$ $f\in L_{2}(\mathbb{R} )$

Tento vzorec vysvětluje fyzikální význam Fourierovy transformace: pravá strana je (nekonečný) součet harmonických oscilací s frekvencemi , amplitudami a fázovými posuny . $e^{{i\omega x}}$ $\omega$ ${\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}}}|{\hat {f}}(\omega )|$ $\arg {\hat {f}} (\omega )$

Konvoluční teorém : pokud pak $f,\;g\in L_{1}(\mathbb{R} )$

\widehat {(f\ast g)}={\sqrt {2\pi }}\widehat {f}\widehat {g}

, kde

(f\ast g)(t)=\int \limits _{{-\infty }}^{{\infty }}f(ts)g(s)\,ds.

Tento vzorec lze také rozšířit na případ zobecněných funkcí.

Fourierova transformace a diferenciace . Pokud , pak $f,\;f'\in L_{1}(\mathbb{R} )$

\widehat {(f')}=i\omega \widehat {f}.

Z tohoto vzorce lze snadno odvodit vzorec pro -tou derivaci: $n$

\widehat {(f^{{(n)}})}=(i\omega )^{n}\widehat {f}.

Vzorce jsou pravdivé i v případě zobecněných funkcí.

Fourierova transformace a posun .

{\widehat {f(x-x_{0})}}=e^{-i\omega x_{0}}{\hat {f}}(\omega ).

Tento a předchozí vzorec jsou speciální případy konvoluční věty, protože posun argumentem je konvolucí s funkcí posunuté delta a derivace je konvolucí s derivací funkce delta. $\delta (x-x_{0})$

Fourierova transformace a protahování .

{\widehat {f(ax)}}=|a|^{-1}{\hat {f}}(\omega /a).

Poissonův sčítací vzorec :

\sum _{k=-\infty }^{+\infty }f(k)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{\hat {f))(n)

Fourierova transformace zobecněných funkcí . Fourierova transformace může být definována pro širokou třídu zobecněných funkcí. Nejprve definujme prostor hladkých rychle klesajících funkcí ( Schwartzův prostor ):

S({\mathbb R}):=\left\{\varphi \in C^{{\infty }}({\mathbb R}):\forall n,\;m\in \mathbb{N} \; x^{n}\varphi ^{{(m)}}(x){\xšipka doprava {x\to \infty }}0\doprava\}.

Klíčovou vlastností tohoto prostoru je, že se jedná o invariantní podprostor vzhledem k Fourierově transformaci.

Nyní definujme jeho duální prostor . Jedná se o nějaký podprostor v prostoru všech zobecněných funkcí – tzv. zobecněné funkce pomalého růstu. Nyní, pro funkci, její Fourierova transformace je zobecněná funkce působící na hlavní funkce podle pravidla $S^{*}(\mathbb{R} )$ $f\in S^{*}(\mathbb{R} )$ ${\hat {f}}\in S^{*}(\mathbb{R} )$

\langle {\hat {f)),\;\varphi \rangle =\langle f,\;{\hat {\varphi ))\rangle .

Vypočítejme například Fourierovu transformaci delta funkce :

\langle {\hat {\delta )),\;\varphi \rangle =\langle \delta ,\;{\hat {\varphi ))\rangle =\left\langle \delta ,\;{\frac {1 }{{\sqrt {2\pi }}}}\int \limits _{{-\infty }}^({\infty }}\varphi (x)e^{{-i\omega x}}\, dx\right\rangle ={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}}}\int \limits _{{-\infty }}^{{\infty }}\varphi (x)\cdot 1\,dx=\left\langle {\frac {1}{{\sqrt {2\pi )))),\;\varphi \right\rangle .

Fourierova transformace delta funkce je tedy konstanta . ${\frac {1}{{\sqrt {2\pi ))))$

Princip neurčitosti

Obecně řečeno, čím větší je koncentrace f ( x ) , tím více musí být rozprostřena její Fourierova transformace f ( ω ) . Konkrétně vlastnost škálování Fourierovy transformace může být reprezentována následovně: jestliže je funkce komprimována x krát, pak je její Fourierova transformace roztažena o ω krát. Je nemožné libovolně soustředit jak funkci, tak její Fourierovu transformaci.

