Pauliho princip

Pauliho vylučovací princip ( Pauliho vylučovací princip nebo jednoduše vylučovací princip ) je kvantově mechanický princip, který říká, že dva nebo více identických fermionů (částice s polovičním celočíselným spinem ) nemůže být současně ve stejném kvantovém stavu v kvantovém systému . Tento princip formuloval rakouský fyzik Wolfgang Pauli v roce 1925 pro elektrony a poté jej v roce 1940 rozšířil na všechny fermiony ve své větě o spinové statistice [1] .

Pro případ elektronů v atomech to lze formulovat následovně: je nemožné, aby dva elektrony víceelektronového atomu měly stejné hodnoty čtyř kvantových čísel n , ( hlavní kvantové číslo ), l (orbitální kvantové číslo) , m (magnetické kvantové číslo) a ms ( kvantové číslo spinové projekce ). Pokud jsou například dva elektrony na stejném orbitalu , pak jejich hodnoty pro trojici kvantových čísel n, l, m  jsou stejné, takže hodnoty m s se musí lišit, a elektrony tedy musí mít opačné spinové projekce 1/2 a −1/ 2 (v jednotkách h).

Celočíselné spinové částice nebo bosony nepodléhají Pauliho vylučovacímu principu: libovolný počet identických bosonů může zaujímat stejný kvantový stav, jako je tomu například u fotonů laserového záření nebo atomů v Bose-Einsteinově kondenzátu .

Přesnější tvrzení se týká výměny dvou identických částic: celková (mnohočásticová) vlnová funkce je antisymetrická pro fermiony a symetrická pro bosony. To znamená, že pokud se zamění prostorové a spinové souřadnice dvou identických (identických) částic , pak celková vlnová funkce změní znaménko pro fermiony a nemění znaménko pro bosony.

Pokud by byly dva fermiony ve stejném stavu (například na stejném orbitalu atomu se stejným spinem), jejich přeskupení by nic nezměnilo a celková vlnová funkce by se nezměnila. Jediná možnost, aby totální vlnová funkce změnila znaménko, jak je požadováno pro fermiony, a zůstala nezměněna, je, pokud je rovna nule v celé oblasti definice, což znamená, že žádný takový stav neexistuje. Tato úvaha neplatí pro bosony, protože znaménko celkové vlnové funkce se nemění.

Pauliho princip lze formulovat následovně: v rámci jednoho kvantového systému může být v daném kvantovém stavu pouze jeden fermion a stav druhého se musí lišit alespoň o jedno kvantové číslo . Ve statistické fyzice je Pauliho princip někdy formulován jako počet obsazení : v systému identických částic popsaných antisymetrickou vlnovou funkcí mohou čísla obsazení nabývat pouze dvou hodnot . Neexistuje žádná klasická obdoba Pauliho principu [2] .

Přehled

Pauliho vylučovací princip popisuje chování všech fermionů (částice s "půlčíselným spinem "), zatímco bosony (částice s "celočíselným spinem") se řídí odlišnými principy. Fermiony zahrnují elementární částice , jako jsou kvarky , elektrony a neutrina . Navíc baryony, subatomární částice složené ze tří kvarků, jako jsou protony a neutrony , a některé atomy (např . helium-3 ) jsou fermiony, a proto také podléhají vylučovacímu principu. Atomy mohou mít různé celkové "spiny", které určují, zda se jedná o fermiony nebo bosony - například helium-3 má spin 1/2 a je tedy fermionem, na rozdíl od helia-4, které má spin 0 a je boson . [3] :123–125 Pauliho vylučovací princip je tedy základem mnoha vlastností každodenní hmoty, od její stability ve velkém měřítku až po chemické chování atomů .

"Půlceločíselný spin" znamená, že hodnota vlastního momentu hybnosti fermionů je (snížená Planckova konstanta) vynásobena půlčíselným číslem (1/2, 3/2, 5/2 atd.). V kvantové mechanice jsou fermiony popsány pomocí antisymetrických stavů . Naproti tomu částice celočíselného spinu mají symetrické vlnové funkce; na rozdíl od fermionů mohou mít stejná kvantová čísla. Mezi bosony patří foton , Cooperovy páry odpovědné za supravodivost a bosony W a Z. (Fermiony získaly své jméno podle statistického Fermi-Diracova rozdělení , které dodržují, zatímco bosony získaly svůj název podle Bose-Einsteinova rozdělení .)

