Sine-Gordonova rovnice

Sinus - Gordonova rovnice je nelineární hyperbolická parciální diferenciální rovnice v rozměrech 1 + 1, včetně d'Alembertova operátoru a sinusu neznámé funkce. Zpočátku se o něm uvažovalo v 19. století v souvislosti se studiem ploch s konstantní negativní křivostí . Tato rovnice získala velkou pozornost v 70. letech 20. století díky svým solitonovým řešením.

Původ rovnice a její název

Existují dvě ekvivalentní formy sine-Gordonovy rovnice. V ( reálných ) časoprostorových souřadnicích, označovaných ( x , t ), rovnice zní

\varphi _{tt}-\varphi _{xx}+\sin \varphi =0.

Při přechodu na souřadnice světelného kužele ( u , v ) blízké asymptotickým souřadnicím , kde

u={\frac {x+t}{2)),\quad v={\frac {xt}{2)),

rovnice se stává

\varphi _{uv}=\sin \varphi .

Toto je původní podoba sinusové-Gordonovy rovnice, ve které se o ní uvažovalo v 19. století v souvislosti se studiem povrchů konstantní Gaussovy křivosti K = −1, nazývaných také pseudosféry . Zvolíme souřadnicový systém, ve kterém je souřadnicová síť u = const, v = const dána asymptotickými čarami parametrizovanými délkou oblouku. První kvadratická forma daného povrchu v takových souřadnicích má speciální tvar:

ds^{2}=du^{2}+2\cos \varphi \,du\,dv+dv^{2},

kde φ je úhel mezi asymptotickými čarami a pro druhou kvadratickou formu L = N = 0. Potom Petersonova-Codazziho rovnice , odrážející podmínku kompatibility mezi první a druhou kvadratickou formou, vede k sinusové-Gordonově rovnici. Studium této rovnice a odpovídajících pseudosférických transformací v 19. století Bianchi a Bäcklund vedlo k objevu Bäcklundových transformací .

Název „sinus-Gordonova rovnice“ je slovní hříčkou známé Klein-Gordonovy rovnice ve fyzice :

\varphi _{tt}-\varphi _{xx}+\varphi =0.

Sinusová-Gordonova rovnice je Euler-Lagrangeova rovnice pro Lagrangian

{\mathcal {L}}_{\text{sine-Gordon}}(\varphi ):={\frac {1}{2}}(\varphi _{t}^{2}-\varphi _{x}^{2})-1+\cos \varphi .

Použití Taylorovy řady expanze kosinusu

\cos(\varphi )=\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {(-\varphi ^{2})^{n}}{(2n)!}}

v daném lagrangiánu to lze napsat jako Klein-Gordon Lagrangian plus výrazy vyššího řádu

{\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{\text{sine-Gordon}}(\varphi )&={\frac {1}{2}}(\varphi _{t}^ {2}-\varphi _{x}^{2})-{\frac {\varphi ^{2}}{2}}+\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {( -\varphi ^{2})^{n}}{(2n)!}}=\\&=2{\mathcal {L}}_{\text{Klein–Gordon}}(\varphi )+\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-\varphi ^{2})^{n}}{(2n)!}}.\end{aligned}}

Solitons

Zajímavou vlastností sine-Gordonovy rovnice je existence solitonových a multisolonových řešení.

Jednosolonové řešení

Sinusová-Gordonova rovnice má následující řešení s jedním solitonem:

\varphi _{\text{soliton}}(x,t):=4\arctan e^{m\gamma (x-vt)+\delta },

kde

\gamma ^{2}={\frac {1}{1-v^{2}}}.

Řešení s jedním solitonem, pro které jsme zvolili kladnou odmocninu pro , se nazývá kink a představuje smyčku nad proměnnou , která převádí jedno řešení na sousední . Stavy jsou známé jako stavy vakua , protože se jedná o řešení s konstantní nulovou energií. Řešení s jedním solitonem, pro které jsme zakořenili záporně, se nazývá antikink . Podobu jednosolitonových řešení lze získat aplikací Bäcklundovy transformace na triviální (konstantní vakuum) řešení a integrací výsledných diferenciálních rovnic prvního řádu: $\gamma$ $\varphi$ $\varphi=0$ $\varphi=2\pi$ $\varphi =0{\pmod {2\pi ))$ $\gamma$

\varphi '_{u}=\varphi _{u}+2\beta \sin {\frac {\varphi '+\varphi }{2)),

\varphi '_{v}=-\varphi _{v}+{\frac {2}{\beta }}\sin {\frac {\varphi '-\varphi }{2)),\quad \varphi =\varphi _{0}=0.

