Výměnná interakce

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 25. března 2021; kontroly vyžadují 6 úprav .

Výměnná interakce - interakce identických částic v kvantové mechanice vedoucí k závislosti hodnoty energie systému částic na jeho celkovém spinu . Jde o čistě kvantový efekt, který mizí při přechodu na hranici klasické mechaniky .

Historické aspekty

Koncept výměnné interakce přímo souvisí s konceptem rotace , který byl vyvinut koncem 20. let 20. století v dílech Uhlenbecka , Goudsmita , Diraca , Pauliho , Heisenberga a dalších. Pojem výměny vznikl ve studiu emisních spekter atomu helia , které interpretoval Heisenberg v roce 1926 . Vysvětluje existenci dvou „typů“ helia: orto- a parahelia, které se liší spinovou konfigurací elektronů. [1] Molekula vodíku byla popsána Walterem Heitlerem a Fritz Londonem rok po Heisenbergově teorii helia. Byli první, kdo ukázal roli výměnné interakce v chemii. [2] Také v roce 1927 Heisenberg popsal feromagnetismus . Dirac v roce 1929 navrhl model Hamiltonian obsahující skalární součin spinových operátorů. Jeho model zobecnil van Vleck v roce 1932 [3] . Této práci předcházel model navržený v roce 1920 Wilhelmem Lenzem a později vyvinutý jeho studentem Ernstem Isingem ( 1925 ), který uvažoval o jednorozměrné mřížce spinů, které se mohly orientovat pouze ve zvoleném směru. Zpočátku se jí nedostalo uznání, protože nevysvětlila jevy feromagnetismu, ale ve 40. letech se ukázalo, že dobře popisuje magnetismus dvouprvkových slitin ( 1938 - článek Hanse Betheho ) a lze ji aplikovat nejen v magnetismu. [čtyři]

Další rozvoj teorie byl spojen se studiem vnitřních mechanismů směnné interakce. Zatímco první práce byly věnovány tzv. přímé výměnné interakci, která je realizována prostřednictvím přímého překrývání vlnových funkcí sousedních atomů, její reálný mechanismus se může v různých třídách sloučenin výrazně lišit. Výměna, ke které dochází jinými způsoby, se nazývá nepřímá. V roce 1950 byla navržena teorie Hendrika Kramerse a Philipa Andersona k vysvětlení antiferomagnetismu sloučenin d-kovů typu oxidu manganu . V polovině 50. let se objevila teorie RKKY -směnné interakce . Později bylo podáno vysvětlení pro takzvaný slabý feromagnetismus, založený na myšlence anizotropních modelů. [5]

V současnosti je rozvoj teorie spojen s nutností zohlednit výměnnou interakci jako nejsilnější z magnetických interakcí [6] a její roli v teorii spinových vln [7] .

Výměna interakce bosonů a fermionů

Povaha výměnné interakce mezi částicemi s celočíselným spinem ( bosony ) a polocelým spinem ( fermiony ) je různá. U fermionů je povaha výměnné interakce způsobena Pauliho principem , podle kterého dva fermiony nemohou být v přesně stejných stavech. Pauliho princip zakazuje, aby dva elektrony s paralelními spiny byly v překrývajících se povolených oblastech. Proto se při malých vzdálenostech řádově de Broglieho vlnové délky mezi elektrony, jejichž spiny jsou rovnoběžné, objeví jakoby další odpuzování. V případě antiparalelních spinů vznikají přitažlivé síly, které hrají důležitou roli při tvorbě chemických vazeb mezi atomy. Při tvorbě některých molekul, zejména vody a vodíku , hraje určitou roli výměnná interakce mezi protony . Výměnná interakce je charakteristická pro všechny fermiony a existuje bez ohledu na to, zda mezi nimi existují další interakce. Výměnná interakce bosonů má opačný charakter: čím více bosonů je v daném stavu, tím pravděpodobněji do tohoto stavu přejde další boson. To je ekvivalentní účinku přitažlivosti bosonů [8] .

Vnitroatomová a meziatomová výměnná interakce elektronů

Symetrie vlnových funkcí

Elektronová a spinová struktura atomu je popsána Diracovou rovnicí . U systémů s několika elektrony je však jeho analýza velmi těžkopádná a kvalitativní obraz interakcí lze získat z časově nezávislé Pauliho rovnice . Je to důsledek Diracovy rovnice při nízkých rychlostech a je to vlastně Schrödingerova rovnice s dalším členem v Hamiltoniánu , který bere v úvahu přítomnost rotace. Nemagnetická část Hamiltoniánu je součtem kinetických energií elektronů a energie coulombovské interakce elektronů s jádrem a mezi sebou navzájem:

{\mathcal H}_{e}=\sum _{{i=1}}^{N}\left({\frac {{\mathbf p}_{i}^{2}}{2m}}- {\frac {Ze^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}|{\mathbf r}_{i}|}}\right)+\sum _{{i<j}}{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}|{\mathbf r}_{i}-{\mathbf r}_{j}|}}.

Zde je součet převzat N elektronů, které jsou v elektrostatickém poli jádra s nábojem Z , a je vektor hybnosti a poloměru i -tého elektronu, je dielektrická konstanta . ${\mathbf p}_{i}$ ${\mathbf r}_{i}$ $\varepsilon_{0}$

Spin vstupuje do Hamiltonianu prostřednictvím interakce spin-orbita . Ten má relativistickou povahu, stejně jako interakce elektronových spinů mezi sebou. [9] Relativistické členy v Hamiltoniánu jsou úměrné svou velikostí mocninám poměru rychlosti elektronů k rychlosti světla a lze je v první aproximaci vynechat. To umožňuje oddělit proměnné a zapsat celkovou vlnovou funkci jako součin souřadnic a spinových částí. U dvouelektronového systému může být předložen ve formě $\psi$

\Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {s} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {s} _{2})=\Phi ( \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2})\sigma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2}).

