Filtr s nekonečnou impulsní odezvou

Filtr s nekonečnou impulsní odezvou ( Rekurzivní filtr , IIR filtr ) nebo IIR filtr (IIR zkratka pro nekonečnou impulsní odezvu - nekonečná impulsní odezva) - lineární elektronický filtr využívající jeden nebo více svých výstupů jako vstup, to znamená, že tvoří zpětnou vazbu . Hlavní vlastností takových filtrů je, že jejich impulsní odezva má nekonečnou délku v časové oblasti a přenosová funkce má zlomkový racionální tvar. Tyto filtry mohou být buď analogové nebo digitální .

Příklady IIR filtrů jsou Chebyshevův filtr , Butterworthův filtr , Kalmanův filtr a Besselův filtr .

Popis

Dynamický výkon

Diferenční rovnice popisující diskrétní IIR filtr stanoví vztah mezi vstupními a výstupními signály v časové oblasti:

y(n)=b_{{0}}x(n)+b_{{1}}x(n-1)+\cdots +b_{{P}}x(nP)-a_{{1}}y (n-1)-a_{{2}}y(n-2)-\cdots -a_{{Q}}y(nQ)

kde je pořadí vstupního signálu, jsou koeficienty vstupního signálu, je pořadí zpětné vazby, jsou koeficienty zpětné vazby , je vstupní signál a je výstupní signál. $P$ $bi}}$ $Q$ $a_{{i}}$ $x(n)$ $y(n)$

Kompaktnější zápis diferenční rovnice:

y(n)=\součet _{{i=0}}^{P}b_{{i}}x(ni)-\součet _{{k=1}}^{Q}a_{{k}} y(nk)

Abychom našli jádro filtru , nastavili jsme

x(n)=\delta(n)

kde je funkce delta . $\delta(n)$

Poté je funkce přechodu impulsů (jádro filtru) zapsána jako

h(n)=\součet _{{i=0}}^{P}b_{{i}}\delta (ni)-\součet _{{k=1}}^{Q}a_{{k} }h(nk)

Z-transformace impulsní odezvy udává přenosovou funkci IIR filtru:

H(z)={\frac {\součet _{{i=0}}^{P}b_{{i}}z^{{-i}}}{1+\součet _{{k=1} }^{Q}a_{{k}}z^{{-k}}}}

Udržitelnost

Stabilita filtru s nekonečnou impulsní odezvou se posuzuje podle jeho přenosové funkce . Pro diskrétní filtr je nutné a postačující, aby všechny póly jeho přenosové funkce modulo byly menší než jedna (tj. ležely uvnitř jednotkové kružnice v rovině z ). Všechna kritéria stability použitelná v teorii lineárních stacionárních systémů , jako je Nyquistovo kritérium stability nebo Routhovo kritérium stability, jsou aplikovatelná i v případě IIR filtrů.

Na rozdíl od FIR filtrů nejsou IIR filtry vždy robustní.

Implementace IIR filtru

Pokud je uvažována přenosová funkce formuláře:

H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {\sum _{{k=0}}^{{M}}b_{{k}}z^ {{-k}}}{1+\sum _{{k=1}}^{{N}}a_{{k}}z^{{-k}}}}={\frac {B(z )}{A(z)}},

pak poměr mezi vstupem a výstupem takového systému musí splňovat diferenční rovnici:

y(n)=-\sum _{k=1}^{N}a(k)y(nk)+\sum _{k=0}^{M}b(k)x(nk)

Tuto rovnici lze napsat přímo z výrazu pro přenosovou funkci, takže forma sestavení obvodu odpovídající této rovnici se nazývá přímý tvar 1.

Při konstrukci IIR filtru můžeme pro jednoduchost předpokládat, že M=N. IIR filtry lze implementovat pomocí tří prvků nebo základních operací: násobiče, sčítačky a bloku zpoždění. Tyto prvky jsou dostatečné pro všechny možné digitální filtry. Možnost znázorněná na obrázku je přímou implementací IIR filtrů typu 1.

Protože množiny koeficientů b(k) a a(k) odpovídají polynomům čitatele B(z) a jmenovatele A(z) přenosové funkce H(z), přímý tvar IIR filtru znázorněný v obrázek lze interpretovat jako kaskádové zapojení dvou okruhů. První z nich implementuje nuly a má přenosovou funkci B(z) a druhý implementuje póly a má přenosovou funkci 1/A(z). Označením výstupního signálu prvního systému w(n) lze diferenční rovnici nahradit soustavou rovnic:

y(n)=-\sum _{k=1}^{N}a(k)y(nk)+w(n),

w(n)=\sum _{k=0}^{M}b(k)x(nk)

který je realizován strukturou znázorněnou na obrázku.

V diskrétních systémech s konstantními parametry nezávisí poměr mezi vstupem a výstupem na pořadí kaskádového spojení bloků. Z této vlastnosti vyplývá druhá přímá forma konstrukce IIR filtru. Pokud si nejprve uvědomíme póly H(z) odpovídající pravé straně blokového schématu horního obrázku, který má přenosovou funkci 1/A(z), a poté nuly přenosové funkce B(z), pak dostaneme strukturu znázorněnou na obrázku 2, která odpovídá rovnicím systému:

w(n)=-\sum _{k=1}^{N}a(k)w(nk)+x(n),

y(n)=\sum _{k=0}^{M}b(k)w(nk).

Kombinací zpožďovacích linek ve struktuře zobrazené na horním obrázku získáme přímou kanonickou formu IIR filtru:

V některých případech je z hlediska šumového výkonu filtr implementovaný v přímé formě lepší než v kanonické formě.

Viz také

Odkazy

Pátý modul kurzu BORES Signal Processing DSP - Úvod do DSP Archivováno 6. července 2012 na Wayback Machine