Čebyševův filtr

Čebyševův filtr [K 1] - jeden z typů lineárních analogových nebo digitálních filtrů , jehož charakteristickým rysem je strmější sklon amplitudově-frekvenční charakteristiky (AFC) a výrazné zvlnění amplitudově-frekvenční charakteristiky na frekvencích propustného pásma (Chebyshev filtr prvního druhu) a potlačení (Čebyševův filtr druhého druhu) než filtry jiných typů. Filtr byl pojmenován po slavném ruském matematikovi 19. století Pafnuty Lvoviči Čebyševovi , protože vlastnosti tohoto filtru jsou založeny na Čebyševových polynomech .

Čebyševovy filtry se obvykle používají tam, kde je požadováno zajistit požadovanou charakteristiku frekvenční charakteristiky filtrem nízkého řádu, zejména dobré frekvenční potlačení z pásma potlačení, přičemž plynulost frekvenční odezvy v propustném pásmu a frekvencích potlačení není tak důležitá. .

Existují Čebyševovy filtry I a II rodů.

Čebyševův filtr prvního druhu

Jedná se o běžnější modifikaci Čebyševových filtrů. Frekvenční odezva takového filtru třetího řádu je dána následujícím výrazem: $n$

G_n(\omega) = \left | H_n(j\omega)\vpravo | = \frac{1}{\sqrt{1+\varepsilon^2 T_n^2\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)))

kde je exponent zvlnění, je mezní frekvence a je Čebyševův polynom tého řádu. $\varepsilon$ $\omega_0$ $T_{n}(x)$ $n$

V propustném pásmu takového filtru jsou viditelné zvlnění, jehož amplituda je určena faktorem zvlnění . V propustném pásmu nabývají Čebyševovy polynomy hodnoty od 0 do 1, takže zisk filtru nabývá hodnot od maxima do minima . Na mezní frekvenci má zesílení hodnotu a na frekvencích nad ní dále klesá s rostoucí frekvencí. ( Poznámka : obvyklá definice mezní frekvence jako frekvence, kdy je LAFC -3 dB v případě Čebyševova filtru nefunguje). $\varepsilon$ $G=1$ $G=1/\sqrt{1+\varepsilon^2}$ $\omega_0$ $1/\sqrt{1+\varepsilon^2}$

V případě analogového elektronického Čebyševova filtru se jeho řád rovná počtu reaktivních složek (například induktorů ) použitých při jeho implementaci.

Zvlnění v propustném pásmu se často udává v decibelech :

Zvlnění v dB = . ${\displaystyle 20\log _{10}{\sqrt {1+\varepsilon ^{2))))$

Například vlnění s amplitudou 3 dB odpovídá . $\varepsilon=1$

Strmějšího rolloffu lze dosáhnout, pokud je povoleno zvlnění nejen v propustném pásmu, ale také v pásmu potlačení, přidáním nul k přenosové funkci filtru na imaginární ose v komplexní rovině. To však povede k méně účinnému potlačení v potlačovacím pásmu. Výsledným filtrem je eliptický filtr , také známý jako Cauerův filtr. $j\omega$

Póly a nuly

Pro jednoduchost budeme brát mezní frekvenci rovnou jednotce. Póly Čebyševova filtru jsou nulami jeho jmenovatele. Pomocí komplexní frekvence dostaneme: $(\omega_{pm})$ $s$

1+\varepsilon^2T_n^2(-js)=0

Předložením a použitím trigonometrické definice Čebyševových polynomů dostaneme: $-js=\cos(\theta)$

1+\varepsilon^2T_n^2(\cos(\theta))=1+\varepsilon^2\cos^2(n\theta)=0

Pojďme vyřešit poslední výraz s ohledem na $\theta$

\theta=\frac{1}{n}\arccos\left(\frac{\pm j}{\varepsilon}\right)+\frac{m\pi}{n}

Potom se póly Čebyševova filtru určí z následujícího výrazu:

s_{pm}=i\cos(\theta)=

=i\cos\left(\frac{1}{n}\arccos\left(\frac{\pm j}{\varepsilon}\right)+\frac{m\pi}{n}\right)