Kompromis mezi zhuštěním funkce a její Fourierovou transformací lze formalizovat jako princip neurčitosti , přičemž funkci a její Fourierovu transformaci považujeme za konjugované proměnné s ohledem na časově-frekvenční symplektickou formu : z hlediska lineárního kanonická transformace , Fourierova transformace je rotace o 90° v časově-frekvenční doméně a zachovává symplektickou formu.

Předpokládejme, že f ( x ) je integrovatelná a čtvercová integrovatelná funkce. Poté je norma vyjádřena jako

||f||_{2}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx.

Z Plancherelovy věty vyplývá, že f̂ ( ω ) je také normalizováno.

Rozpětí kolem očekávané hodnoty lze měřit rozptylem definovaným jako $x_{0}={\frac {1}{||f||_{2}^{2}}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }x|f(x )|^{2}\,dx$

(\Delta f)^{2}={\frac {1}{||f||_{2}^{2}}}\int \limits _{-\infty }^{\infty } (x-x_{0})^{2}|f(x)|^{2}\,dx.

Z hlediska pravděpodobnosti se jedná o centrální druhý moment funkce . ${\displaystyle |f(x)|^{2))$

Princip neurčitosti říká, že je-li f ( x ) absolutně spojitá a funkce x f ( x ) a f ′ ( x ) jsou čtvercově integrovatelné, pak

{\displaystyle (\Delta f)^{2}(\Delta {\hat {f)))^{2}\geq {\frac {1}{16\pi ^{2))))

kde je faktor normalizace před Fourierovou transformací , když je faktor normalizace stejný, výraz na pravé straně se stane . Po extrahování kořenů z obou výrazů se z pravého výrazu stane a , respektive určuje polovinu šířky okna ( směrodatná odchylka ). $jeden$ ${\frac {1}{2\pi ))$ ${\frac {1}{4))$ ${\frac {1}{4\pi }}$ ${\frac {1}{2))$ $\Delta$

Rovnosti je dosaženo pouze tehdy, pokud

{\begin{aligned}f(x)&=C_{1}\,e^{-\pi {\frac {x^{2)){\sigma ^{2))))\\\ proto {\hat {f}}(\xi )&=\sigma C_{1}\,e^{-\pi \sigma ^{2}\omega ^{2}}\end{aligned}}

kde σ > 0 je libovolné a tak, že f je L 2 -normalizované. Jinými slovy, kde f je (normalizovaná) Gaussova funkce s rozptylem σ 2 se středem na nule a její Fourierova transformace je Gaussova funkce s rozptylem σ -2 . ${\displaystyle C_{1}={\frac {\sqrt[{4}]{2)){\sqrt {\sigma ))))$

Ve skutečnosti tato nerovnost znamená, že:

{\displaystyle \left({\frac {1}{||f||_{2}^{2))}\int \limits _{-\infty }^{\infty }(x-x_{0} )^{2}|f(x)|^{2}\,dx\right)\left({\frac {1}{||{\hat {f}}||_{2}^{2} }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }(\omega -\omega _{0})^{2}\left|{\hat {f}}(\omega )\right|^ {2}\,d\omega \right)\geq {\frac {1}{16\pi ^{2))))

pro libovolné x 0 , ω 0 ∈ R .

V kvantové mechanice jsou hybnost a poloha vlnové funkce páry Fourierových transformací až do Planckovy konstanty . S touto konstantou správně započtenou se výše uvedená nerovnost stává vyjádřením Heisenbergova principu neurčitosti .

Silnějším principem neurčitosti je Hirschmanův princip neurčitosti , který je vyjádřen jako:

H\left(\left|f\right|^{2}\right)+H\left(\left|{\klobouk {f))\right|^{2}\right)\geq \ln \left({\frac {e}{2}}\right)

kde H ( p ) je diferenciální entropie funkce hustoty pravděpodobnosti p ( x ) :

H(p)=-\int \limits _{-\infty }^{\infty }p(x)\ln {\bigl (}p(x){\bigr )}\,dx

kde logaritmy mohou být v libovolné po sobě jdoucí bázi. Pro Gaussovu funkci je dosaženo rovnosti jako v předchozím případě.