Zde je funkce určena pouze souřadnicemi elektronů a jejich spiny. Vzhledem k tomu, že hamiltonián je součtem hamiltoniánů jednotlivých elektronů, je třeba vlnovou funkci každého z elektronů faktorizovat stejným způsobem (tzv. spin-orbital je orbital , ve kterém je spin zaveden jako další proměnná): $\Phi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2})$ $\sigma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})$

\psi (\mathbf {r} ,\mathbf {s} )=\phi (\mathbf {r} )\sigma (s_{z}),\quad \phi (\mathbf {r} )=R_ {n,l}(r)Y_{l,m}(\theta ,\phi)

kde R n, l je radiální část, Y l, m je sférická harmonická , je spinově závislá část vlnové funkce. [10] [11] V případě mnoha elektronů dává vztah mezi celkovou vlnovou funkcí a jednotlivými spinovými orbitaly Slaterův determinant . $\sigma (s_{z})$

Nejjednodušším systémem, ve kterém hraje důležitou roli výměnná interakce, je dvouelektronový systém. Je realizován v atomu helia a molekule vodíku . Elektrony jsou fermiony , takže celková vlnová funkce musí být antisymetrická s ohledem na elektronovou permutaci:

\Psi ({\mathbf r}_{1}, {\mathbf s}_{1}, {\mathbf r}_{2}, {\mathbf s}_{2})=-\Psi ({\ mathbf r}_{2}, {\mathbf s}_{2}, {\mathbf r}_{1}, {\mathbf s}_{1}).

Protože v tomto případě lze antisymetrii získat dvěma způsoby: prostorová část vlnové funkce je symetrická a spin nikoliv, nebo naopak. Jsou to lineární kombinace odpovídajících částí spinových orbitalů. Z Pauliho principu tedy vyplývají dvě možné formy : $\sigma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})$

\sigma _{\text{as}}(\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})={\frac {1}{\sqrt {2}}}\ vlevo(\sigma _{1}(s_{z1})\sigma _{2}(s_{z2})-\sigma _{1}(s_{z2})\sigma _{2}(s_{z1} )\že jo),

\sigma _{\text{sym}}(\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})=\left\lbrace {\begin{array}{l}\sigma _{1}(s_{z1})\sigma _{2}(s_{z1}),\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\sigma _{1}(s_ {z1})\sigma _{2}(s_{z2})+\sigma _{1}(s_{z2})\sigma _{2}(s_{z1})\vpravo),\\\sigma _ {1}(s_{z2})\chi _{2}(s_{z2}).\end{array}}\right.

Asymetrická funkce odpovídá tzv. singletovému stavu (celkový spin je nulový) a symetrická funkce odpovídá tripletnímu stavu (celkový spin je roven jedné). Odpovídající prostorové vlnové funkce mají tvar

\Phi _{\text{sym}}(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2})={\frac {1}{\sqrt {2}}}( \phi _{1}(\mathbf {r} _{1})\phi _{2}(\mathbf {r} _{2})+\phi _{1}(\mathbf {r} _{2 })\phi _{2}(\mathbf {r} _{1})),

\Phi _{\text{as}}(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2})={\frac {1}{\sqrt {2}}}( \phi _{1}(\mathbf {r} _{1})\phi _{2}(\mathbf {r} _{2})-\phi _{1}(\mathbf {r} _{2 })\phi _{2}(\mathbf {r} _{1})).

V těchto vzorcích zápis znamená, že elektron umístěný v bodě s poloměrovým vektorem a spinovou projekcí má prostorovou vlnovou funkci a spinovou funkci . Každá z těchto vlnových funkcí musí být normalizována na jednu. [12] [13] $\phi _{i}(\mathbf {r} _{k})\sigma _{j}(s_{zm})$ ${\mathbf r}_{k}$ $s_{{zm}}$ $\phi_i$ $\sigma _{j}$

Dvouelektronové prostorové vlnové funkce různé symetrie
Symetrická vlnová funkce ( bonding orbital )
Antisymetrická vlnová funkce ( antibonding orbital )

Výměna elektronů v atomech. Helium

Hamiltonián pro helium , který nebere v úvahu relativistické interakce , má tvar

{\mathcal H}=\underbrace {{\frac {{\mathbf p}_{1}^{2}}{2m}}+{\frac {{\mathbf p}_{2}^{2}} {2m}}-{\frac {2e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}|{\mathbf r}_{1}|}}-{\frac {2e^{2}}{ 4\pi \varepsilon _{0}|{\mathbf r}_{2}|}}}_{{{\mathcal H}_{0}}}+\underbrace {{\frac {e^{2} }{4\pi \varepsilon _{0}|{\mathbf r}_{1}-{\mathbf r}_{2}|}}}_{{{\mathcal H}_{1}}}.

