Cauchy-Riemannovy podmínky

Cauchy-Riemannovy podmínky , nazývané také d'Alembert-Eulerovy podmínky , jsou vztahy spojující skutečné a imaginární části libovolné diferencovatelné funkce komplexní proměnné . $u=u(x,y)$ $v=v(x,y)$ $w=f(z)=u+iv,\ z=x+iy$

Formulace

V kartézských souřadnicích

Aby funkce definovaná v nějaké oblasti komplexní roviny byla v bodě diferencovatelná jako funkce komplexní proměnné , je nutné a postačující , aby její reálné a imaginární části a byly diferencovatelné v bodě jako funkce reálných proměnných a a že navíc v tomto bodě byly splněny Cauchy-Riemannovy podmínky: $w=f(z)$ $D$ ${\displaystyle z_{0}=x_{0}+iy_{0))$ $z$ $u$ $proti$ $(x_{0}, y_{0})$ $X$ $y$

{\frac {\částečné u}{\částečné x))={\frac {\částečné v}{\částečné y));

{\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}.

Kompaktní zápis:

{\frac {\partial f}{\partial x}}+i{\frac {\partial f}{\partial y}}=0,

nebo

{\frac {\částečné f}{\částečné x))={\frac {1}{i)){\frac {\částečné f}{\částečné y)).

Jsou-li splněny Cauchy-Riemannovy podmínky, může být derivát reprezentován v kterékoli z následujících forem: $f'(z)$

{\begin{aligned}f'(z)&={\frac {\partial u}{\partial x))+i{\frac {\partial v}{\partial x))={\frac {\partial v}{\partial y}}-i{\frac {\partial u}{\partial y}}={\frac {\partial u}{\partial x}}-i{\frac {\partial u}{\částečné y))={\frac {\částečné v}{\částečné y))+i{\frac {\částečné v}{\částečné x))=\\&={\frac {\částečné f}{\partial x}}={\frac {1}{i}}{\frac {\partial f}{\partial y}}.\\\end{aligned}}

Důkaz

1. Nezbytnost

Podle hypotézy věty existuje limita

f'(z_{0})=\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}},

nezávisle na způsobu směřování k nule. $\Deltaz$

Skutečný přírůstek. Nastavme a zvažte výraz $\Delta z=\Delta x$

\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z))=\lim \limits _ {\Delta x\to 0}{\frac {f(z_{0}+\Delta x)-f(z_{0})}{\Delta x)).

Existence komplexní limity je ekvivalentní existenci stejné limity v libovolném směru včetně Proto v bodě z 0 existuje parciální derivace funkce f ( z ) vzhledem k x a vzorec probíhá

\lim _{\Delta z\to 0}{\tfrac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z))

\lim _{\Delta x\to 0}{\tfrac {f(z_{0}+\Delta x)-f(z_{0})}{\Delta x)).

\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z))={\frac {\ částečné f(z_{0})}{\částečné x_{0}}}.

Čistě imaginární přírůstek. Za předpokladu, že najdeme $\Delta z=i\Delta y$

\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z))=\lim \limits _ {\Delta y\to 0}{\frac {f(z_{0}+i\Delta y)-f(z_{0})}{i\Delta y))={\frac {1}{i} }{\frac {\částečné f(z_{0})}{\částečné y_{0))}.

To znamená, že pokud je funkce diferencovatelná, pak jsou derivace funkcí vzhledem k x a vzhledem k y úplně stejné, to znamená, že nutnost Cauchy-Riemannových podmínek byla prokázána.

2. Dostatečnost

Jinými slovy, je třeba dokázat v opačném směru – že pokud jsou derivace funkce vzhledem k x a vzhledem k y skutečně stejné, pak se funkce ukáže být diferencovatelná obecně v libovolném směru.

Přírůstek funkce

Podle definice diferencovatelnosti lze přírůstek funkce v okolí bodu zapsat jako $f(z)$ $z_{0}$

f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})={\frac {\částečné f(z_{0})}{\částečné x_{0))}\Delta x+{ \frac {\částečné f(z_{0})}{\částečné y_{0))}\Delta y+\xi (x,y),

kde funkce s komplexní hodnotou slouží jako "podřízený" člen a má tendenci k nule rychleji než a tj. $\xi (x,y)$ $(x,y)\rightarrow (x_{0},y_{0})$ $\Delta x$ $\Delta y,$

\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {\xi (x,y)}{\Delta z))=\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {\xi (x_{0}+\Delta x,y_{0}+\Delta y)}{\Delta z))=0.