Aplikace

Fourierova transformace se používá v mnoha oblastech vědy - ve fyzice , teorii čísel , kombinatorice , zpracování signálů , teorii pravděpodobnosti , statistice , kryptografii , akustice , oceánologii , optice , geometrii a mnoha dalších. Ve zpracování signálu a příbuzných oborech je Fourierova transformace obvykle chápána jako rozklad signálu na frekvence a amplitudy , tedy reverzibilní přechod z časoprostoru do frekvenčního prostoru . Bohaté aplikační možnosti jsou založeny na několika užitečných transformačních vlastnostech:

Transformace jsou lineární operátory a s vhodnou normalizací unitární (vlastnost známá jako Parsevalova věta nebo obecněji jako Plancherelova věta nebo obecněji jako Pontryaginův dualismus ).
Transformace jsou vratné a inverzní transformace má téměř stejnou formu jako přímá transformace.
Sinusové bázové funkce (nebo spíše komplexní exponenciály) jsou vlastními funkcemi derivace , což znamená, že dané zobrazení mění lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty na obyčejné algebraické. (Například v lineárním stacionárním systému je frekvence konzervativní hodnotou , takže chování na každé frekvenci lze řešit nezávisle).
Podle teorému o konvoluci Fourierova transformace změní složitou operaci konvoluce na jednoduché násobení , což znamená, že poskytuje efektivní způsob výpočtu operací založených na konvoluci, jako je násobení polynomů a násobení velkých čísel .
Diskrétní verzi Fourierovy transformace lze rychle vypočítat na počítačích pomocí algoritmu Fast Fourier Transform (FFT).

Odrůdy

Vícerozměrná transformace

Fourierova transformace funkcí daných na prostoru je definována vzorcem $\mathbb {R} ^{n}$

{\hat {f))(\omega )={\frac {1}{(2\pi )^{{n/2))))\int \limits _{{\mathbb{R} ^{n} }}f(x)e^{{-ix\cdot \omega }}\,dx.

Zde a jsou prostorové vektory , je jejich skalární součin . Inverzní transformace je v tomto případě dána vzorcem $\omega$ $X$ $\mathbb {R} ^{n}$ $x\cdot\omega$

f(x)={\frac {1}{(2\pi )^{{n/2))))\int \limits _({\mathbb{R} ^{n))}{\hat {f }}(\omega )e^{{ix\cdot \omega }}\,d\omega .

Tento vzorec lze interpretovat jako rozšíření funkce do lineární kombinace ( superpozice ) tvaru „ rovinných vln “ s amplitudami , frekvencemi a fázovými posuny . Stejně jako dříve se v různých zdrojích mohou definice vícerozměrné Fourierovy transformace lišit ve výběru konstanty před integrálem. $F$ $e^{{ix\cdot \omega }}$ ${\frac {1}{(2\pi )^{{n/2))))|{\hat {f))(\omega )|$ $\omega$ $\arg {\hat {f}} (\omega )$

Poznámka o doméně specifikace Fourierovy transformace a jejích hlavních vlastnostech zůstávají v platnosti i ve vícerozměrném případě s následujícím upřesněním:

Použití parciálních derivací působením Fourierovy transformace se změní na násobení stejnojmennou souřadnicí:

\widehat {{\frac {\částečné f}{\částečné x_{k))))=i\omega _{k}{\hat {f))(\omega ).

Konstanta v konvoluční větě se mění:

\widehat {(f\ast g)}=(2\pi )^{{n/2}}{\hat {f}}{\hat {g}}.

Fourierova transformace a komprese souřadnic:

\widehat {\left(f\left({\frac {x}{|a|}}\right)\right)}=|a|^{n}{\hat {f}}(\omega |a| ).