Energetické hladiny atomu helia lze studovat pomocí poruchové teorie . Výpočty, které nejsou příliš přesné, ale spíše vizuální, lze provést, pokud vezmeme , a jeho opravy, jako nerušený hamiltonián . Heisenberg ve své práci o spektrech helia vzal Hamiltonián jako nulovou aproximaci a výraz byl vybrán jako oprava . Tento přístup je kvantitativně přesnější, ale také obtížnější v analytických výpočtech. V základním stavu jsou oba elektrony helia v 1s orbitalech a díky Pauliho principu musí mít opačný směr rotace. Protože jejich hlavní , orbitální a magnetická kvantová čísla n , l am jsou stejná, musí být prostorová část celkové vlnové funkce symetrická. V tomto případě je základní stav charakterizován vlnovou funkcí ${\mathcal H}_{0}$ ${\mathcal H}_{1}$ ${\mathcal H}_{0}+{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}|{\mathbf r}_{2}|}}$ ${\mathcal H}_{1}-{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}|{\mathbf r}_{2}|}}$

\Psi _{\text{gr}}(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},s_{1z},s_{2z})={\frac {1 }{2}}\left(\phi _{100}^{(1)}(\mathbf {r} _{1})\phi _{100}^{(2)}(\mathbf {r} _ {2})+\phi _{100}^{(1)}(\mathbf {r} _{2})\phi _{100}^{(2)}(\mathbf {r} _{1} )\right)\left(\sigma _{1}(s_{z1})\sigma _{2}(s_{z2})-\sigma _{1}(s_{z2})\sigma _{2} (s_{z1})\right),

kde horní index ψ vyjmenovává elektron a dolní index označuje trojici čísel . Energie základního stavu tedy je $nlm=100$

E_{\text{gr}}=E_{0}+E_{1},

kde E 0 je vlastní hodnota operátoru a je nalezena z rovnice a . [čtrnáct] ${\mathcal H}_{0}$ ${\mathcal H}_{0}\Psi _{{\text{gr}}}=E_{0}\Psi _{{\text{gr}}}$ $E_{1}=\langle \Psi _{{\text{gr}}}|{\mathcal H}_{1}|\Psi _{{\text{gr}}}\rangle$

Povaha výměnné interakce je odhalena při studiu hladin excitovaného helia. Výměnná interakce vede k štěpení energetických hladin, při kterém jsou energie stavů s obsazenými orbitaly 1s2s a 1s2p různé. Excitované úrovně mohou být singlet (parahelium) a triplet (ortohelium) s vlnovými funkcemi tvaru

\Psi _{\text{es}}^{\text{S}}(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {s} _{1 },\mathbf {s} _{2})=\Phi _{\text{sym}}(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2})\sigma _{\text {as}}(\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2}),

\Psi _{\text{es}}^{\text{T}}(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {s} _{1 },\mathbf {s} _{2})=\Phi _{\text{as}}(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2})\sigma _{\text {sym}}(\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})

respektive. Energie excitovaných stavů, které jim odpovídají v prvním řádu poruchové teorie, mají tvar

E_{\text{es}}^{\text{S}}=\langle \Psi _{\text{es}}^{\text{S}}|{\mathcal {H}}_{ 1}|\Psi _{\text{es}}^{\text{S}}\rangle =J+K,

E_{\text{es}}^{\text{T}}=\langle \Psi _{\text{es}}^{\text{T}}|{\mathcal {H}}_{ 1}|\Psi _{\text{es}}^{\text{T}}\rangle =JK.

V takovém výpočtu energie excitovaných stavů je role spinu redukována na uložení podmínky na symetrii prostorové části vlnové funkce. To vede k tomu, že rozdíl mezi energiemi singletových a tripletových stavů je 2K . Tady

J=\iint |\phi _{100}(\mathbf {r} _{1})|^{2}{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0} |\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|}}|\phi _{nlm}(\mathbf {r} _{2})|^{2}\mathrm {d } \mathbf {r} _{1}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}

se nazývá Coulombův integrál a

K=\iint \phi _{100}(\mathbf {r} _{1})\phi _{nlm}(\mathbf {r} _{2}){\frac {e^{2} }{4\pi \varepsilon _{0}|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|}}\phi _{100}^{*}(\mathbf {r} _{2})\phi _{nlm}^{*}(\mathbf {r} _{1})\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}

výměnný integrál (hvězdička označuje komplexní konjugaci ). Coulombův integrál ukazuje sílu elektrostatického odpuzování mezi pravděpodobnostními hustotami elektronů a je vždy kladný. Výměnný integrál odpovídá změně energie při změně kvantových stavů elektronů. Může být pozitivní i negativní. Pro helium , v důsledku čehož se energie singletového stavu zvyšuje. Fyzikální význam toho je, že symetrická prostorová vlnová funkce umisťuje elektrony blíže k sobě a energie coulombovské interakce mezi nimi se zvyšuje. [osmnáct] $J>0$

Ve skutečnosti je pravděpodobnost pozorování singletového přechodu 2 1 P 1 → 1 1 S 0 mnohem vyšší než pravděpodobnost pozorování excitace elektronů na tripletovou hladinu s nižší energií. To je způsobeno tím, že kvůli slabosti spinové interakce jsou zakázány přechody mezi energetickými hladinami různé multiplicity. Je možné získat ortohelium s tripletovou vlnovou funkcí a spinem rovným jednotce bombardováním parahelia elektronovým paprskem. Protože v paprsku jsou elektrony s různými směry spinu, jeden z elektronů v atomu helia může být vyřazen a nahrazen elektronem, jehož spin je opačný než spin vyřazeného. Protože návrat do základního stavu je spojen se změnou multiplicity, je nepravděpodobný a životnost orthohelia je poměrně dlouhá [17] [15] [19]