Nyní sestavme diferenční relaci a transformujme ji do tvaru ${\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z))$

{\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z))={\frac ({\frac {\partial f(z_{0}) )}{\částečné x_{0}}}\Delta x+{\frac {1}{i}}{\frac {\částečné f(z_{0})}{\částečné y_{0}}}(i\ Delta y)+\xi (x,y)}{\Delta z)).

Podmínka diferencovatelnosti

Nyní, abychom dokázali dostatečnost Cauchy-Riemannových podmínek, je dosadíme do diferenčního vztahu a získáme následující:

{\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z))={\frac ({\frac {\partial f(z_{0}) )}{\částečné x_{0))}\Delta x+{\frac {\částečné f(z_{0})}{\částečné x_{0))}(i\Delta y)+\xi (x,y )}{\Delta z))={\frac {\částečné f(z_{0})}{\částečné x_{0))}+{\frac {\xi (x,y)}{\Delta z} }.

Všimněte si, že jak má tendenci k nule, poslední člen tohoto vzorce má tendenci k nule, zatímco první zůstává nezměněn. Limita je tedy stejná v jakémkoli směru přírůstku a nejen podél reálné a imaginární osy, což znamená, že tato limita existuje, což dokazuje dostatečnost. $\Deltaz$ ${\tfrac {\partial f(z_{0})}{\partial z_{0))}=\lim _{\underset {\Delta z\in \mathbb {C} }{\Delta z\ na 0}}{\tfrac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}}=f'(z_{0})$ $\Delta z,$

V polárních souřadnicích

V polárním souřadnicovém systému vypadají Cauchy-Riemannovy podmínky takto: $(r,\varphi )$

{\frac {\partial u}{\partial r))={\frac {1}{r)){\frac {\partial v}{\partial \varphi ));\quad {\frac {\partial u }{\částečné \varphi }}=-r{\frac {\částečné v}{\částečné r}}.

Kompaktní zápis:

{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {i}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}=0.

Výstup Polar Record

Původní funkci reprezentujeme ve formuláři

f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y).

Vyjádření kartézských souřadnic v polárních podmínkách

\left\{{\begin{matrix}x=r\cos \varphi ;\\y=r\sin \varphi .\end{matrix}}\right.

Napišme derivaci funkce $u(x,y)$

\left\{{\begin{matrix}{\frac {\partial u}{\partial r))={\frac {\partial u}{\partial x)){\frac {\partial x} {\částečné r))+{\frac {\částečné u}{\částečné y)){\frac {\částečné y}{\částečné r))=\cos \varphi {\frac {\částečné u}{\ částečné x))+\sin \varphi {\frac {\částečné u}{\částečné y));\\{\frac {\částečné u}{\částečné \varphi ))={\frac {\částečné u} {\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial \varphi }}+{\frac {\partial u}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial \varphi } }=-r\sin \varphi {\frac {\částečné u}{\částečné x))+r\cos \varphi {\frac {\částečné u}{\částečné y)).\end{matice))\ že jo.

podobně vypočítáme derivace funkce $v(x,y)$

\left\{{\begin{matrix}{\frac {\partial v}{\partial r))={\frac {\partial v}{\partial x)){\frac {\partial x} {\částečné r))+{\frac {\částečné v}{\částečné y)){\frac {\částečné y}{\částečné r))=\cos \varphi {\frac {\částečné v}{\ částečné x))+\sin \varphi {\frac {\částečné v}{\částečné y));\\{\frac {\částečné v}{\částečné \varphi ))={\frac {\částečné v} {\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial \varphi }}+{\frac {\partial v}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial \varphi } }=-r\sin \varphi {\frac {\částečné v}{\částečné x))+r\cos \varphi {\frac {\částečné v}{\částečné y)).\end{matice))\ že jo.

Přeskupte se a množte se

\left\{{\begin{matrix}{\frac {\partial u}{\partial r))=\cos \varphi {\frac {\partial u}{\partial x))+\sin \ varphi {\frac {\částečné u}{\částečné y));\\{\frac {1}{r)){\frac {\částečné v}{\částečné \varphi ))=\cos \varphi {\ frac {\částečné v}{\částečné y))-\sin \varphi {\frac {\částečné v}{\částečné x));\end{matice))\vpravo.

\left\{{\begin{matrix}{\frac {\partial u}{\partial \varphi }}=-r\sin \varphi {\frac {\partial u}{\partial x}}+ r\cos \varphi {\frac {\částečné u}{\částečné y));\\-r{\frac {\částečné v}{\částečné r))=-r\cos \varphi {\frac {\ částečné v}{\částečné x}}-r\sin \varphi {\frac {\částečné v}{\částečné y}}.\end{matrix}}\right.

