Vlastní vektor

Vlastní vektor je koncept v lineární algebře , definovaný pro libovolný lineární operátor jako nenulový vektor , jehož aplikace dává kolineární vektor - stejný vektor vynásobený nějakou skalární hodnotou (která se může rovnat 0) . Skalár, kterým je vlastní vektor násoben operátorem, se nazývá vlastní hodnota (nebo vlastní hodnota ) lineárního operátoru odpovídajícího danému vlastnímu vektoru. Jednou reprezentací lineárního operátoru je čtvercová matice , takže vlastní vektory a vlastní hodnoty jsou často definovány v kontextu používání takových matic [1] [2] .

Koncepty vlastního vektoru a vlastního čísla [3] jsou jedním z klíčových pojmů v lineární algebře, na jejich základě je postaveno mnoho konstrukcí. To je způsobeno skutečností, že mnoho vztahů spojených s lineárními operátory je výrazně zjednodušeno v souřadnicovém systému postaveném na základě vlastních vektorů operátoru. Množina vlastních hodnot lineárního operátoru (operátorové spektrum ) charakterizuje důležité vlastnosti operátoru bez vztahu k nějakému konkrétnímu souřadnicovému systému. Z těchto důvodů mají vlastní vektory velký praktický význam. Takže například vlastní vektory se často vyskytují v mechanice, kvantové teorii a tak dále. Konkrétně operátor promítání rotace na libovolné ose má dvě vlastní hodnoty a jejich odpovídající vlastní vektory.

Pojem lineárního vektorového prostoru se neomezuje na "čistě geometrické" vektory a zobecňuje na různé soubory objektů, jako jsou prostory funkcí (na které působí lineární diferenciální a integrální operátory). U takových prostorů a operátorů se hovoří o vlastních funkcích operátorů.

Množina všech vlastních vektorů lineárního operátoru odpovídajících danému vlastnímu číslu doplněná nulovým vektorem se nazývá vlastní podprostor [4] tohoto operátoru.

Hledání optimálních algoritmů pro výpočet vlastních hodnot pro daný lineární operátor je jedním z důležitých problémů výpočetní matematiky .

Definice

Vlastní vektor lineární transformace , kde je lineární prostor nad polem , je nenulový vektor , takový, že pro některé . $A\dvojtečka L\to L$ $L$ $K$ $x\v L$ $\lambda \v K$ $\ax=\lambda x$

Vlastní číslo ( eigenvalue ) lineární transformace je číslo , pro které existuje vlastní vektor, to znamená, že rovnice má nenulové řešení . $A$ $\lambda \v K$ $ax=\lambda x$ $x\v L$

Jednoduše řečeno, vlastní vektor je jakýkoli nenulový vektor , který je namapován na vektor kolineární k němu operátorem a odpovídající skalár se nazývá vlastní hodnota operátora . $X$ $\lambda x$ $A$ $\lambda$

Vlastní podprostor (nebo charakteristický podprostor ) lineární transformace pro dané vlastní číslo (nebo tomuto číslu odpovídající) je množina všech vlastních vektorů odpovídajících danému vlastnímu číslu doplněná nulovým vektorem. Označme vlastní podprostor odpovídající vlastní hodnotě , a operátor identity . Podle definice je správný podprostor jádro operátoru , tedy množina vektorů mapovaných tímto operátorem na nulový vektor: $A$ $\lambda \v K$ $x\v L$ $\lambda$ $E_{\lambda }$ $já$ $A-\lambda \cdot I,$

E_{\lambda }=\ker(A-\lambda \cdot I)

Kořenový vektor lineární transformace pro dané vlastní číslo je nenulový vektor takový, že pro nějaké přirozené číslo : $A$ $\lambda \v K$ $x\v L$ $m$

(A-\lambda \cdot I)^{m}x=0

Jestliže je nejmenší z těchto přirozených čísel (tj. ), pak se nazývá výška kořenového vektoru . $m$ $(A-\lambda \cdot I)^{m-1}x\neq 0$ $m$ $X$

Kořenový podprostor lineární transformace pro dané vlastní číslo je množina všech kořenových vektorů odpovídajících danému vlastnímu číslu, pokud je tato množina doplněna o nulový vektor. Označme kořenový podprostor odpovídající vlastnímu číslu λ . Podle definice: $A$ $\lambda \v K$ $x\v L$ $V_{\lambda }$

V_{\lambda }=\bigcup _{m=1}^{\infty }\ker(A-\lambda \cdot I)^{m}=\bigcup _{m=1}^{\infty }V_{m,\lambda }

Historie

Vlastní čísla jsou obvykle zaváděna v kontextu lineární algebry, nicméně historicky pocházejí ze studia kvadratických forem a diferenciálních rovnic .