Pomocí vlastností goniometrických a hyperbolických funkcí zapíšeme poslední výraz v komplexním tvaru:

s_{pm}^\pm= \pm\,\mathop{\mathrm{sh}}\left(\frac{1}{n}\mathop{\mathrm{arsh}}\left(\frac{1}{ \varepsilon}\right)\right)\sin(\theta_m)+

+j\mathop{\mathrm{ch}}\left(\frac{1}{n}\mathop{\mathrm{arsh}}\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right)\ cos(\theta_m)

kde a $m=1,\;2,\;\ldots,\;n$

\theta_m=\frac{\pi}{2}\,\frac{2m-1}{n}

Tento výraz lze považovat za parametrickou rovnici s parametrem . Ukazuje, že póly leží na elipse v -rovině, se středem elipsy v bodě , poloosa skutečné osy má délku a poloosa imaginární osy má délku . $\Opalování$ $s$ $s=0$ $\mathop{\mathrm{sh}}(\mathop{\mathrm{arsh}}(1/\varepsilon)/n)$ $\mathop{\mathrm{ch}}(\mathop{\mathrm{arsh}}(1/\varepsilon)/n)$

Přenosová funkce

Výše odvozená rovnice obsahuje póly související se ziskem komplexního filtru . Pro každý pól existuje komplexně sdružený pár a pro každý komplexně sdružený pár dva póly, které se od nich liší pouze znaménkem reálné části pólu. Přenosová funkce musí být stabilní, to znamená, že její póly musí mít zápornou reálnou část, tedy ležet v levé polorovině komplexní roviny. Přenosová funkce je v tomto případě dána následujícím výrazem: $G$

H(s)=\prod_{m=0}^{n-1}\frac{1}{(s-s_{pm}^-)}

kde jsou pouze ty póly, které mají negativní reálnou část. $s_{pm}^-$

Skupinové zpoždění

Skupinové zpoždění je definováno jako mínus derivace fáze filtru s ohledem na frekvenci a je mírou fázového zkreslení signálu na různých frekvencích.

\tau_g=-\frac{d}{d\omega}\arg(H(j\omega))

Charakteristiky fází

Fázové charakteristiky Čebyševova filtru prvního druhu - fázově frekvenční odezva (PFC) a fázové zpoždění - jsou uvedeny na obrázku. Fázová odezva ukazuje frekvenční rozložení fázového posunu výstupního signálu vzhledem ke vstupu. Fázové zpoždění je definováno jako podíl dělení fázové odezvy frekvencí a charakterizuje frekvenční rozložení časového posunu výstupního signálu vzhledem ke vstupu.

\tau_{\varphi}=\frac{\arg H(j\omega)}{\omega}

Časové charakteristiky

Časové charakteristiky Čebyševova filtru prvního druhu - impulsní přechodová funkce a přechodová funkce - jsou znázorněny na obrázku. Impulzní přechodová funkce je odezvou filtru na vstupní signál ve formě Diracovy delta funkce a přechodová funkce je odezvou na vstupní akci ve formě Heavisideovy jednotkové funkce .

Čebyševův filtr druhého druhu

Čebyševův filtr typu II ( inverzní Čebyševův filtr ) se používá méně často než Čebyševův filtr typu I kvůli méně strmému kolísání amplitudové odezvy, což vede ke zvýšení počtu komponent. Nemá žádné zvlnění v propustném pásmu, ale je přítomen v potlačovacím pásmu. Amplitudová charakteristika takového filtru je dána následujícím výrazem:

G_n(\omega,\;\omega_0) = \frac{1}{\sqrt{1+ \frac{1} {\varepsilon^2 T_n ^2 \left ( \omega_0 / \omega \right )))}

V potlačovacím pásmu nabývají Chebyševovy polynomy hodnot od 0 do 1, díky čemuž amplitudová charakteristika takového filtru nabývá hodnot od nuly do