Výměnná interakce elektronů v molekulách

Výměna interakce v magnetech

Modely s Heisenbergovým Hamiltoniánem

Heisenbergův model

Pro popis feromagnetického nebo antiferomagnetického uspořádání v různých matematických modelech se obvykle používá Diracův výraz pro energii výměnné interakce spinů , ve kterém je energie úměrná skalárnímu součinu spinových operátorů s 1 a s 2

{\mathcal H}^{{12}}=-J_{{12}}{\mathbf s}_{1}{\mathbf s}_{2},

(GazGum)

kde je výměnný integrál. Jeho znaménko určuje typ interakce: popisuje feromagnetické uspořádání a antiferomagnetické uspořádání. Výraz ( HeisGam ) se nazývá Heisenbergův Hamiltonián. Většina magnetů je od něj popsána docela dobře, ale v některých případech je třeba vzít v úvahu rozdíl mezi skutečným hamiltonovským a heisenbergovým. V nejjednodušším případě obsahuje pouze první mocninu skalárního součinu, která odpovídá spinu (jednoelektronový iont), jinak je nutné počítat s pojmy s mocninami do 2 s (multielektronové ionty). [20] Případ, kdy je přítomna kvadratická korekce, se nazývá bi-square exchange. Dosahuje minima, když jsou rotace na sebe kolmé. Podobnou vazbu mezi spiny lze pozorovat u vícevrstvých systémů. [21] $J_{{12}}$ $J>0$ $J<0$ $s=1/2$ $J_{{ij))'\cdot ({\mathbf s}_{1}{\mathbf s}_{2})^{2}$

Protože hamiltonián makroskopického tělesa, který bere v úvahu kinetické energie a energie coulombovské interakce iontů a elektronů, má pro analytickou analýzu příliš složitou strukturu, obvykle se předpokládá, že jej lze nahradit součtem hamiltoniánů formulář ( HeisHam ). V tomto případě má výměnný Hamiltonian formu

{\mathcal H}=-{\frac {1}{2}}\sum _{{i\neq j}}J_{{ij}}{\mathbf s}_{i}{\mathbf s}_{ j},

kde se součet přebírá uzly mřížky [3] . Někdy se mu také říká Heisenberg-Dirac-van Vleck Hamiltonian. [22] . V mnoha případech můžeme předpokládat, že výměnný integrál J rychle klesá se vzdáleností a je nenulový pouze pro sousední místa magnetické podmřížky. [23] Účtování vzdálenějších sousedů vede ke složitějšímu řazení spinů: šroubovité , nekolineární a další [3] . Hamiltonián Heisenbergovy výměny je izotropní a neurčuje směr celkové magnetizace systému. Komutuje s každou z projekcí celkového spinu S :

[{\mathcal H},{\mathbf S}]=0.

Výměnná interakce tedy nemůže ovlivnit hodnotu celkového spinu systému. [24]

V případě spinové povahy magnetického momentu feromagnetika lze přejít od spinového operátoru k operátoru hustoty magnetického momentu pomocí Diracovy delta funkce δ:

{\mathbf M}({\mathbf r})=-g\mu _{B}\součet _{i}{\mathbf s}_{i}\delta ({\mathbf r}-{\mathbf r} _{i}),

kde g je Landeův multiplikátor a Bohrův magneton. Pak můžeme zapsat makroskopickou energii odpovídající výměně Hamiltonian as $\mu _{B}$

E^{{\text{ex}}}=-{\frac {1}{2(g\mu _{B})^{2}}}\int _{V}{\mathrm d}{\mathbf r}\int _{V}'{\mathrm d}{\mathbf r}'\overline {J}({\mathbf r}-{\mathbf r}'){\mathbf M}({\mathbf r} ){\mathbf M}({\mathbf r}'),

kde se funkce liší jen málo od integrálu výměny při teplotách daleko od Curieho bodu . [25] [26] Rozšíření magnetizace v Taylorově řadě nám umožňuje rozlišit dvě složky makroskopické výměnné energie, z nichž jedna závisí pouze na modulu magnetizačního vektoru a druhá je určena jejími prostorovými derivacemi: $\overline {J}$

w=-{\frac {1}{2}}\Lambda {\mathbf M}^{2}+{\frac {1}{2}}A_{{ij}}{\frac {\partial {\mathbf M)){\částečné x_{i))}{\frac {\částečné {\mathbf M)){\částečné x_{j))},

kde

\Lambda ={\frac {1}{(g\mu _{B})^{2))}\int _{V}\overline {J}({\mathbf r}){\mathrm d}{\ mathbf r},\quad A_{{ij))={\frac {1}{2(g\mu _{B})^{2))}\int _{V}\overline {J}({\ mathbf r})x_{i}x_{j}{\mathrm d}{\mathbf r}.

Tento výraz nebere v úvahu povrchové efekty, ke kterým mohou přispívat liché mocniny při expanzi funkce M v mocninách r . Mohou být relevantní pro pyroelektrické krystaly. Řád konstant A a Λ je určen hodnotou výměnného integrálu J 0 pro sousední atomy a konstantou magnetické mřížky a . V nejjednodušším případě se vyhodnocují jako a . [27] Výměnný integrál sousedních iontů je roven $A_{{ij}}\sim J_{0}a^{5}/(2\mu _{B})^{2}$ $\Lambda \sim J_{0}a^{3}/(2\mu _{B})^{2}$

J_{0}\cca 3kT_{C}/2Ns(s+1),

kde k je Boltzmannova konstanta , T C je Curieova teplota a N je počet nejbližších sousedů (6 pro kubickou mřížku ). Pro železo tento vzorec dává hodnotu 1,19⋅10 −2 eV . Přesnější odhady zvyšují toto číslo o 40 % [3] .

