Fermiho plyn (nebo Fermi - Diracův ideální plyn ) je plyn skládající se z částic, které splňují Fermi-Diracovy statistiky , mají nízkou hmotnost a vysokou koncentraci . Například elektrony v kovu . V první aproximaci můžeme předpokládat, že potenciál působící na elektrony v kovu má konstantní hodnotu a vzhledem k silnému stínění kladně nabitými ionty lze elektrostatické odpuzování mezi elektrony zanedbat . Potom lze elektrony kovu považovat za ideální Fermi-Diracův plyn - elektronový plyn .
Nejnižší energie klasického plynu (nebo Bose-Einsteinova plynu ) při je rovna . To znamená, že při nulové teplotě všechny částice klesnou do svého nejnižšího stavu a ztratí veškerou svou kinetickou energii . To však u plynu Fermi není možné. Pauliho vylučovací princip umožňuje, aby byla v jednom stavu pouze jedna Fermiho částice s polovičním celočíselným spinem .
Nejnižší energii částicového plynu lze získat umístěním jedné částice do každého kvantového stavu s nejnižší energií . Energie takového plynu se proto bude lišit od nuly.
Hodnota se snadno spočítá. Označme energií elektronu v nejvyšším kvantovém stavu, který je ještě naplněn na . Při nulové teplotě jsou všechny kvantové stavy s energií níže obsazeny a všechny kvantové stavy s energií nahoře jsou volné.
Proto musí existovat přesně stavy s energiemi menšími nebo rovnými . Tuto podmínku stačí najít . Vzhledem k tomu, že objem je mikroskopický, jsou translační stavy blízko sebe v prostoru hybnosti a můžeme nahradit sumaci přes translační kvantové stavy integrací přes klasický fázový prostor po dělení :
kde je počet vnitřních kvantových stavů, které odpovídají vnitřní energii . Číslo , pro elektrony se spinem 1/2. Integrováním posledního výrazu od do , hybnosti nejvyššího naplněného stavu energií a přirovnáním výsledku k , získáme s přihlédnutím k tomu , že :
nebo pro elektrony s :
Množství , nejvyšší energie naplněných hladin, se nazývá Fermiho energie .
Pro nenulové hodnoty parametru se hustota počtu elektronů v energetickém prostoru zjistí vynásobením kvantových hustot stavů
faktorem , který udává počet elektronů na kvantový stav:
kde množství je chemický potenciál při , a je chemický potenciál při dané teplotě.
Pokud tuto funkci integrujeme přes všechny hodnoty , můžeme ji definovat jako funkci teploty.
Porovnání výsledku, který se započítává do celkového počtu částic . To ukazuje, že for je funkcí parametrů a .
Energii lze zjistit ze vztahu:
odkud je vidět, že zde stojíme před problémem najít integrál typu:
ve kterém je funkce nějaká jednoduchá a spojitá funkce , například nebo , a
Je třeba poznamenat, že hodnota má u většiny kovů řádovou velikost od do K.
Přeskočíme-li poněkud těžkopádné matematické výpočty, získáme přibližnou hodnotu chemického potenciálu:
který vyjadřuje chemický potenciál z hlediska parametrů a .
Zde je třeba poznamenat, že tato závislost není příliš silná, například pro pokojové teploty je první přísada spíše malá hodnota - . Proto se v praxi při pokojové teplotě chemický potenciál prakticky shoduje s Fermiho potenciálem.
Termodynamické stavy látek | |||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Fázové stavy |
| ||||||||||||||||
Fázové přechody |
| ||||||||||||||||
Disperzní systémy | |||||||||||||||||
viz také |