Jednosolonová řešení lze vizualizovat pomocí sine-gordonového elastického modelu [1] . Vezměme pravotočivou ( levotočivou ) cívku pružného pásku jako zlom s topologickým nábojem . Alternativní otočení proti směru hodinových ručiček ( pravotočivé ) s topologickým nábojem by bylo antikink. $\vartheta _{\textrm {K}}=-1$ $\vartheta _{\textrm {AK}}=+1$

Dvousolonová řešení

Řešení s více solitony lze získat kontinuálním aplikováním Bäcklundovy transformace na řešení s jedním solitonem, jak předepisuje Bianchiho mřížka odpovídající výsledkům transformace [2] . 2-solonová řešení sine-Gordonovy rovnice vykazují některé charakteristické vlastnosti solitonů. Cestující sine-Gordonovy zlomy a/nebo antikinky procházejí navzájem jako zcela propustné a jediným pozorovaným efektem je fázový posun . Protože srážející se solitony si zachovávají svou rychlost a tvar , tento druh interakce se nazývá elastická srážka .

Další zajímavá dvousolitová řešení vyvstávají z možnosti spojeného chování proti zalomení a zalomení známého jako odvzdušňovač . Jsou známy tři typy odvzdušňovačů: stojatý oddech , běžící odvzdušňovač s vysokou amplitudou a běžící oddechovač s nízkou amplitudou [3] .

Třísolonová řešení

Třísamotové srážky mezi pohyblivým zlomem a stojatým odvzdušňovačem nebo pohybujícím se antikinkem a stojatým odvzdušňovačem mají za následek fázový posun stojacího odvzdušňovače. Při srážce mezi pohybujícím se zlomem a stojícím oddechem je posun druhého dán vztahem $\Delta _{\textrm {B}}$

\Delta _{B}={\frac {2\operatorname {arctanh} {\sqrt {(1-\omega ^{2})(1-v_{\text{K))^{2}) ))}{\sqrt {1-\omega ^{2))))),

kde je rychlost zalomení a je frekvence oddechu [3] . Pokud je souřadnice stojícího oddechu před srážkou , pak se po srážce stane . $v_{{\text{K}}}$ $\omega$ $x_{0}$ $x_{0}+\Delta _{{\text{B}}}$

Související rovnice

Shinus-Gordonova rovnice :

\varphi _{xx}-\varphi _{tt}=\sinh \varphi .

Toto jsou Euler-Lagrangeovy rovnice pro Lagrangian

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\varphi _{t}^{2}-\varphi _{x}^{2})-\cosh \varphi .

Další úzce související s rovnicí sinus-Gordon je eliptická rovnice sinus-Gordon :

\varphi _{xx}+\varphi _{yy}=\sin \varphi ,

kde je funkce proměnných x a y . Toto již není solitonová rovnice, ale má mnoho podobných vlastností, protože je příbuzná sinusové-Gordonově rovnici analytickým pokračováním (nebo Wickovou rotací ) y = it . $\varphi$

Eliptická shinus-Gordonova rovnice může být definována podobným způsobem. Zobecnění je dáno teorií pole Toda .

Kvantová verze

V kvantové teorii pole obsahuje sine-Gordonův model parametr, který lze identifikovat s Planckovou konstantou. Spektrum částic se skládá ze solitonu, antisolitonu a konečného (možná nulového) počtu odvzdušňovačů. Počet odvzdušňovačů závisí na tomto parametru. Vícenásobné zrození částic se na pohybových rovnicích ruší.

Semiklasickou kvantizaci sine-Gordonova modelu provedli Ludwig Faddeev a Vladimir Korepin [4] . Přesnou kvantovou rozptylovou matici objevili Alexander a Alexei Zamolodchikov [5] . Tento model je s - duální k modelu Thirring .

V konečném objemu a na paprsek

Zvažte také sinusový-Gordonův model na kružnici, úsečce nebo paprsku. Je možné zvolit okrajové podmínky, které zachovají integrovatelnost daného modelu. Na svazku obsahuje spektrum částic kromě solitonů a průduchů i okrajové stavy .

Supersymetrický sine-Gordonův model

Existuje také supersymetrický analog sine-Gordonova modelu. Se stejným úspěchem pro něj lze nalézt okrajové podmínky zachovávající integrovatelnost.

Poznámky

↑ Dodd RK, Eilbeck JC, Gibbon JD, Morris HC Solitons a nelineární vlnové rovnice . Academic Press, Londýn, 1982.
↑ Rogers C., Schief W. K. Bäcklund a Darbouxovy transformace . New York: Cambridge University Press, 2002.
↑ 1 2 Miroshnichenko A., Vasiliev A., Dmitriev S. Solitons and Soliton Collisions Archivováno 22. srpna 2010 na Wayback Machine .
↑ Faddeev L. D., Korepin V. E. Quantum theory of solitons (anglicky) // Physics Reports. - 1978. - Sv. 42 , iss. 1 . - str. 1-87 . - doi : 10.1016/0370-1573(78)90058-3 .
↑ Zamolodchikov A. B., Zamolodchikov A. B. Faktorizované S -matice ve dvou dimenzích jako přesná řešení určitých relativistických modelů kvantové teorie pole // Annals of Physics. — 1979-08-01. — Sv. 120 , iss. 2 . - str. 253-291 . - doi : 10.1016/0003-4916(79)90391-9 .

Odkazy

Polyanin AD, Zaitsev VF Příručka nelineárních parciálních diferenciálních rovnic . Chapman & Hall / CRC Press, Boca Raton, 2004.
Rajaraman R. Solitons a instantons . Osobní knihovna Severního Holandska, 1989.