Pomocí Cauchy-Riemannových podmínek v kartézských souřadnicích
získáme rovnost odpovídajících výrazů, což vede k výsledku

{\frac {\partial u}{\partial r))={\frac {1}{r)){\frac {\partial v}{\partial \varphi ));\quad {\frac {\partial u }{\částečné \varphi }}=-r{\frac {\částečné v}{\částečné r}}.

Vztah mezi modulem a argumentem diferencovatelné komplexní funkce

Často je vhodné napsat komplexní funkci v exponenciální formě:

f(z)=R(x,y)e^{i\Phi (x,y)}.

Poté Cauchy-Riemannovy podmínky propojí modul a argument funkce následovně: $R$ $\Phi$

{\frac {\partial R}{\partial x))=R{\frac {\partial \Phi }{\partial y));\quad {\frac {\partial R}{\partial y} }=-R{\frac {\částečné \Phi }{\částečné x)).

A pokud jsou funkce a její argument vyjádřeny v polárním systému současně:

f(z)=R(r,\varphi )e^{i\Phi (r,\varphi )},

pak se záznam stane:

{\frac {\partial R}{\partial r))={\frac {R}{r)){\frac {\partial \Phi }{\partial \varphi ));\quad R{\ frac {\částečné \Phi }{\částečné r))=-{\frac {\částečné R}{r\částečné \varphi )).

Geometrický význam Cauchy-Riemannových podmínek

Nechť je funkce , kde je diferencovatelná. Uvažujme dvě rodiny křivek (úrovňové čáry) v komplexní rovině. $w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y),$ $z=x+iy,$ $(x, y)$

První rodina:

u(x,y)=konst.

Druhá rodina:

v(x,y)=konst.

Pak Cauchy-Riemannovy podmínky znamenají, že křivky první rodiny jsou ortogonální ke křivkám druhé rodiny.

Algebraický význam Cauchy-Riemannových podmínek

Pokud uvažujeme množinu komplexních čísel jako vektorový prostor nad , pak hodnota derivace funkce v bodě je lineární zobrazení z 2-rozměrného vektorového prostoru do sebe sama ( -linearita). Pokud to považujeme za jednorozměrný vektorový prostor nad , pak derivace v bodě bude také lineárním zobrazením jednorozměrného vektorového prostoru do sebe ( -linearita), což je v souřadnicích násobení komplexním číslem . Je zřejmé, že každá -lineární mapa je -lineární. Protože pole (jednorozměrný vektorový prostor) je izomorfní s polem reálných matic formy s obvyklými maticovými operacemi, Cauchy-Riemannovy podmínky kladené na prvky jakobiánské matice zobrazení v bodě (přesněji, zobrazení v bodě ) jsou -linearity podmínky , tj. . $\mathbb {C}$ $\mathbb {R}$ $f\colon {\mathbb {C}}\to {\mathbb {C}}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {C}$ $f'(z)$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ ${\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}}$ $F$ $z$ ${\displaystyle {\tilde {f}}\colon (x,y)\mapsto {\big (}u(x,y),v(x,y){\big )))$ $(x, y)$ $\mathbb {C}$ $f'(z)$ ${\tilda {f}}'(x,y)$

Historie

Tyto podmínky se poprvé objevily v díle d'Alemberta ( 1752 ). V Eulerově práci , hlášené Petrohradské akademii věd v roce 1777 , dostaly podmínky poprvé charakter obecného kritéria analytičnosti funkcí.

Cauchy použil tyto vztahy k vytvoření teorie funkcí, počínaje monografií předloženou pařížské akademii věd v roce 1814 . Riemannova slavná disertační práce o základech teorie funkcí pochází z roku 1851 .

Viz také

Komplexní analýza

Literatura

Evgrafov M. A. Analytické funkce. - 2. vyd., přepracováno. a doplňkové — M .: Nauka , 1968 . — 472 s.
Privalov II Úvod do teorie funkcí komplexní proměnné: Příručka pro vysokoškolské vzdělávání. - M. - L .: Státní nakladatelství, 1927 . — 316 s.
Sveshnikov A. G. , Tikhonov A. N. Teorie funkcí komplexní proměnné. — M .: Nauka, 1974 . — 320 s.
Titchmarsh E. Teorie funkcí: Per. z angličtiny. - 2. vyd., přepracováno. - M .: Nauka, 1980 . — 464 s.
Shabat BV Úvod do komplexní analýzy. — M .: Nauka, 1969 . — 577 s.
Cartan A. Diferenciální počet. diferenciální formy. — M .: Mir , 1971 . — 392 s.