Historie

Na počátku 20. století se ukázalo, že atomy a molekuly se sudým počtem elektronů jsou chemicky stabilnější než ty s lichým počtem elektronů. Například v článku Gilberta N. Lewise „The Atom and the Molecule“ z roku 1916 třetí z jeho šesti postulátů o chemickém chování uvádí, že atom má tendenci držet sudý počet elektronů v jakékoli dané slupce, a zejména udržet osm elektronů, o kterých se předpokládá, že jsou obvykle uspořádány symetricky v osmi rozích krychle. [4] V roce 1919 chemik Irving Langmuir navrhl, že by periodický zákon mohl být vysvětlen, kdyby elektrony v atomu byly nějakým způsobem spojeny nebo shluky. Předpokládalo se, že skupiny elektronů zabírají sadu elektronových obalů kolem jádra. [5] V roce 1922 Niels Bohr vyvinul svůj model atomu na základě předpokladu, že určitý počet elektronů (např. 2, 8 a 18) odpovídá stabilním „uzavřeným skořápkám“. [6] : 203

Pauli hledal vysvětlení pro tato čísla, která byla zpočátku čistě empirická . Současně se pokusil vysvětlit experimentální výsledky Zeemanova jevu v atomové spektroskopii a ve feromagnetismu . Důležité vodítko našel v článku Edmunda Stonera z roku 1924 , který naznačoval, že pro danou hodnotu hlavního kvantového čísla ( n ) je počet energetických hladin jednoho elektronu ve spektrech alkalického kovu ve vnějším magnetickém poli. , ve kterém jsou všechny degenerované energetické hladiny odděleny, se rovná počtu elektronů v uzavřené slupce vzácných plynů pro stejnou hodnotu n . To vedlo Pauliho k poznání, že komplexní počet elektronů v uzavřených obalech lze zredukovat na jednoduché pravidlo pro jeden elektron na stav, pokud jsou elektronové stavy definovány pomocí čtyř kvantových čísel. Za tímto účelem představil nové dvouciferné kvantové číslo, identifikované Samuelem Goudsmitem a Georgem Uhlenbeckem jako spin elektronu . [7] [8]

Vztah se symetrií kvantového stavu

Pauliho vylučovací princip s jednohodnotovou mnohočásticovou vlnovou funkcí je ekvivalentní požadavku, aby vlnová funkce byla antisymetrická s ohledem na výměnu částic . Jestliže a proběhnou základní vektory Hilbertova prostoru popisující systém jedné částice, pak jejich tenzorový součin dává základní vektory Hilbertova prostoru popisující systém dvou takových částic. Jakýkoli dvoučásticový stav může být reprezentován jako superpozice (tj. součet) těchto základních vektorů:

kde každý komplexní faktor A ( x , y )  je skalární koeficient. Antisymetrie ve výměně částic znamená, že A ( x , y ) = − A ( y , x ) . Z toho vyplývá, že A ( x , y ) = 0 , když x = y , což označuje matematickou formulaci Pauliho vylučovacího principu. To platí pro jakoukoli bázi, protože lokální změny báze udržují antisymetrické matice antisymetrické.

Naopak, pokud jsou diagonální veličiny A ( x , x ) v každé bázi nulové , pak složka vlnové funkce

je nutně antisymetrický. Chcete-li to dokázat, zvažte prvek matice

Na jedné straně je tento výraz roven nule, protože dvě částice mají nulovou pravděpodobnost, že budou ve stavu superpozice. . Ale je to také stejné

První a poslední člen jsou diagonální prvky a jsou rovny nule a celý součet je roven nule. Prvky matice vlnových funkcí se tedy řídí:

nebo

Pro systém s n > 2 částicemi se mnohočásticové základní stavy stanou n -násobnými tenzorovými součiny jednočásticových základních stavů a ​​koeficienty vlnové funkce jsou dány n stavy jedné částice. Podmínka antisymetrie říká, že koeficienty musí změnit své znaménko, kdykoli se změní dva stavy: pro libovolný pár . Vylučovací princip je důsledkem skutečnosti, že pokud pro nějakou pak Znamená, že žádná z n částic nemůže být ve stejném kvantovém stavu.