Obecněji, pokud je invertibilní lineární mapa , pak ${\displaystyle A\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n))$

{\widehat {\left(f(Ax)\right)}}=|\det(A)|^{-1}{\hat {f}}((A^{T})^{- 1}\omega ).

Fourierova řada

Samotná spojitá transformace je ve skutečnosti zobecněním dřívější myšlenky Fourierových řad , které jsou definovány pro -periodické funkce a představují expanzi takových funkcí do (nekonečné) lineární kombinace harmonických kmitů s celočíselnými frekvencemi: $2\pi$

f(x)=\sum _{{n=-\infty }}^({\infty }}{\hat {f}}_{n}\,e^{{inx}}.

Rozšíření Fourierovy řady je také použitelné pro funkce definované na ohraničených intervalech, protože takové funkce lze periodicky rozšiřovat na celý řádek.

Fourierova řada je speciálním případem Fourierovy transformace, pokud je druhá chápána ve smyslu zobecněných funkcí . Pro libovolnou -periodickou funkci máme $2\pi$

{\hat {f}} (\omega )={\sqrt {2\pi }}\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}{\hat {f}}_{n }\delta (\omega -n).

Jinými slovy, Fourierova transformace periodické funkce je součtem bodových zatížení v celočíselných bodech a mimo ně je nulová.

Diskrétní převod

Diskrétní Fourierova transformace je transformací konečných posloupností (komplexních) čísel, která, stejně jako ve spojitém případě, mění konvoluci v bodové násobení. Používá se při digitálním zpracování signálu a dalších situacích, kdy potřebujete rychle provést konvoluci, například při násobení velkých čísel.

Nechť je posloupnost komplexních čísel. Uvažujme polynom . Vyberme několik bodů na komplexní rovině . Nyní můžeme přiřadit novou množinu čísel k polynomu: . Všimněte si, že tato transformace je reverzibilní: pro jakoukoli sadu čísel existuje jedinečný polynom stupně nejvýše s takovými hodnotami (viz interpolace ). $x_{0},\;x_{1},\;\ldots ,\;x_{{n-1}}$ $f(t)=x_{0}+x_{1}t+x_{2}t^{2}+\ldots +x_{{n-1}}t^{{n-1}}$ $n$ $z_{0},\;z_{1},\;\ldots ,\;z_{{n-1}}$ $f(t)$ $n$ $f_{0}:=f(z_{0}),\;f_{1}:=f(z_{1}),\;\ldots ,\;f_{{n-1}}:=f(z_ {{n-1}})$ $f_{0},\;f_{1},\;\ldots ,\;f_{{n-1}}$ $f(t)$ $n-1$ $z_{0},\;\ldots ,\;z_{{n-1}}$

Sada a se nazývá diskrétní Fourierova transformace původní množiny . Kořeny jednoty se obvykle volí jako body : $\{f_{k}\}$ $\{x_{k}\}$ $z_{k}$ $n$

z_{k}=e^{{\frac {2\pi ik}{n))}

Tato volba je dána skutečností, že v tomto případě má inverzní transformace jednoduchou formu, a také skutečností, že výpočet Fourierovy transformace lze provést obzvláště rychle . Takže zatímco výpočet konvoluce dvou délkových sekvencí přímo vyžaduje pořadí operací, přechod na jejich Fourierovu transformaci a zpět pomocí rychlého algoritmu lze provádět v operacích. Pro Fourierovy transformace konvoluce odpovídá komponentovému násobení, které vyžaduje pouze pořadí operací. $n$ $n^{2}$ $O(n\log n)$ $n$

Okna

F(t,\;\omega )=\int \limits _{{-\infty }}^{\infty }f(\tau )W(\tau -t)e^{{-i\omega \tau } }\,d\tau ,

kde udává frekvenční rozdělení (obecně poněkud zkreslené) části původního signálu v blízkosti času . $F(t,\;\omega )$ $f(t)$ $t$

Klasická Fourierova transformace se zabývá spektrem signálu v celém rozsahu existence proměnné. Často je zajímavé pouze místní rozdělení frekvencí, přičemž je nutné zachovat původní proměnnou (obvykle čas). V tomto případě se používá zobecnění Fourierovy transformace - tzv. okénková Fourierova transformace . Pro začátek je nutné zvolit nějakou funkci okna a tato funkce musí mít dobře lokalizované spektrum. $W$