V XVIII století Euler , který studoval rotační pohyb absolutně tuhého tělesa , objevil význam hlavních os a Lagrange ukázal, že hlavní osy odpovídají vlastním vektorům matice setrvačnosti . Na začátku 19. století použil Cauchy práci Eulera a Lagrange ke klasifikaci povrchů druhého řádu a zobecnění výsledků na vyšší řády. Cauchy také razil termín „charakteristický kořen“ ( francouzsky racine caractéristique ) pro vlastní hodnotu. Tento termín se zachoval v kontextu charakteristického polynomu matice [5] [6] .

Na začátku 20. století se Hilbert zabýval studiem vlastních čísel integrálních operátorů, které považoval za matice nekonečné velikosti [7] . V roce 1904 začal Hilbert používat termíny vlastní čísla a vlastní vektory k označení vlastních čísel a vlastních vektorů , založených na německém slově eigen ( vlastní ) [8] . Následně byly tyto termíny přeneseny i do anglického jazyka a nahradily dříve používané „proper value“ a „proper vector“ [9] .

Vlastnosti

Obecný případ

Podprostor se nazývá invariantní podprostor lineární transformace ( -invariantní podprostor ), pokud: $V\podmnožina L$ $A$ $A$

AV\subseteq V

Vlastní podprostory , kořenové podprostory a podprostory lineárního operátoru jsou -invariantní. $E_{\lambda }$ $V_{\lambda }$ $V_{m,\lambda }$ $A$ $A$

Vlastní vektory jsou kořenem (výšky 1): ; $E_{\lambda }\subseteq V_{\lambda }$

Kořenové vektory nemusí být vlastní vektory: například pro transformaci dvourozměrného prostoru daného maticí:

A={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}

(AE)^{2}=0

, a všechny vektory jsou kořenové, odpovídající vlastní hodnotě , ale mají jeden vlastní vektor (až do násobení číslem).

jeden

A

Pro různá vlastní čísla mají kořenové (a tedy i vlastní čísla) podprostory triviální (nulový) průsečík:

V_{\lambda }\bigcap V_{\mu }=\{0\}

pokud .

\lambda \neq \mu

Metoda hledání vlastních čísel pro samoadjungované operátory a hledání singulárních hodnot pro normální operátor je dána Courant-Fisherovou větou .

Konecnorozměrné lineární prostory

Výběrem báze v dimenzionálním lineárním prostoru lze spojit čtvercovou matici s lineární transformací a určit pro ni charakteristický polynom matice : $n$ $L$ $A\dvojtečka L\to L$ $n\krát n$

{\displaystyle P_{A}(\lambda )=\det(A-\lambda \cdot I)=\sum \limits _{k=0}^{n}a_{k}\lambda ^{k))

Charakteristický polynom nezávisí na bázi v . Jeho koeficienty jsou operátorové invarianty . Zejména, nezávisí na výběru základu. $L$ $A$ $a_{0}=\det \,A$ $a_{n-1}=\jméno operátora {tr} \,A$

Vlastní čísla, a pouze oni, jsou kořeny charakteristického polynomu matice. Počet odlišných vlastních hodnot nemůže přesáhnout velikost matice. Pokud jako základní vektory vybereme vlastní vektory operátoru, pak se matice v takové bázi stane diagonální a vlastní hodnoty operátoru budou na diagonále. Všimněte si však, že ne každá matice připouští bázi vlastních vektorů (obecná struktura je popsána normální Jordanovou formou ). Pro pozitivně definitní symetrickou matici není postup hledání vlastních čísel a vlastních vektorů ničím jiným než hledáním směrů a délek poloos příslušné elipsy . $A$ $A$

Pokud je číselné pole algebraicky uzavřené (například je pole komplexních čísel ), pak se charakteristický polynom rozloží na součin lineárních faktorů: $n$

P_{A}(\lambda )=(-1)^{n}\prod _{i=1}^{n}(\lambda -\lambda _{i})

kde jsou vlastní čísla; některé z nich si mohou být rovny. Multiplicita vlastního čísla je počet faktorů, které jsou stejné při expanzi charakteristického polynomu na lineární faktory (nazývané také algebraická násobnost vlastního čísla ). $\lambda _{i}\;(i=1,\ldots ,n)$ $\lambda _{i}$ $\lambda _{i}$ $\lambda -\lambda _{i},$

Dimenze kořenového prostoru se rovná násobku vlastního čísla. $V_{\lambda _{i}}$

Vektorový prostor se rozkládá na přímý součet kořenových podprostorů (podle Jordanovy věty o tvaru ): $L$

L=\bigoplus _{\lambda _{i}}V_{\lambda _{i}}

kde součet je nad všemi vlastními hodnotami .