Model Ising a model XY

V roce 1920 Wilhelm Lenz navrhl myšlenku elementárních spinových dipólů , které se mohou orientovat v přesně definovaných směrech. Jednorozměrný model takového systému byl vyvinut v doktorské práci jeho studenta Ernsta Isinga , který uvažoval o hamiltoniánu ve tvaru

{\mathcal H}^{{\text{Ising}}}=-\sum _{{i,j}}J_{{ij}}s_{i}s_{j}-\sum _{i}H_{ i}s_{i},

kde jsou spiny jednotkové délky, jejichž interakce je určena hodnotou , H i je magnetické pole v místě i -tého spinu. Tento jeden z nejjednodušších fyzikálních modelů, kde objekty nabývají pouze dvou hodnot (v tomto případě projekce rotace nahoru nebo dolů), našel uplatnění i mimo teoretickou fyziku: v hašení požárů, politice a dalších oblastech. [4] V magnetismu lze považovat za limitující případ silné anizotropie osy easy, kdy lze zanedbat odchylky od směru osy easy. [28] $s_{i}=\pm 1$ $J_{{ij}}$

Zpočátku magnetický model zvažovaný Isingem nevzbudil zájem, protože postrádal feromagnetické uspořádání při konečných teplotách. Hans Bethe však později zjistil, že dokonale popisuje vazebné energie a chemické potenciály mezi atomy ve dvouprvkových slitinách, což našlo uplatnění v metalurgii. [29] Rudolf Peierls ukázal, že řád dlouhého dosahu potřebný k vysvětlení feromagnetismu je přítomen při nízkých teplotách, když uvažujeme dvou- a trojrozměrné spinové mřížky. V tomto případě se v modelu objevují fázové přechody odpovídající přítomnosti Curieovy teploty . Podrobnou matematickou analýzu dvourozměrných mřížek provedl Onsager v roce 1944 . [30] Dvourozměrný model lze experimentálně realizovat na monovrstvách feromagnetických atomů. Teplotní závislost a závislost spontánní magnetizace monovrstev železa na substrátu W (110) ukázaly výbornou shodu s teorií blízko Curieovy teploty. [31]

Dalším limitujícím případem (silná anizotropie easy-plane) je tzv. XY-model. V něm je hamiltonián obvykle zastoupen ve tvaru

{\mathcal H}^{{\text{XY}}}=-\sum _{{i,j}}J_{{ij}}(s_{{ix}}s_{{jx}}+s_{{ iy}}s_{{jy}}).

Na rozdíl od Isingova modelu se zde předpokládá, že všechny spiny leží v rovině XY. Oba modely XY i Ising hrají důležitou roli ve statistické mechanice. [28]

Hubbardův Hamiltonián

Anizotropní modely

Příčina anizotropie

V mnohaelektronových atomech se stává důležitá interakce spinu a mechanických momentů . Vazba LS vede k rozštěpení spektra volného atomu a vlivu symetrie krystalové mřížky na spiny v atomech pevné látky. Zejména příspěvek mřížkového pole přesahuje několik energetických jednotek kT ( k je Boltzmannova konstanta , T je teplota ) pro prvky skupiny železa. Zohlednění korekcí zavedených interakcí spin-orbita a magnetickým polem (vnějším nebo mřížkovým) v teorii poruch druhého řádu vede k dodatečnému termínu v hamiltoniánu pro místo mřížky.

\Delta {\mathcal H}=\součet _{{\mu \nu }}[2\mu _{B}H_{\mu } (\delta _{{\mu \nu }}-\xi \Lambda _ {{\mu \nu }})s_{\nu }-\xi ^{2}\Lambda _({\mu \nu }}s_{\mu }s_{\nu }-\mu _{B}^ {2}\Lambda _{{\mu \nu }}H_{\mu }H_{\nu }].

kde δ μν je Kroneckerův symbol , a indexy μ a ν procházejí prostorovými souřadnicemi x , y , z . V něm je prvním členem Zeemanova energie (energie interakce s magnetickým polem), druhý člen odpovídá takzvané jednoiontové anizotropii a třetí je důsledkem poruchové teorie druhého řádu a dává paramagnetická susceptibilita nezávislá na teplotě ( van Vleckův paramagnetismus ). [32] Při nepřítomnosti vnějších magnetických polí je směr totálního spinu určen magnetickou anizotropií , která má popsanou spin-orbitální povahu [3] [24] Někdy je součástí výměny Hamiltonián uvažující J jako tenzor : $\Lambda _{{\mu \nu }}=\součet _{n}{\frac {\langle n|L_{\mu }|0\rangle \langle 0|L_{\nu }|n\rangle }{ E_{n}-E_{0}}}$

{\mathcal H}=-{\frac {1}{2}}\sum _{{i\neq j}}(J_{{xx}}{\mathbf s}_{i}^{x}{\ mathbf s}_{j}^{x}+J_{{yy}}{\mathbf s}_{i}^{y}{\mathbf s}_{j}^{y}+J_{{zz} }{\mathbf s}_{i}^{z}{\mathbf s}_{j}^{z}).

