Eliptický filtr

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 29. října 2019; kontroly vyžadují 4 úpravy .

Eliptický filtr ( Cauerův filtr nebo Zolotarevův filtr nebo Zolotarevův-Cauerův filtr ) je elektronický filtr , jehož charakteristickým rysem je zvlnění amplitudově-frekvenční charakteristiky jak v propustném , tak v potlačovacím pásmu . Velikost pulsací v každém z pásem je na sobě nezávislá. Dalším charakteristickým znakem takového filtru je velmi strmý rolloff amplitudové charakteristiky, takže s tímto filtrem můžete dosáhnout efektivnějšího frekvenčního oddělení než s jinými lineárními filtry.

Pokud jsou vlnky v potlačovacím pásmu rovné nule, pak se eliptický filtr stane Čebyševovým filtrem prvního druhu . Pokud je zvlnění v propustném pásmu nulové, pak se filtr stane Čebyševovým filtrem druhého druhu. Pokud v celé amplitudové charakteristice nedochází k žádnému zvlnění, pak se filtr stane Butterworthovým filtrem .

Frekvenční odezva eliptické dolní propusti je funkcí kruhové frekvence ω a je dána vztahem:

G_{n}(\omega )={1 \over {\sqrt {1+\epsilon ^{2}R_{n}^{2}(\xi ,\omega /\omega _{0))))) }

kde R n je racionální eliptická funkce řádu n a

\omega_0

- mezní frekvence

\epsilon

— faktor zvlnění _

\xi

- faktor selektivity _

Hodnota indexu zvlnění určuje zvlnění v propustném pásmu, zatímco zvlnění v pásmu potlačení závisí jak na indexu zvlnění, tak na indexu selektivity.

Vlastnosti

V propustném pásmu eliptická funkce mění hodnoty z nuly na jednu. Frekvenční odezva v propustném pásmu se proto liší od jednotek do . $1/{\sqrt {1+\epsilon ^{2}}}$

V pásmu potlačení eliptická funkce mění hodnoty z nekonečna na hodnotu , která je definována jako: $L_{n}$

L_{n}=R_{n}(\xi ,\xi )

Frekvenční odezva v pásmu potlačení tak mění hodnoty z nuly na .

1/{\sqrt {1+\epsilon ^{2}L_{n}^{2))}

Limitní případ změní eliptickou funkci na Čebyševův polynom a eliptický filtr se tak stane Čebyševovým filtrem prvního druhu s vlnovým exponentem ε. $\xi \rightarrow \infty$
Protože Butterworthův filtr je limitujícím případem Čebyševova filtru, pak za podmínek , a tak se z eliptického filtru stává Butterworthův filtr. $\xi \rightarrow \infty$ $\omega _{0}\rightarrow 0$ $\epsilon \rightarrow 0$ $\epsilon \,R_{n}(\xi ,1/\omega _{0})=1$
Limitní případ , a tak mění eliptický filtr na Čebyševův filtr druhého druhu s frekvenční charakteristikou $\xi \rightarrow \infty$ $\epsilon \rightarrow 0$ $\omega _{0}\rightarrow 0$ $\xi \omega _{0}=1$ $\epsilon L_{n}=\alpha$

G(\omega )={\frac {1}{{\sqrt {1+{\frac {1}{\alpha ^{2}T_{n}^{2}(1/\omega ))))) }}.

Póly a nuly

Nuly modulu frekvenční odezvy se shodují s póly frakčně-racionální eliptické funkce.

Póly eliptického filtru lze definovat stejným způsobem jako póly Čebyševova filtru prvního druhu. Pro jednoduchost budeme brát mezní frekvenci rovnou jednotce. Póly eliptického filtru budou nulami jmenovatele amplitudové charakteristiky. Pomocí komplexní frekvence dostaneme: $(\omega_{pm})$ $s=\sigma +j\omega ,$

1+\epsilon ^{2}R_{n}^{2}(-js,\xi )=0

Nechť , kde cd je Jacobiho eliptická kosinusová funkce . Potom pomocí definice eliptické zlomkové racionální funkce dostaneme: $-js={\mathrm {cd}} (w,1/\xi )$

1+\epsilon ^{2}\mathrm {cd} ^{2}\left({\frac {nwK_{n)){K)),{\frac {1}{L_{n))} \right)=0

kde a . Řešení w $K=K(1/\xi )$ $K_{n}=K(1/L_{n})$

w={\frac {K}{nK_{n}}}{\mathrm {cd}}^{{-1}}\left({\frac {\pm j}{\epsilon }}),{\frac { 1}{L_{n}}}\right)+{\frac {mK}{n}},

kde jsou hodnoty inverzní funkce cd explicitní pomocí celočíselného indexu m .

Póly eliptické funkce v tomto případě:

s_{pm}=i\,\mathrm {cd} (š,1/\xi ).

Stejně jako v případě Čebyševových polynomů to lze vyjádřit v explicitní komplexní formě [1]

s_{{pm}}={\frac {a+jb}{c}},

a=-\zeta _{n}{\sqrt {1-\zeta _{n}^{2))}{\sqrt {1-x_{m}^{2))}{\sqrt {1-x_ {m}^{2}/\xi ^{2}}},

b=x_{m}{\sqrt {1-\zeta _{n}^{2}(1-1/\xi ^{2})}}),

c=1-\zeta _{n}^{2}+x_{i}^{2}\zeta _{n}^{2}/\xi ^{2},

kde je funkce a a jsou nuly eliptické funkce. Funkce je definována pro všechna n ve smyslu Jacobiho eliptické funkce. Pro objednávky 1 a 2 máme $\zeta _{n}$ $n,\,\epsilon$ $\xi$ $x_{m}$ $\zeta _{n}$

\zeta _{1}={\frac {1}{{\sqrt {1+\epsilon ^{2))))},

\zeta _{2}={\frac {2}{(1+t){\sqrt {1+\epsilon ^{2}}}+{\sqrt {(1-t)^{2}+\epsilon ^{2}(1+t)^{2}}}}}},

kde

t={\frac {1}{{\sqrt {1-1/\xi ^{2))))}.