\frac{1}{\sqrt{1+ \frac{1}{\varepsilon^2))}

minimální frekvence, při které je tohoto maxima dosaženo, je mezní frekvence . Parametr souvisí s útlumem stoppásma v decibelech následujícím výrazem: $\omega_0$ $\varepsilon$ $\gamma$

\varepsilon = \frac{1}{\sqrt{10^{0,\!1\gamma}-1}}

Pro útlum při 5 dB mezních frekvencích: ; pro útlum 10 dB: . Frekvence je mezní frekvence. Frekvence útlumu 3 dB souvisí s následujícím výrazem: $\varepsilon=0,\!6801$ $\varepsilon=0,\!3333$ $f_C=\omega_C/(2\pi)$ $f_H$ $f_C$

f_H = f_C\,\mathop{\mathrm{ch}}\left(\frac{1}{n}\mathop{\mathrm{ch}}^{-1}\frac{1}{\varepsilon}\vpravo )

Póly a nuly

Když vezmeme mezní frekvenci rovnou jedné, získáme výraz pro póly Čebyševova filtru: $(\omega_{pm})$

1+\varepsilon^2T_n^2(-1/js_{pm})=0

Póly Čebyševova filtru druhého druhu jsou „inverzí“ pólů Čebyševova filtru prvního druhu:

\frac{1}{s_{pm}^\pm}= \pm\,\mathop{\mathrm{sh}}\left(\frac{1}{n}\mathop{\mathrm{arsh}}\left (\frac{1}{\varepsilon}\right)\right)\sin(\theta_m)+

+j\mathop{\mathrm{ch}}\left(\frac{1}{n}\mathop{\mathrm{arsh}}\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right)\ cos(\theta_m)

kde . $m=1,\;2,\;\ldots,\;n$

Nuly Čebyševova filtru druhého druhu jsou určeny z následujícího vztahu: $(\omega_{zm})$

\varepsilon^2T_n^2(-1/js_{zm})=0

Nuly Čebyševova filtru druhého druhu jsou „inverzí“ nul Čebyševových polynomů:

1/s_{zm} = \cos\left(\frac{\pi}{2}\,\frac{2m-1}{n}\right)

kde . $m=1,\;2,\;\ldots,\;n$

Přenosová funkce

Přenosová funkce je specifikována pomocí pólů v levé polorovině komplexní roviny, její nuly se shodují s nulami modulu amplitudové charakteristiky, jen s tím rozdílem, že jejich řád je roven 1.

Skupinové zpoždění

Amplitudová odezva a skupinové zpoždění jsou zobrazeny v grafu. Je vidět, že zvlnění amplitudy je v pásmu odmítnutí a ne v propustném pásmu.

Charakteristiky fází

Fázové charakteristiky Čebyševova filtru druhého druhu - fázově-frekvenční odezva a fázové zpoždění - jsou znázorněny na obrázku. Fázová odezva ukazuje frekvenční rozložení fázového posunu výstupního signálu vzhledem ke vstupu. Fázové zpoždění je definováno jako podíl dělení fázové odezvy frekvencí a charakterizuje frekvenční rozložení časového posunu výstupního signálu vzhledem ke vstupu.

Časové charakteristiky

Časové charakteristiky Čebyševova filtru druhého druhu - impulsní přechodová funkce a přechodová funkce - jsou znázorněny na obrázku. Impulzní přechodová funkce je odezvou filtru na vstupní signál ve formě Diracovy delta funkce a přechodová funkce je odezvou na vstupní akci ve formě Heavisideovy jednotkové funkce .