Toto zobecnění se také nazývá model X-Y-Z. Rozdíl mezi prvky tenzoru J je obvykle malý [33] . V některých případech ( GeizGam ) to může být složitější. Pro ionty, jejichž základní stav je vícenásobný, používá operátor celkové hybnosti J a odpovídající Landeův multiplikátor g J : [34]

{\mathcal H}^{{12}}=-J_{{12}}(g_{J}-1)^{2}{\mathbf J}_{1}{\mathbf J}_{2}.

Tato situace je typická pro ionty vzácných zemin. [35] V přítomnosti iontů s f - elektrony se také interakce stává anizotropní. Konkrétními případy jsou výměnná interakce pseudodipólu a interakce Dzyaloshinskii-Moriya . [34]

Pseudo-dipólové a antisymetrické výměnné interakce

Anizotropní interakce hrají důležitou roli ve vysvětlení vlastností antiferomagnetických kuprátů. Vznik speciálních typů anizotropní výměny lze ukázat na příkladu dvou magnetických iontů, pro které je součet příspěvků spin-orbitálních interakcí každého z iontů a výměnné interakce mezi ionty považován za malou korekci k hamiltonián. Třetí řád poruchové teorie vede ke změně nerušeného Hamiltoniánu o množství

\Delta {\mathcal H}^{{\text{an}}}=-{\frac {1}{4}}\součet _{{\mu \nu }}\součet _{{i=1,2 }}[(\Gamma _{{\mu \nu }}^{{(i)}}+\Gamma _{{\nu \mu }}^{{(i))))-\delta _{{ \mu \nu }}(\Gamma _{{xx}}^{{(i)}}+\Gamma _{{yy}}^{{(i)}}+\Gamma _{{zz}}^ {{(i)}})]S_{{1\mu }}S_{{2\nu }},

\Gamma _{{\mu \nu }}^{{(i)}}=2\xi ^{2}\součet _{{n_{i}n_{i}'}}{\frac {\langle g_ {1}|L_{\mu }|n_{1}\rangle J(n_{1}g_{2},n_{1}'g_{2})\langle n_{1}'|L_{\nu } |g_{1}\rangle }{(E_{{n_{1}}}-E_{{g_{1}}})(E_{{n'_{1}}}-E_{{g_{1} }})))}}.

Zde g i je základní stav a je konstanta výměnné interakce mezi ionty pro odpovídající stavy každého z nich. za obvyklé magnetické dipólové interakce V tomto ohledu se nazývá pseudodipólová interakce . Řádově je jeho příspěvek k energii úměrný součinu konstanty výměny krát čtverec anizotropní korekce na Landeův faktor . [36] $J(n_{1}g_{2},n_{1}'g_{2})$

Mimodiagonální členy korekce druhého řádu v poruchové teorii vedou ke korekci tvaru

E_{{12}}={\mathbf D}[{\mathbf S}_{1}\times {\mathbf S}_{2}].

Interakce tohoto druhu se nazývá antisymetrická výměnná interakce nebo interakce Dzyaloshinskii - Moriya . Vektor

{\mathbf D}=-2i\xi \left[\sum _{{n_{1}}}{\frac {\langle g_{1}|L_{1}|n_{1}\rangle }{E_{ {n_{1}}}-E_{{g_{1}}}}}J(n_{1}g_{2},g_{1}g_{2})-\součet _{{n_{2}} }{\frac {\langle g_{2}|L_{2}|n_{2}\rangle }{E_{{n_{2))}-E_{{g_{2))))}J(n_{ 2}g_{1},g_{1}g_{2})\right]

se nazývá Dzyaloshinskii vektor. Rovná se nule, pokud je pole krystalové mřížky symetrické vzhledem k inverzi kolem středu mezi oběma ionty. [37] Je zřejmé, že energie interakce je nenulová pouze v případě, že buňky nejsou magneticky ekvivalentní. Interakce Dzyaloshinskii-Moriya se projevuje v určitých antiferomagnetech. Výsledkem je výskyt slabé spontánní magnetizace . Tento efekt se nazývá slabý feromagnetismus , protože výsledná magnetizace je desetiny procenta magnetizace u typických feromagnetik. Slabý feromagnetismus se projevuje v hematitu , uhličitanech kobaltu , manganitech , ortoferitech a některých dalších kovech [38] [39] [40] . Úhel mezi magnetickými podmřížky vyjádřený v radiánech v případě slabého feromagnetismu se řádově rovná anizotropii Landeova faktoru. [41]

Nepřímá výměna

Přímá a nepřímá výměna

Výměna energie je v kvantové mechanice sčítání energie systému interagujících částic v důsledku překrývání vlnových funkcí při nenulové hodnotě celkového spinu systému částic. V případě přímého překrývání dvou vlnových funkcí hovoří o přímé výměně (Heisenberg), v případě přítomnosti zprostředkující částice, jejímž prostřednictvím dochází k interakci, hovoříme o nepřímé výměně . [42] Nepřímá výměna může být zprostředkována diamagnetickými ionty (jako kyslík O 2− ) nebo vodivostními elektrony. První případ teoreticky zvažovali Kramers (1934) a Anderson (50. léta) a druhý předpověděli Ruderman a Kittel (1954). Ve skutečných krystalech jsou do určité míry přítomny všechny typy výměny. [43] [5] Vnitřní povaha interakce má malý vliv na popis makroskopických systémů, protože výraz ( HeisGam ) má obecný charakter a konkrétní typ směny (nepřímá nebo přímá) je určen analytickým výrazem. pro J 12 .