\lambda _{i}

A

Geometrická násobnost vlastního čísla je dimenzí odpovídajícího vlastního podprostoru ; geometrická násobnost vlastního čísla nepřesahuje jeho násobnost, protože $\lambda _{i}$ $E_{\lambda _{i}}$ $E_{\lambda _{i}}\subseteq V_{\lambda _{i}}$

Normální operátory a jejich podtřídy

Všechny kořenové vektory normálního operátoru jsou vlastní vektory. Vlastní vektory normálního operátoru odpovídající různým vlastním číslům jsou ortogonální, tedy if , a , then (to neplatí pro libovolný operátor). $A$ $ax=\lambda x$ $Ay=\mu y$ $\lambda \neq \mu$ $(x,y)=0$

Všechna vlastní čísla samoadjungovaného operátoru jsou skutečná, antihermitovského operátora jsou imaginární a všechna vlastní čísla unitárního operátoru leží na jednotkové kružnici . $|\lambda |=1$

V případě konečných rozměrů je součet rozměrů vlastních podprostorů normálního operátora odpovídající všem vlastním číslům roven rozměru matice a vektorový prostor se rozkládá na ortogonální součet vlastních podprostorů: ${\displaystyle A\colon \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{n))$

L=\bigoplus _{\lambda _{i}}E_{\lambda _{i}}

kde sumace je přes všechna vlastní čísla a jsou vzájemně ortogonální pro různé . Tato vlastnost pro normálního operátora přes v konečně-dimenzionálním případě je charakteristická: operátor je normální právě tehdy, když má jeho matice diagonální tvar v nějaké ortonormální bázi . $\lambda _{i}$ $A$ $E_{\lambda _{i}}$ $\lambda _{i}$ $\mathbb {C}$

Pozitivní matice

Čtvercová skutečná matice se nazývá kladná, pokud jsou všechny její prvky kladné: . $n\krát n$ $A=(a_{{ij}})$ $a_{ij}>0$

Perronova věta (speciální případ Perron-Frobeniovy věty ): Kladná čtvercová matice má kladnou vlastní hodnotu , která má algebraickou násobnost 1 a přísně překračuje absolutní hodnotu jakékoli jiné vlastní hodnoty této matice. Vlastní hodnota odpovídá vlastnímu vektoru , jehož všechny souřadnice jsou přísně kladné. Vektor je jediný vlastní vektor (až do vynásobení číslem), který má nezáporné souřadnice. $A$ $r$ $r$ $e_{r}$ $e_{r}$ $A$

Vlastní vektor lze vypočítat pomocí přímých iterací : zvolí se libovolný počáteční vektor s kladnými souřadnicemi, následný prvek je dán rekurzivním vzorcem: $e_{r}$ $v_{0}$

v_{k+1}={\frac {Av_{k}}{\|Av_{k}\|}}

je získána sekvence , která konverguje k normalizovanému vlastnímu vektoru . $v_{{k}}$ $e_{r}/\|e_{r}\|$

Další oblastí použití metody přímé iterace je hledání vlastních vektorů pozitivně určitých symetrických operátorů.

Nerovnice vlastních čísel

Schurova nerovnost : pro vlastní čísla matice : ${\displaystyle \lambda _{1},\tečky ,\lambda _{n))$ $A=(a_{ij})_{i,j=1,\ldots ,n}$

\sum _{i=1}^{n}|\lambda _{i}|^{2}\leqslant \sum _{i,j=1}^{n}|a_{ij}|^ {2}=\|A\|_{F}^{2}

navíc rovnosti je dosaženo právě tehdy, když je normální matice [10] . $A$

Pro vlastní čísla matice , kde jsou matice hermitovské , máme: $\lambda _{1},...,\lambda _{n}$ $A=B+iC$ $PŘED NAŠÍM LETOPOČTEM$

\sum _{i=1}^{n}|\Re \lambda _{i}|^{2}\leqslant \sum _{i,j=1}^{n}|b_{ij} |^{2}

a [11] .