Čebyševovy digitální filtry

Čebyševovy filtry jsou často implementovány v digitální podobě. Aby bylo možné přejít z analogového filtru na digitální, je nutné provést bilineární transformaci na každém stupni filtru . Celý filtr je získán zapojením kaskád do série. Jednoduchý příklad dolní propusti Čebyševova filtru prvního druhu sudého řádu :

Z - transformace každé kaskády:

S(Z) =\frac{a(Z)}{b(Z)}=\frac{\alpha_0 + \alpha_1 \cdot Z^{-1}+ \alpha_2 \cdot Z^{-2}}{1 + \beta_1 \cdot Z^{-1} + \beta_2 \cdot Z^{-2}}

V časové oblasti je transformace zapsána jako:

y[n]=\alpha_0 \cdot x[0] + \alpha_1 \cdot x[-1] + \alpha_2 \cdot x[-2] - \beta_1 \cdot y[-1] - \beta_2 \cdot y[ -2]

Koeficienty a se počítají z koeficientů a : $\alpha_i$ $\beta _{i}$ $a_{i}$ $bi}$

K = \mathop{\mathrm{tg}}\left( \pi \frac{\mbox{Frequency}}{\mbox{SampleRate}}\right)

\mbox{temp}_i =\cos\frac{(2i+1)\pi}{n}

b_i = \frac{1}{\mathop{\mathrm{ch}}^2\gamma-\mbox{temp}_i ^2}

a_i = K \cdot b_i \cdot \mathop{\mathrm{sh}}\,\gamma \cdot 2\,\mbox{temp}_i

\alpha_0 = K \cdot K

\alpha_1 = 2 \cdot K^2

\alpha_2 = K \cdot K

\beta_0^\prime = (a_i + K^2 + b_i)

\beta_1^\prime = 2 \cdot (b_i - K^2)

\beta_2^\prime = (a_i - K^2 - b_i)

\beta_1 = \beta_1^\první / \beta_0^\první

\beta_2 = \beta_2^\primární / \beta_0^\primární

Pro získání Čebyševova filtru vyššího řádu je nutné zapojit několik stupňů do série.

Porovnání s jinými lineárními filtry

Níže jsou uvedeny grafy frekvenční odezvy Čebyševova filtru rodů I a II ve srovnání s některými jinými filtry se stejným počtem koeficientů:

Grafy ukazují, že amplitudové charakteristiky Čebyševových filtrů mají strmější sklon než Butterworthovy filtry , ale ne tak strmý jako eliptický filtr .

Viz také

Komentáře

↑ Na rozdíl od běžné výslovnosti vědcova starého šlechtického příjmení - Čebyšev [1] [2] [3] - s důrazem na první slabiku ( Chébyšev ), kvůli tendenci charakteristické pro 20. století oddělovat příjmení na -ov / -ev z původních přivlastňovacích adjektiv [2 ] _ _ _ _ _ _ _ _ fixovat pravopis a výslovnost [7][6][5][4]Čebyševa .

Poznámky

↑ Čebyšev Pafnuty Lvovič / B. V. Gnedenko // Čagan - Aix-les-Bains. - M . : Sovětská encyklopedie, 1978. - ( Velká sovětská encyklopedie : [ve 30 svazcích] / šéfredaktor A. M. Prochorov ; 1969-1978, sv. 29). . - V názvu článku: " Čebyšev (vyslov Čebyšev ) Pafnuty Lvovich ..."
↑ 1 2 Unbegaun, B. O. Ruská příjmení / přel. z angličtiny. L. V. Kurkina , V. P. Nerozňák , E. R. Squires ; vyd. N. N. Popov . - M .: Progress, 1989. - S. 349. - ISBN 5-01-001045-3 .
↑ Kalitkin, N. N. Numerické metody: učebnice. — 2. vyd., opraveno. - Petrohrad. : BHV-Petersburg, 2011. - S. 33 [ Čebyševův systém funkcí ], 465 [ Čebyševův soubor kroků ], 552 [ Čebyševovo kritérium ], 574 [ Čebyševovy polynomy ] . — (Naučná literatura pro vysoké školy). - ISBN 978-5-9775-0500-0 .
↑ Čebyšev [ Čebyševovy polynomy , Čebyševův vzorec ]; Chebyshevsky // Ruský pravopisný slovník / Ruská akademie věd. Ústav ruského jazyka . V. V. Vinogradova ; vyd. V. V. Lopatina , O. E. Ivanova . - Ed. 4., rev. a doplňkové - M . : AST-PRESS KNIGA, 2013. - S. 819. - (Základní slovníky ruského jazyka). - ISBN 978-5-462-01272-3 .
↑ Ageenko, F. L. Chebyshev Pafnyuty // Vlastní jména v ruštině: slovník přízvuků. - M . : Nakladatelství NTs ENAS, 2001. - S. 349. - ISBN 5-93196-107-0 .
↑ Journal of Computational Mathematics and Mathematical Physics. - M . : Nakladatelství Akademie věd SSSR, 1982. - T. 22, č. 1. - S. 142 [ Čebyšev střed souboru ].
↑ Matematická sbírka. - M .: Nauka, 2004. - T. 195. - S. 29 [ Chebyshev alternance ], 56-57 [ Chebyshev method ].