Interakce superexchange

Většina fero- a ferimagnetických dielektrik se skládá z magnetických 3d- a dalšími-Cl,-Br,2Ooddělených takovými nemagnetickými ionty jakoiontů 3d orbitalů magnetických iontů a p orbitalů nemagnetických iontů. Orbitaly se hybridizují a jejich elektrony se stávají společnými pro několik iontů. Taková interakce se nazývá superexchange . Jeho znaménko (tedy zda je dielektrikum fero- nebo antiferomagnetikum) je určeno typem d-orbitalů, počtem elektronů v nich a úhlem, pod kterým je pár magnetických iontů viditelný z místa, kde se nachází nemagnetický iont. [44]

Dvojitá výměna

Oxidy přechodných kovů mohou být jak vodiče, tak dielektrika. Supervýměnná interakce probíhá v dielektriku. Řízením dopování je však možné dosáhnout přechodu oxidu do vodivého stavu. U manganitanů lanthanitých typu La 1 – x Ca x MnO 3 mohou mít některé ionty manganu při určitých hodnotách parametru x valenci 3+ a jiné 4+. Výměnná interakce mezi nimi, prováděná prostřednictvím iontů O2- , se nazývá dvojitá výměna . Tyto sloučeniny budou také fero- nebo antiferomagnetické, v závislosti na hodnotě x . Feromagnetické uspořádání nastane, pokud jsou celkové spiny 3- a 4-valenčních iontů kosměrné, zatímco 4. elektron může být delokalizován. Jinak je lokalizován na iontu s nižší valenci. Pro La 1 – xSr x MnO 3 dochází k přechodu z antiferomagnetické do feromagnetické fáze při (vyšší hodnoty x odpovídají feromagnetiku). [45] $x\cca 0,1$

Interakce s výměnou RKKI

Prvky vzácných zemin mají částečně vyplněný orbital 4f , jehož charakteristická velikost je mnohem menší než meziatomové vzdálenosti v krystalové mřížce. Proto 4f elektrony sousedních iontů spolu nemohou přímo interagovat. Výměnná interakce mezi nimi se uskutečňuje pomocí vodivostních elektronů . Každý iont vzácných zemin vytváří ve své blízkosti poměrně silné efektivní pole, které polarizuje vodivostní elektrony. Taková nepřímá výměnná interakce mezi 4f elektrony se nazývá interakce Rudermann-Kittel-Kasuya-Yoshida (RKKY-výměnná interakce). [46] Zda bude kov fero- nebo antiferomagnet, závisí na struktuře 4f-pásma a vzdálenosti mezi ionty Závislost výměnného integrálu na součinu vlnového vektoru elektronů na Fermiho hladině k F a Obr. vzdálenost mezi magnetickými ionty a má střídavě kmitavý charakter. To zejména vysvětluje existenci šroubovicových a některých dalších magnetických struktur. Interakce RKKY v podstatě závisí na koncentraci volných nosičů náboje a může mít mnohem větší dosah než přímá výměna [47] . $J(k_{F}a)$

Výměna interakce v jaderné fyzice

Projevy výměnného charakteru silné interakce jsou výměna nukleonů při srážkách s elektrickými náboji, projekce spinů a prostorových souřadnic a také fenomén saturace jaderných sil. Působením výměnných sil je izotop nestabilní, jelikož jeden nukleon je díky Pauliho principu ve stavu, kdy jsou výměnné síly odpudivé [48] . $On_{{2}}^{{5}}$ $P$