Pokročilá kvantová teorie

Podle spin-statistického teorému jsou kvantové stavy částic s celočíselným spinem popsány symetrickými vlnovými funkcemi a kvantové stavy částic s polovičním celočíselným spinem jsou popsány antisymetrickými vlnovými funkcemi. Principy kvantové mechaniky navíc umožňují existenci pouze celočíselných a polocelých hodnot rotace (v trojrozměrném prostoru). V relativistické kvantové teorii pole vyplývá Pauliho princip z aplikace rotačního operátoru v imaginárním čase na částice s polocelým spinem.

V jedné dimenzi se bosony, stejně jako fermiony, také řídí vylučovacím principem. Jednorozměrný Boseův plyn s nekonečnými odpudivými delta funkcemi je ekvivalentní plynu volných fermionů. Důvodem je to, že v jedné dimenzi výměna částic vyžaduje, aby procházely navzájem; při nekonečně silném odporu se to stát nemůže. Takový model je popsán kvantovou nelineární Schrödingerovou rovnicí . V prostoru hybnosti platí Pauliho vylučovací princip také pro konečné odpuzování v Boseově plynu s delta-funkčními interakcemi [9] , stejně jako pro interagující spiny , jednorozměrný Hubbardův model a také pro další modely, které lze vyřešit pomocí Bethe ansatz . Základní stav v modelech řešitelných Bethe ansatz představuje Fermiho koule .

Aplikace

Atomy

Pauliho vylučovací princip pomáhá vysvětlit širokou škálu fyzikálních jevů. Jedním z nejdůležitějších důsledků tohoto principu je složitá struktura elektronového obalu atomů a způsob výměny elektronů mezi atomy, což vysvětluje rozmanitost chemických prvků a jejich chemických sloučenin. V elektricky neutrálním atomu se počet vázaných elektronů rovná počtu protonů v jádře . Elektrony, které jsou fermiony, nemohou být ve stejném kvantovém stavu jako jiné elektrony, takže elektrony musí mít různé spiny, když jsou ve stejném elektronovém orbitálu, jak je popsáno níže.

Příkladem je neutrální atom helia , který má dva vázané elektrony, z nichž každý může zaujímat nejnižší energetické stavy ( 1s ), a tak získávat opačné spiny. Protože spin je součástí kvantového stavu elektronu, jsou tyto dva elektrony v různých kvantových stavech a neporušují Pauliho princip. Otočení však může nabývat pouze dvou různých hodnot ( vlastních čísel ). V atomu lithia se třemi vázanými elektrony nemůže být třetí elektron ve stavu 1s a musí místo toho zaujímat jeden ze stavů 2s s vyšší energií . Stejně tak postupně těžší prvky by měly mít vyšší energetické obaly. Chemické vlastnosti prvku do značné míry závisí na počtu elektronů ve vnějším obalu. Atomy s různým počtem obsazených elektronových obalů, ale se stejným počtem elektronů ve vnějším obalu, mají podobné vlastnosti, což je základem vlastností chemických prvků [10] :214–218 .

Aby otestoval Pauliho vylučovací princip pro atom He, Gordon Drake [11] velmi přesně vypočítal energie hypotetických stavů atomu He, které jej porušují, tzv. paronových stavů (stavy parafermionu) . Později K. Deilamian a kol. [12] použili atomový paprskový spektrometr k hledání parního stavu 1s2s 1 S 0 vypočítaného Drakem. Hledání se ukázalo jako neúspěšné a ukázalo se, že statistická váha tohoto stavu parona má horní hranici 5x10 −6 . (Princip vyloučení znamená nulovou váhu.)

Vlastnosti tuhého tělesa

Ve vodičích a polovodičích existuje velmi velké množství molekulárních orbitalů , které účinně tvoří spojitou pásovou strukturu energetických hladin . Ve vodičích ( kovech ) je elektronový plyn tak degenerovaný , že ani nemůže příliš přispívat k tepelné kapacitě kovu při vysokých teplotách. [13] :133–147 Mnoho mechanických, elektrických, magnetických, optických a chemických vlastností pevných látek je přímým důsledkem Pauliho vyloučení.