V praxi je diskrétní spektrální analýza implementována v moderních digitálních osciloskopech a spektrálních analyzátorech . Používá se zpravidla výběr okna ze 3-10 typů. Použití oken je zásadně nutné, protože v reálných zařízeních je vždy zkoumán určitý výřez ze zkoumaného signálu. V tomto případě nespojitosti signálu v důsledku zářezu ostře zkreslují spektrum v důsledku superpozice skokových spekter na spektru signálu.

Některé spektrální analyzátory používají rychlé (nebo krátkodobé) okno. S ním je signál dané doby trvání rozdělen do řady intervalů pomocí posuvného okna toho či onoho typu. To umožňuje získávat, zkoumat a budovat dynamická spektra ve formě spektrogramů a analyzovat jejich chování v čase. Spektrogram je postaven ve třech souřadnicích – frekvence, času a amplitudy. V tomto případě je amplituda nastavena barvou nebo odstínem barvy každého obdélníku spektrogramu. Takové spektrální analyzátory se nazývají spektrální analyzátory v reálném čase . Jejich hlavním výrobcem je Keysight Technologies Corporation ( USA ), Rohde & Schwarz (Německo), Tektronix (USA). Takové analyzátory se objevily na konci minulého století a nyní se rychle vyvíjejí. Frekvenční rozsah signálů, které studují, dosahuje stovek gigahertzů.

Tyto metody spektrální analýzy jsou také implementovány v počítačových matematických systémech, například Mathcad , Mathematica , Maple a MATLAB .

Další možnosti

Diskrétní Fourierova transformace je speciálním případem (a někdy používaným jako aproximace) diskrétní Fourierovy transformace v čase (DTFT), která je definována na diskrétních, ale nekonečných doménách, a proto je spektrum spojité a periodické. Časově diskrétní Fourierova transformace je v podstatě inverzní Fourierovou řadou. $x_k$

Tyto varianty Fourierovy transformace lze zobecnit na Fourierovy transformace libovolných lokálně kompaktních Abelovských topologických grup , které jsou studovány v harmonické analýze; transformují skupinu na její duální skupinu . Tato interpretace nám také umožňuje formulovat konvoluční teorém , který zakládá spojení mezi Fourierovými transformacemi a konvolucemi . Viz také Pontryaginův dualismus .

Interpretace z hlediska času a frekvence

Pokud jde o zpracování signálu , transformace bere reprezentaci funkce signálu v časové řadě a mapuje ji do frekvenčního spektra , kde je rohová frekvence . To znamená, že mění funkci času na funkci frekvence ; je to rozklad funkce na harmonické složky na různých frekvencích. $\omega$

Když je funkce funkcí času a představuje fyzický signál , má transformace standardní interpretaci jako spektrum signálu. Absolutní hodnota výsledné komplexní funkce představuje amplitudy odpovídajících frekvencí ( ), přičemž fázové posuvy jsou získány jako argument této komplexní funkce. $F$ $F$ $\omega$

Fourierovy transformace však nejsou omezeny na funkce času a časových frekvencí. Lze je použít jak pro analýzu prostorových frekvencí, tak pro téměř jakoukoli jinou funkci.

Důležité vzorce

Následující tabulka obsahuje seznam důležitých vzorců pro Fourierovu transformaci. a označují Fourierovy složky funkcí a , v tomto pořadí. a musí jít o integrovatelné funkce nebo zobecněné funkce . $F(\omega )$ $G(\omega )$ $f(t)$ $g(t)$ $F$ $G$

Poměry v této tabulce a zejména faktory, jako je , závisí na konvenci, která forma definice pro Fourierovu transformaci byla použita dříve (ačkoli obecně jsou poměry samozřejmě správné). ${\sqrt {2\pi ))$