Bibliografie

Krivitsky, B. Kh. Referenční kniha o teoretických základech rádiové elektroniky. - M .: Energie, 1977.
Lucas, V. A. Teorie automatického řízení. — M. : Nedra, 1990.
Daniels, Richard W. Aproximační metody pro návrh elektronického filtru. - New York: McGraw-Hill, 1974. - ISBN 0-07-015308-6 .
Higgins, Richard J. Digitální zpracování signálu ve VLSI. - Paramus, NJ : Prentice-Hall, 1990. - ISBN 0-13-212887-X .
Haykin, S. Teorie adaptivního filtru. — 4. vyd. - Paramus, NJ : Prentice-Hall, 2001. - ISBN 0-13-090126-1 .
Honig, Michael L.; Messerschmitt, David G. Adaptivní filtry - struktury, algoritmy a aplikace. - Hingham, MA: Kluwer Academic Publishers, 1984. - ISBN 0-89838-163-0 .
Markel, JD; Gray Jr., A.H. Lineární predikce řeči. - New York: Springer-Verlag, 1982. - ISBN 0-387-07563-1 .
Oppenheim, A. V.; Schafer, RW digitální zpracování signálu. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1975. - ISBN 0-13-214635-5 .
Proakis, John G.; Manolakis, Dimitris G. Úvod do digitálního zpracování signálu. - Paramus, NJ : Prentice-Hall, 1988. - ISBN 0-02-396815-X .
Rabiner, L. R .; Schafer, R. W. Digitální zpracování řečových signálů. - Paramus, NJ : Prentice-Hall, 1978. - ISBN 0-13-213603-1 .
Rabiner, L. R.; Gold, B. Teorie a aplikace číslicového zpracování signálů. - Paramus, NJ : Prentice-Hall, 1986. - ISBN 0-13-914101-4 .
Rorabaugh, Britton C. Aproximační metody pro návrh elektronického filtru. - New York: McGraw-Hill, 1999. - ISBN 0-07-054004-7 .
Smith, Steven W. Vědecký a inženýrský průvodce digitálním zpracováním signálu . — 2. vyd. - San Diego: California Technical Publishing, 1999. - ISBN 0-9660176-4-1 .
Widrow, B.; Stearns, SD adaptivní zpracování signálu. - Paramus, NJ : Prentice-Hall, 1985. - ISBN 0-13-004029-0 .

Odkazy

Jak vypočítat rekurzivní filtry? (nedostupný odkaz) . NGU . Získáno 14. února 2014. Archivováno z originálu 30. listopadu 2013. (neurčitý)
Klasifikace filtrů . Analogové měřicí přístroje. Staženo: 14. února 2014. (neurčitý)
Přednáška o digitální filtraci . DSP.sut.ru. Datum přístupu: 14. února 2014. Archivováno z originálu 12. března 2007. (neurčitý)
Výpočet Čebyševova filtru prvního druhu s příklady . Dsplib.ru. Staženo: 14. února 2014. (neurčitý)
Výpočet Čebyševova filtru druhého druhu s příklady . Dsplib.ru. Staženo: 14. února 2014. (neurčitý)
Nízkopropustné filtry . Gaw.ru (trh mikroelektroniky). Staženo: 14. února 2014. (neurčitý)
Čebyševovy filtry . Texas Instruments. Datum přístupu: 14. února 2014. Archivováno z originálu 5. srpna 2012. (neurčitý) (Angličtina)