\sum _{i=1}^{n}|\Im \lambda _{i}|^{2}\leqslant \sum _{i,j=1}^{n}|c_{ij} |^{2}

Pro hermitovské matice a jejich vlastní čísla, uspořádané vzestupně: dejte: v a v [11] . $A,B$ $C=A+B$ $\alpha _{1}\leqslant ...\leqslant \alpha _{n},\beta _{1}\leqslant ...\leqslant \beta _{n},\gamma _{1}\leqslant .. .\leqslant \gamma _{n}$ $\gamma _{i}\geqslant \alpha _{i}+\beta _{i-j+1}$ $i\geqslant j$ $\gamma _{i}\leqslant \alpha _{i}+\beta _{i-j+n}$ $i\leqslant j$

Poznámky

↑ Herstein (1964 , s. 228 229)
↑ Nering (1970 , s. 38)
↑ Někdy se používají synonyma: charakteristický vektor a charakteristické číslo operátoru.
↑ Nezaměňovat se správným podprostorem lineárního vektorového prostoru - jakýkoli podprostor jiný než triviální podprostory , tedy z tohoto prostoru samotného az nulového prostoru.
↑ Kline, 1972 , pp. 807–808.
↑ Augustin Cauchy (1839) „Mémoire sur l'intégration des équations linéaires“ (Memoár o integraci lineárních rovnic), Comptes rendus , 8 : 827-830, 845-865, 889-907, 931-931 p. 827: Archived 7 June 2019 on Wayback Machine "On sait d'ailleurs qu'en suivant la méthode de Lagrange, on obtient pour valeur générale de la variable prinicipale une fonction dans laquelle entrent avec la variable principale les" que j'appellerai l'equation caractéristique , le degré de cette équation étant précisément l'order de l'équation différentielle qu'il s'agit d'intégrer."
↑ Kline, 1972 , str. 1063.
↑ David Hilbert (1904). Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen. (Erste Mitteilung)" Archivováno 5. listopadu 2018 na Wayback Machine , Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse , pp. 49-91.
↑ Aldrich, John (2006), „Vlastní hodnota, vlastní funkce, vlastní vektor a související termíny“, v Jeff Miller (ed.), Nejstarší známá použití některých slov z matematiky archivovaná 23. prosince 2017 na Wayback Machine
↑ Problémy a věty lineární algebry, 1996 , str. 206.
↑ 1 2 Úlohy a věty lineární algebry, 1996 , str. 207.

Literatura

Gantmakher F. R. Teorie matic. —M.: Nauka, 1966. — 576 s. — ISBNISBN 5-9221-0524-8.
Wilkinson D. H. Problém algebraických vlastních čísel. — M .: Nauka, 1970. — 564 s. — ISBN 978-5-458-25464-9 .
Gelfand I. M. Přednášky z lineární algebry. -M.: Dobrosvet, KDU, 2009. - 320 s. -1000 výtisků. -ISBN 978-5-98227-625-4.
Faddeev D.K. Přednášky z algebry. -M.: YOYO Media, 2012. - 416 s. -ISBN 978-5-458-25543-1.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineární algebra a geometrie. -M.: Fizmatlit, 2009. - 512 s. -ISBN 978-5-9221-1139-3.
Prasolov VV Úlohy a věty lineární algebry. — M .: Nauka, 1996. — 304 s. - ISBN 5-02-014727-3 .
Ikramov Kh. D. Asymetrický problém vlastních čísel. — M .: Nauka, 1991. — 240 s. — ISBN 5-02-014462-2 .
Herstein, IN (1964), Topics In Algebra , Waltham: Blaisdell Publishing Company , ISBN 978-1114541016
Horn, Roger A. & Johnson, Charles F. (1985), Maticová analýza , Cambridge University Press, ISBN 0-521-30586-1
Nering, Evar D. (1970), Lineární algebra a teorie matic (2. vydání), New York: Wiley
Kline, Morris (1972), Matematické myšlení od starověku po moderní dobu , Oxford University Press, ISBN 0-19-501496-0

Vektory a matice

vektory

Základní pojmy	Vektor v geometrii Základ Ortogonální základ Vektorové souřadnice Kolinearita Ortogonalita Lineární závislost Prostor sloupců
Druhy vektorů	Jednotkový vektor Axiální vektor izotropní vektor Normální Kolinearita Nulový vektor Vektor poloměru Vlastní vektor
Operace s vektory	Skalární součin vektorový produkt smíšený produkt Pseudoskalární produkt Dvojitý křížový produkt
Typy prostoru	vektorový prostor afinní prostor Euklidovský prostor Pseudoeuklidovský prostor Normovaný prostor Minkowského prostor

matrice

Základní pojmy	Maticové násobení Transponovaná matice Hermitovská konjugovaná matice Symetrická matice inverzní matice Vlastní hodnota Charakteristický polynom matice
Speciální matrice	Matice identity Nulová matice Diagonální matice lambda matrice
Maticové rozklady	LU rozklad Choleský rozklad QR rozklad rozklad LUP singulární rozklad hodnoty Spektrální rozklad matice

jiný