	Funkce	obraz	Poznámky
jeden	$af(t)+bg(t)$	$aF(\omega )+bG(\omega )$	Linearita
2	$f(ta)$	$e^{-i\omega a}F(\omega )$	Zpoždění
3	$e^{iat}f(t)$	$F(\omega-a)$	frekvenční posun
čtyři	$Tlustý)$	$\|a\|^{{-1}}F\left({\frac {\omega }{a}}\vpravo)$	Pokud je velký, pak je koncentrován blízko nule a stává se plochým $A$ $Tlustý)$ $\|a\|^{{-1}}F\left({\frac {\omega }{a}}\vpravo)$
5	${\displaystyle {\frac {d^{n}f(t)}{dt^{n))))$	$(i\omega )^{n}F(\omega )$	Vlastnost Fourierovy transformace t. derivace $n$
6	$t^{n}f(t)$	${\displaystyle i^{n}{\frac {d^{n}F(\omega )}{d\omega ^{n))))$	Toto je obrácení pravidla 5
7	$(f*g)(t)$	${\sqrt {2\pi }}F(\omega )G(\omega )$	Záznam znamená konvoluci a . Toto pravidlo je konvoluční teorém. $f*g$ $F$ $G$
osm	$f(t)g(t)$	${\displaystyle {\frac {(F*G)(\omega )}{\sqrt {2\pi ))))$	Toto odvolání 7
9	$\delta (t)$	${\frac {1}{{\sqrt {2\pi ))))$	$\delta (t)$ znamená funkci Dirac delta
deset	$jeden$	${\sqrt {2\pi }}\delta (\omega )$	Odvolání 9.
jedenáct	$t^{n}$	$i^{n}{\sqrt {2\pi }}\delta ^{(n)}(\omega )$	Zde je přirozené číslo , je zobecněná derivace Diracovy delta funkce. Důsledek pravidel 6 a 10. Použití spolu s pravidlem 1 vám umožňuje provádět transformace libovolných polynomů $n$ $\delta ^{{(n)}}(\omega )$ $n$
12	$e^{iat}$	${\sqrt {2\pi }}\delta (\omega -a)$	Důsledek 3 a 10
13	$\cos(at)$	${\sqrt {2\pi }}{\frac {\delta (\omega -a)+\delta (\omega +a)}{2}}$	Důsledek 1 a 12 pomocí Eulerova vzorce $\cos(at)={\frac {1}{2}}\left(e^{iat}+e^{-iat}\right)$
čtrnáct	$\sin(at)$	${\sqrt {2\pi }}{\frac {\delta (\omega -a)-\delta (\omega +a)}{2i}}$	Také od 1. a 12
patnáct	$\exp(-at^{2})$	${\frac {1}{\sqrt {2a}}}\exp \left({\frac {-\omega ^{2}}{4a}}\right)$	Označuje, že Gaussova funkce odpovídá jejímu obrazu $\exp(-t^{2}/2)$
16	$W{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\mathrm {sinc} (Wt)$	$\mathrm {rect} \left({\frac {\omega }{2W}}\right)$	Obdélníková funkce je ideální dolní propust a funkce sinc (x) je jejím časovým ekvivalentem
17	${\frac {1}{t))$	$-i{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\operatorname {sgn}(\omega )$	Zde je funkce sgn . Toto pravidlo je v souladu s 6 a 10 $\operatorname {sgn}(\omega )$
osmnáct	${\displaystyle {\frac {1}{t^{n))))$	$-i{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {(-i\omega )^{n-1}}{(n-1)!}}\jméno operátora {sgn }(\omega )$	Zobecnění 17
19	$\operatorname {sgn}(t)$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}(i\omega )^{-1}$	Odvolání 17
dvacet	${\sqrt {2\pi }}\theta (t)$	${\frac {1}{i\omega }}+\pi \delta (\omega )$	Zde je funkce Heaviside . Vyplývá z pravidel 1 a 19 $\theta (t)$