Stabilita hmoty

Stabilita každého elektronového stavu v atomu je popsána kvantovou teorií atomu, která ukazuje, že přiblížení elektronu k jádru nutně zvyšuje kinetickou energii elektronu, v souladu s Heisenbergovým principem neurčitosti . [14] Stabilita velkých systémů s mnoha elektrony a mnoha nukleony  je však další záležitostí vyžadující aplikaci Pauliho vylučovacího principu.

Ukázalo se, že Pauliho vylučovací princip je také zodpovědný za to, že běžná hmota je stabilní a zabírá objem. Tento předpoklad poprvé vyslovil v roce 1931 Paul Ehrenfest , který poukázal na to, že elektrony atomu nemohou všechny spadnout do orbitalu s nejnižší energií a musí obsazovat obaly stále vzdálenější od jádra (orbitaly s velkými hlavními kvantovými čísly). Proto atomy zabírají objem a za normálních podmínek je nelze příliš stlačit. [patnáct]

Přesnější důkaz přinesli v roce 1967 Freeman Dyson a Andrew Lenard ( de ), kteří zvážili rovnováhu přitažlivých (elektron-jaderných) a odpudivých (elektron-elektron a jaderně-jaderných) sil a ukázali, že běžná hmota by se zhroutila a obsadila mnohem menší objem.bez Pauliho principu. [16] [17]

Z Pauliho principu vyplývá, že elektrony se stejným spinem jsou prostorově odděleny odpudivou výměnnou interakcí , což je efekt krátkého dosahu působící ve spojení s elektrostatickou nebo coulombovskou silou s dlouhým dosahem . Tento efekt je částečně zodpovědný za každodenní pozorování v makroskopickém světě, kdy dva pevné objekty nemohou být ve stejnou dobu na stejném místě.

Astrofyzika

Dyson a Lenard nezvažovali extrémní magnetické nebo gravitační síly, které se vyskytují v některých astronomických objektech. V roce 1995 Elliot Lieb a kolegové ukázali, že Pauliho princip stále vede ke stabilitě hmoty v intenzivních magnetických polích, jako jsou neutronové hvězdy , i když s mnohem vyšší hustotou než v běžné hmotě. [18] Z obecné teorie relativity vyplývá, že při dostatečně intenzivních gravitačních polích dochází ke kolapsu hmoty a vzniku černé díry .

Astronomie poskytuje působivé příklady vlivu Pauliho principu na hmotu v podobě bílých trpaslíků a neutronových hvězd . V obou tělesech je atomová struktura narušena extrémním tlakem, ale hvězdy jsou udržovány v hydrostatické rovnováze vlivem degenerativního tlaku , také známého jako Fermiho tlak. Tato exotická forma hmoty je známá jako degenerovaná hmota . Obrovská gravitační síla hmoty hvězdy je obvykle udržována v rovnováze tepelným tlakem způsobeným teplem uvolněným fúzí v jádru hvězdy. U bílých trpaslíků, u kterých nedochází k jaderným fúzním reakcím, je síla, která působí proti gravitaci, poskytována tlakem elektronové degenerace . V neutronových hvězdách , vystavených ještě silnějším gravitačním silám, se elektrony spojily s protony a vytvořily neutrony. Neutrony jsou schopny produkovat ještě vyšší tlak degenerace, tlak degenerace neutronů , i když v užším rozsahu. To stabilizuje neutronové hvězdy před dalším kolapsem, ale při menší velikosti a vyšší hustotě než u bílých trpaslíků. Neutronové hvězdy jsou „nejtvrdší“ známé objekty; jejich Youngův modul (přesněji modul objemu ) je o 20 řádů větší než u diamantu . I tuto obrovskou tuhost však může překonat gravitační pole neutronové hvězdy, jejíž hmotnost přesahuje Tolmanův–Oppenheimerův–Volkovův limit , což má za následek vznik černé díry . [19] :286–287

