Faktorový systém

Faktorový systém v univerzální algebře je objekt získaný rozdělením algebraického systému na kosety vztahem ekvivalence, který je stabilní vzhledem k jeho základním operacím, a proto je také algebraickým systémem. Faktorová algebra je faktorový systém získaný přes algebru (systém bez vztahů), faktorový model je faktorový systém nad modelem (systém bez operací).

Podílový systém je zobecněním algebraických faktorizací: podílová skupina , podílový kruh , podílová algebra jsou podílové systémy přes skupinu , kroužek , algebra přes pole , resp.

Definice

Pro algebraický systém , , a binární relaci , která je kongruencí nad , tj. stabilní vzhledem ke každé z hlavních operací - od vstupu do relace určité množiny následuje splnění - je faktorový systém konstruován jako algebraický systém s nosnou - faktor nastavený s ohledem na kongruenci , následující soubor operací: ${\mathfrak {A}}=\langle A,F,R\rangle$ $F=\langle f_{1}:A^{n_{1}}\do A,\tečky f_{i}:A^{n_{i}}\do A,\tečky \rangle$ $R=\langle r_{1}\subseteq A^{m_{1}},\tečky r_{i}\subseteq A^{m_{i}},\tečky \rangle$ $\sigma \subseteq A \times A$ $\mathfrak A$ $f_i \in F$ $\forall_{j\in 1\tečky{n_i}}(a_j, b_j) \in \sigma$ $(f(a_1, \dots a_{n_i}), f(b_1, \tečky b_{n_i})) \in \sigma$ $\mathfrak A / \sigma$ $A/\sigma$ $A$ $\sigma$

\langle f^\star_1: (A/\sigma)^{n_1} \to A/\sigma, \dots f^\star_{n_i}: (A/\sigma)^{n_i} \to A/\sigma , \tečky \rangle

a následující soubor vztahů:

\langle r^\star_1 \subseteq (A/\sigma)^{m_1}, \dots r^\star_{m_i} \subseteq (A/\sigma)^{m_i}, \dots \rangle

kde znamená přechod na cosety s ohledem na kongruenci : $^\hvězda$ $\sigma$

f^\star ([a_1]_\sigma, \tečky [a_n]_\sigma) = [f(a_1, \tečky a_n)]_\sigma

pro operace a

r^\hvězda ([a_1]_\sigma, \tečky [a_m]_\sigma) \Šipka doleva \exists(b_1\in[a_1]_\sigma, \tečky b_m\in[a_m]_\sigma) r( b_1, \tečky b_m)

pro vztahy

(třída sousedství je množina všech prvků ekvivalentních vzhledem k : ). $[a]_\sigma$ $A$ $\sigma$ $\{ b \in A \mid (a,b) \in \sigma \}$

Faktorový systém je tedy stejného typu jako systém . Zásadní v definici je, že stabilita faktoringové relace je vyžadována pouze pro hlavní operace, nikoli však pro vztahy systému: pro operace je stabilita nezbytná pro jednoznačný přechod na kosety, zatímco přechod na kosety pro vztahy je zavedena definicí (existence alespoň jednoho prvku ve vztahu v každé z kosmnožin). $\mathfrak A / \sigma$ $\mathfrak A$

Vlastnosti

Přirozené zobrazení , které spojuje prvek s jeho kosetem s ohledem na kongruenci: je homomorfismus od do kvocientového systému [1] [2] . $\phi: A \to A/\sigma$ $\phi(a) = [a]_\sigma$ $\mathfrak A$ $\mathfrak A/\sigma$

Věta o homomorfismu říká, že pro jakýkoli homomorfismus a jeho shodu jádra je přirozené zobrazení (tj. ) homomorfismus. Pokud je homomorfismus silný , to znamená pro každý predikát z a jakoukoli sadu prvků , tvrzení implikuje existenci předobrazů takové, že , pak je izomorfismus . Množina všech faktorových systémů daného systému až do izomorfismu se tedy shoduje s množinou všech jeho silně homomorfních obrazů [3] . Pro algebry, které nemají vztahy v podpisu, je silný jakýkoli homomorfismus, tedy množina faktorových algeber dané algebry až po izomorfismus se shoduje s množinou jejích homomorfních obrazů. $\phi: \mathfrak A (A, F, R) \to \mathfrak A' (A', F', R')$ ${\displaystyle \sigma _{\phi }=\{(x,y)\in A\times A|\phi (x)=\phi (y)\))$ $\phi^\star: \mathfrak A/\sigma_\phi \to \mathfrak A'$ $\phi^\star([a]_\sigma) = \phi(a)$ $\phi$ $r'_k\in R'$ $a'_1,\tečky a'_n \in A'$ $(a'_1,\tečky a'_n) \v r'_k$ $a_1 \in \phi^{-1}a'_1, \tečky a_n \in \phi^{-1}a'_n$ $(a_1,\tečky a_n) \v r_k$ $\phi$

Poznámky

↑ Maltsev, 1970 , s. 61-62.
↑ Gretzer, 2008 , Lemma 2, str. 36.
↑ Maltsev, 1970 , Věta 1, str. 63-64.

Literatura

Artamonov V.A. Kapitola VI. Univerzální algebry // Obecná algebra / Ed. vyd. L. A. Skornyaková . - M .: Nauka , 1991. - T. 2. - S. 295-367. — 480 s. — (Referenční matematická knihovna). — 25 000 výtisků. — ISBN 5-9221-0400-4 .
Cohn P. Univerzální algebra. - M .: Mir , 1969. - 351 s.
Maltsev A.I. Algebraické systémy. — M .: Nauka , 1970. — 392 s. - 17 500 výtisků.
Gratzer, George. . Univerzální algebra. 2. vydání. - Springer , 2008. - 585 s. — ISBN 978-0-387-77486-2 .