Viz také

Literatura

Zorich V. A. Matematická analýza. — M .: Fizmatlit , 1984. — 544 s.
Afonsky A. A., Dyakonov V. P. Digitální spektrální, signálové a logické analyzátory / Ed. prof. V. P. Dyakonova. - M. : SOLON-Press, 2009. - S. 248 . - ISBN 978-5-913-59049-7 .
Dyakonov V.P. MATLAB 6.5 SP1/7.0 + Simulink 5/6. Zpracování signálu a návrh filtrů. - M. : SOLON-Press, 2005. - S. 576. - ISBN 5-980-03206-1 .
Sergienko AB Digitální zpracování signálu. - 2. vyd. - Petrohrad. : Peter, 2006. - S. 751. - ISBN 5-469-00816-9 .
M. A. Pavleino, V. M. Romadanov. Spektrální transformace v MatLabu. - Petrohrad. , 2007. - S. 160. - ISBN 978-5-983-40121-1 .

Odkazy

Integral Transforms Archived 11. července 2007 na Wayback Machine EqWorld: The World of Mathematical Equations
Online výpočet transformace nebo inverzní transformace
"Fourierova transformace" archivována 4. července 2015 na Wayback Machine - Interaktivní průvodce Fourierovou transformací | BetterExplained Archivováno 4. července 2015 na Wayback Machine
Ronald N. Bracewell . Fourierova transformace. Scientific American. Ve světě vědy. č. 8, 1989, s. 48-56 Archivováno 24. května 2017 na Wayback Machine

Integrální transformace
Abelova transformace Bessel transformuje Bushman transformace Gegenbauerova transformace Hilbertova transformace Kontorovič-Lebeděvova transformace Laplaceova transformace Meyerova transformace Mehler-Fockova transformace Mellinova transformace Nerainova transformace Radonová transformace Stieltjes transformovat Fourierova transformace Hankelova transformace Hartleyho transformace

Kompresní metody

Teorie

Informace	Vlastní Vzájemné Entropie Podmíněná entropie Složitost Nadbytek
Jednotky	Bit Nat Okusovat Hartley Hartleyho vzorec

Bezztrátový

Entropická komprese	Asymetrické číselné soustavy Huffmanův algoritmus Adaptivní Huffmanův algoritmus Shannon-Fano algoritmus Shannonův algoritmus Aritmetické kódování ( interval ) Golombovy kódy Delta Univerzální kód Eliáš fibonacci
Slovníkové metody	RLE Vyfouknout LZ ( LZ77/LZ78 LZSS LZW LZWL LZO LZMA LZX LZRW LZJB LZT LZ4 Brotli zstandard )
jiný	RLE CTW BWT MTF PPM DMC

Zvuk

Teorie	Konvoluce PCM Aliasing Vzorkování Kotelnikovova věta
Metody	LPC LAR LSP WLPC CELP ACELP Zákon μ-zákon ADPCM MDCT Fourierova transformace Psychoakustický model
jiný	Audio kompresor Komprese řeči Pásmové kódování

snímky

Podmínky	barevný prostor Pixel Saturační podvzorkování Kompresní artefakty
Metody	RLE DPCM fraktál vlnka EZW SPIHT LP Přípravka PCL
jiný	Bitová rychlost Standardní testovací obrázek PSNR Kvantování

Video

Podmínky	Vlastnosti videa Rám Typy rámů Kvalita videa
Metody	Kompenzace pohybu Přípravka Kvantování vlnka
jiný	Video kodek Teorie zkreslení sazby CBR ABR VBR

Deriváty latinského písmene F, f
Písmena	Ḟḟ F̣f̣ Ƒƒ ᶂ Ff F̀f̀ F̄f̄ F̧f̧ ꜰ Ꞙꞙ ꟻ ꬵ Ⅎⅎ ʩ 𝼀 Ꝼꝼ
Symboly	ƒ ₣ ℉ ℱ 𝔽 🜅 𝄢 𝇑 𝆑 Ⓕⓕ ⒡

Slovníky a encyklopedie	velká čínština Britannica (online)
V bibliografických katalozích	BNF : 119793260 J9U : 987007548250405171 LCCN : sh85051094 NDL : 00562090 NKC : ph117565

↑ 2-19.1 // ISO 80000-2:2019 Veličiny a jednotky - Část 2: Matematika - 2 - ISO , 2019. - 36 s.