Poznámky

  1. ↑ V. Pauli Princip prohibice, Lorentzova skupina, odraz prostoru, času a náboje // Niels Bohr a vývoj fyziky. - M., IL, 1958. - str. 46-74
  2. ↑ Fyzika mikrokosmu. - M., Sovětská encyklopedie, 1980. - str. 304
  3. ↑ Kenneth S. Krane. Úvod do jaderné fyziky. - Wiley, 5. listopadu 1987. - ISBN 978-0-471-80553-3 .
  4. ↑ Linus Pauling a povaha chemické vazby: Dokumentární historie . Special Collections & Archives Research Center - Oregon State University. Získáno 19. března 2021. Archivováno z originálu dne 3. listopadu 2013.
  5. ↑ Langmuir, Irving (1919). „Uspořádání elektronů v atomech a molekulách“ (PDF) . Journal of the American Chemical Society . 41 (6): 868-934. DOI : 10.1021/ja02227a002 . Archivováno z originálu (PDF) dne 2012-03-30 . Získáno 2008-09-01 . Použitý zastaralý parametr |deadlink=( nápověda )
  6. ↑ Shaviv, Glora. Život hvězd: Kontroverzní vznik a vznik teorie hvězdné struktury. - Springer, 2010. - ISBN 978-3642020872 .
  7. ↑ Straumann, Norbert (2004). "Role principu vyloučení atomů ke hvězdám: Historický popis." Pozvaná přednáška na 12. workshopu o jaderné astrofyzice . arXiv : quant-ph/0403199 . Bibcode : 2004quant.ph..3199S . Neznámý parametr |ссылка=( nápověda )
  8. ↑ Pauli, W. (1925). “Über den Zusammenhang des Abschlusses der Elektronengruppen im Atom mit der Komplexstruktur der Spektren”. Zeitschrift fur Physik . 31 (1): 765-783. Bibcode : 1925ZPhy...31..765P . DOI : 10.1007/BF02980631 .
  9. ↑ A. G. Izergin (červenec 1982). “Pauliho princip pro jednorozměrné bosony a algebraický bethe ansatz” (PDF) . Písmena v matematické fyzice . 6 (4): 283-288. Bibcode : 1982LMaPh...6..283I . DOI : 10.1007/BF00400323 . Archivováno (PDF) z originálu 2018-11-25 . Získáno 2021-03-19 . Použitý zastaralý parametr |deadlink=( nápověda )
  10. ↑ Griffiths, David J. (2004), Úvod do kvantové mechaniky (2. vyd.) , Prentice Hall, ISBN 0-13-111892-7 
  11. ↑ Drake, GWF (1989). „Předpokládané energetické posuny pro „paronické“ helium“ . Phys. Rev. A. _ 39 (2): 897-899. Bibcode : 1989PhRvA..39..897D . DOI : 10.1103/PhysRevA.39.897 . PMID  9901315 . Archivováno z originálu dne 2021-03-03 . Získáno 2021-03-19 . Použitý zastaralý parametr |deadlink=( nápověda )
  12. ↑ Deilamian, K. (1995). „Hledejte malá porušení postulátu symetrizace ve vzrušeném stavu helia“. Phys. Rev. Lett . 74 (24): 4787-4790. Bibcode : 1995PhRvL..74.4787D . DOI : 10.1103/PhysRevLett.74.4787 . PMID  10058599 .
  13. ↑ Kittel, Charles (2005), Úvod do fyziky pevných látek (8. vydání), USA: John Wiley & Sons, Inc., ISBN 978-0-471-41526-8 
  14. ↑ Lieb, Elliott H. (2002). „Stabilita hmoty a kvantová elektrodynamika“. arXiv : math-ph/0209034 . Bibcode : 2002math.ph...9034L . Neznámý parametr |ссылка=( nápověda )
  15. ↑ Jak popsal F.J. Dyson (J.Math.Phys. 8 , 1538-1545 (1967)), Ehrenfest učinil tento návrh ve svém projevu u příležitosti udělení Lorentzovy medaile Paulimu.
  16. ↑ FJ Dyson a A. Lenard : Stabilita hmoty , Část I a II
  17. ↑ Dyson, Freeman (1967). „Energie základního stavu konečného systému nabitých částic“ . J Math. Phys . 8 (8): 1538-1545. Bibcode : 1967JMP.....8.1538D . DOI : 10.1063/1.1705389 .
  18. ↑ Lieb, EH (1995). „Stabilita hmoty v magnetických polích“. Fyzické kontrolní dopisy . 75 (6): 985-9. arXiv : cond-mat/9506047 . Bibcode : 1995PhRvL..75..985L . DOI : 10.1103/PhysRevLett.75.985 . PMID  10060179 .
  19. ↑ Martin Bojowald. Vesmír: Pohled z klasické a kvantové gravitace. - ISBN 978-3-527-66769-7 .

Literatura