Rekurzivní vlastnosti eliptických funkcí lze použít ke konstrukci výrazů vyššího řádu pro : $\zeta _{n}$

\zeta _{{m\cdot n}}(\xi ,\epsilon )=\zeta _{m}\left(\xi ,{\sqrt ({\frac {1}{\zeta _{n}^{ 2}(L_{m},\epsilon )}}-1}}\vpravo),

kde $L_{m}=R_{m}(\xi,\xi).$

Eliptické filtry s minimálním Q faktorem

Viz [2] Eliptické filtry jsou obvykle definovány specifikací určitého množství zvlnění v propustném pásmu, potlačovacím pásmu a strmosti amplitudové odezvy. Tyto charakteristiky jsou rozhodující pro nastavení minimálního řádu filtru. Dalším přístupem k návrhu eliptického filtru je určení citlivosti amplitudové odezvy analogového filtru na hodnoty jeho elektronických součástek. Tato citlivost je nepřímo úměrná speciálnímu exponentu ( faktor Q ) pólů přenosové funkce filtru . Faktor kvality tyče je definován jako:

Q=-{\frac {|s_{{pm}}|}{2{\mathrm {Re}}(s_{{pm}})}}=-{\frac {1}{2\cos(\arg (s_{{pm}})))}}

a je mírou vlivu daného pólu na celkovou amplitudovou charakteristiku. Pro eliptický filtr daného řádu existuje vztah mezi indexem zvlnění a faktorem selektivity, který minimalizuje faktor kvality všech pólů přenosové funkce:

\epsilon _{{Qmin}}={\frac {1}{{\sqrt {L_{n}(\xi )))}}

To vede k existenci filtru, který je nejméně citlivý na změny parametrů komponent filtru, nicméně při této metodě návrhu se ztrácí možnost nezávislého přiřazení velikosti zvlnění v propustném a potlačovacím pásmu. U takových filtrů se s rostoucím řádem zvlnění v nepropustném pásmu i v propustném pásmu zmenšuje a stoupá strmost charakteristiky kolem mezní frekvence. Při výpočtu filtru s minimálním faktorem kvality je třeba počítat s tím, že řád takového filtru bude větší než u běžného způsobu výpočtu. Graf modulu amplitudové charakteristiky bude vypadat téměř stejně jako dosud, póly však nebudou umístěny v elipse, ale v kruhu a na rozdíl od Butterworthova filtru , jehož póly jsou rovněž uspořádány do kruhu, vzdálenost mezi nimi nebude stejná, ale na pomyslné ose budou umístěny nuly.

Porovnání s jinými lineárními filtry

Níže jsou uvedeny grafy amplitudově-frekvenčních charakteristik některých nejběžnějších lineárních elektronických filtrů se stejným počtem koeficientů:

Jak můžete vidět z grafu, eliptický filtr má nejvyšší strmost, ale má také výrazné zvlnění v propustném i stoppásmu.

Viz také

Bibliografie

V.A. Lucas. Teorie automatického řízení. — M.: Nedra, 1990.
B.H. Krivitsky . Referenční kniha o teoretických základech radioelektroniky. - M .: Energie, 1977.
Miroslav D. Lutovac. Návrh filtru pro zpracování signálu pomocí MATLAB© a Mathematica©. - New Jersey, USA.: Prentice Hall, 2001. - ISBN 0-201-36130-2 .
Richard W. Daniels. Aproximační metody pro návrh elektronického filtru. - New York: McGraw-Hill, 1974. - ISBN 0-07-015308-6 .
Steven W. Smith. Příručka pro vědce a inženýra digitálním zpracováním signálu . - Druhé vydání. - San Diego: California Technical Publishing, 1999. - ISBN 0-9660176-4-1 .
Britton C. Rorabaugh. Aproximační metody pro návrh elektronického filtru. - New York: McGraw-Hill, 1999. - ISBN 0-07-054004-7 .
B. Widrow, SD Stearns. Adaptivní zpracování signálu. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1985. - ISBN 0-13-004029-0 .
S. Haykin. Teorie adaptivních filtrů. - 4. vydání. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 2001. - ISBN 0-13-090126-1 .
Michael L. Honig, David G. Messerschmitt. Adaptivní filtry – struktury, algoritmy a aplikace . - Hingham, MA: Kluwer Academic Publishers, 1984. - ISBN 0-89838-163-0 .
J.D. Markel, A.H. Gray, Jr. Lineární predikce řeči. - New York: Springer-Verlag, 1982. - ISBN 0-387-07563-1 .
L. R. Rabiner , R. W. Schafer. Digitální zpracování řečových signálů. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1978. - ISBN 0-13-213603-1 .
Richard J. Higgins. Digitální zpracování signálu ve VLSI. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1990. - ISBN 0-13-212887-X .
A. V. Oppenheim, R. W. Schafer. Digitální zpracování signálu . - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1975. - ISBN 0-13-214635-5 .
L. R. Rabiner , B. Gold. Teorie a aplikace číslicového zpracování signálů. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1986. - ISBN 0-13-914101-4 .
John G. Proakis, Dimitris G. Manolakis. Úvod do digitálního zpracování signálu. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1988. - ISBN 0-02-396815-X .