Viz také

Poznámky

↑ Stöhr, Siegmann, 2006 , pp. 167, 175-176.
↑ Interakce výměny // Chemická encyklopedie : v 5 svazcích / kap. vyd. I. L. Knunyants . - M . : Velká ruská encyklopedie , 1992. - T. 3: Měď - Polymer. — 639 s. - 48 000 výtisků. — ISBN 5-85270-039-8 .
↑ 1 2 3 4 5 Heisenbergův model – článek z Fyzické encyklopedie
↑ 12 Mattis , 2006 , s. 438-439.
↑ 1 2 Nepřímá výměnná interakce – článek z Fyzické encyklopedie
↑ Stöhr, Siegmann, 2006 , s. 168.
↑ Gurevich A. G., Melkov G. A. Magnetické oscilace a vlny. - M. : Fizmatlit, 1994. - S. 194. - 464 s. — ISBN 5-02-014366-9 .
↑ Výměna interakce // Velká sovětská encyklopedie : [ve 30 svazcích] / kap. vyd. A. M. Prochorov . - 3. vyd. - M .: Sovětská encyklopedie, 1969-1978.
↑ Stöhr, Siegmann, 2006 , pp. 169-170, 207.
↑ Blokhintsev, 1976 , s. 527.
↑ Stöhr, Siegmann, 2006 , pp. 171-172.
↑ Blokhintsev, 1976 , s. 527-530.
↑ Stöhr, Siegmann, 2006 , pp. 172-175.
↑ Stöhr, Siegmann, 2006 , pp. 177-178.
↑ 1 2 Stöhr, Siegmann, 2006 , s. 176.
↑ Řešení pro grafování spekter Pracovní list pro studenty, část II . NASA Imagine The Universe . NASA. Goddard Space Flight Center. Datum přístupu: 11. ledna 2012. Archivováno z originálu 28. dubna 2012.
↑ 1 2 Molekulární spektra – článek z Fyzikální encyklopedie
↑ Stöhr, Siegmann, 2006 , pp. 177-180.
↑ Blokhintsev, 1976 , s. 533-535.
↑ Baryakhtar a kol., 1984 , s. 18-19.
↑ Stöhr, Siegmann, 2006 , pp. 192-193.
↑ Marcel Gielen, Rudolf Willem, Bernd Wrackmeyer. Neobvyklé struktury a fyzikální vlastnosti v organokovové chemii . - John Wiley and Sons, 2002. - S. 223 . — 425 s. - (Fyzikální organokovová chemie). — ISBN 9780471496359 .
↑ Akhiezer a kol., 1967 , str. 18-20.
↑ 1 2 Akhiezer a kol., 1967 , str. 20-21.
↑ Baryakhtar a kol., 1984 , s. dvacet.
↑ Akhiezer a kol., 1967 , str. 22.
↑ Baryakhtar a kol., 1984 , s. 21-22.
↑ 1 2 Yosida, 1996 , str. 68.
↑ Mattis, 2006 , s. 439-440.
↑ Mattis, 2006 , s. 440-441.
↑ Stöhr, Siegmann, 2006 , s. 501.
↑ Yosida, 1996 , pp. 34-37.
↑ Kosevich A. M., Ivanov B. A., Kovalev A. S. Nelineární vlny magnetizace. Dynamické a topologické solitony. - K . : Naukova Dumka, 1983. - S. 9-10. — 192 s. - 1700 výtisků.
↑ 12 Buschow , 2005 , s. 392.
↑ Yosida, 1996 , str. 34.
↑ Yosida, 1996 , str. 56.
↑ Yosida, 1996 , pp. 57-58.
↑ de Lacheisserie et al., 2005 , str. 314-315.
↑ Magnetismus - článek z Fyzikální encyklopedie
↑ Slabý feromagnetismus – článek z fyzikální encyklopedie
↑ Yosida, 1996 , str. 59.
↑ Stöhr, Siegmann, 2006 , s. 274.
↑ Vonsovský, 1971 , s. 524-525.
↑ de Lacheisserie et al., 2005 , pp. 313-314.
↑ de Lacheisserie et al., 2005 , pp. 318-319.
↑ de Lacheisserie et al., 2005 , pp. 315-317.
↑ Interakce RKKI-exchange - článek z Fyzické encyklopedie
↑ Shirokov Yu. M. , Yudin N. P. Nukleární fyzika, M., Nauka, 1972, kapitola 5. Jaderné síly

Literatura

Akhiezer A. I. , Baryakhtar V. G., Peletminsky S. V. Spinové vlny. - M. : Nauka, 1967. - 368 s. — 10 000 výtisků.
Baryakhtar VG, Krivoruchko VN, Yablonsky DA Greenovy funkce v teorii magnetismu. - K . : Naukova Dumka, 1984. - 336 s.
Blokhintsev D. I. Základy kvantové mechaniky. - Ed. 5., revidovaný. — M .: Nauka, 1976. — 664 s. — 34 000 výtisků.
Vonsovský S. V. Magnetismus. - M. , 1971.
Landau L. D. , Lifshits E. M. "Teoretická fyzika" , v 10 svazcích, v. 3 "Kvantová mechanika (nerelativistická teorie)", 5. vydání. stereotype., M., Fizmatlit, 2002, 808 s., ISBN 5-9221-0057-2 (sv. 3) kap. 9 "Identita částic", str. 62 "Výměnná interakce", str. 285-290.
de Lacheisserie E., Gignoux D., Schlenker M. Magnetism: Fundamentals. - Springer, 2005. - Sv. 1. - 507 str. - (magnetismus). — ISBN 9780387229676 .
Stöhr, J. and Siegmann, H.C. Magnetism: From Fundamentals to Nanoscale Dynamics. - Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2006. - Sv. 152. - 820 s. - (Springerova řada ve vědách o pevné fázi). —ISBN 978-3540302827.
Mattis, DC Zjednodušená teorie magnetismu: úvod do fyzikálních pojmů a do některých užitečných matematických metod. - World Scientific, 2006. - 565 s. — ISBN 9789812385796 .
Wolfgang Nolting, Anupuru Ramakanth. Kvantová teorie magnetismu. - Springer, 2009. - 752 s. — ISBN 9783540854159 .
KHJ Buschow. Stručná encyklopedie magnetických a supravodivých materiálů . — 2. - Elsevier, 2005. - S. 254 . — 1339 s. — ISBN 9780080445861 .
Kei Yoshida. Teorie magnetismu. - Springer, 1996. - 320 s. — ISBN 9783540606512 .

Články

W. Heisenberg. Über die Spektra von Atomsystemen mit zwei Elektronen (německy) // Zeitschrift für Physik : magazin. - 1926. - 26. října ( Bd. 39 ). - S. 499-518 . - doi : 10.1007/BF01322090 .
W. Heisenberg, P. Jordan. Anwendung der Quantenmechanik auf das Problem der anomalen Zeemaneffekte (německy) // Zeitschrift für Physik : magazín. - 1926. - 16. března ( Bd. 37 ). - S. 263-277 . - doi : 10.1007/BF01397100 .
W. Heitler, F. London,. Wechselwirkung neutraler Atome und homöopolare Bindung nach der Quantenmechanik (německy) // Zeitschrift für Physik : magazin. - 1927. - 30. června ( Bd. 44 ). - S. 455-472 . - doi : 10.1007/BF01397394 .

Odkazy

Výměna interakce v magnetismu - článek z fyzické encyklopedie
Výměna interakce - Chemická encyklopedie