Flexagon

Flexagons (z angličtiny  do flex , lat.  flettere - skládat, ohýbat, ohýbat a řecky ωνος - čtverec) - ploché modely papírových proužků, které se mohou určitým způsobem skládat a ohýbat. Když je flexagon složen, povrchy, které byly dříve skryté ve struktuře flexagonu, se stanou viditelnými a dříve viditelné povrchy jdou dovnitř.

Mnoho flexagonů je čtvercových (tetraflexagonů) nebo šestiúhelníků (hexaflexagonů). Existují však flexagony jiných tvarů, včetně obdélníkových a prstencových.

Pro rozlišení mezi rovinami jsou na sektory flexagonu aplikována čísla, písmena, obrazové prvky nebo jednoduše natřeny určitou barvou.

Historie

První flexagon objevil v roce 1939 anglický student Arthur Stone , který tehdy studoval matematiku na Princetonské univerzitě ve Spojených státech. Papír velikosti Letter byl příliš široký a nevešel se do pořadače velikosti A4 . Kámen odřízl okraje papíru a ze vzniklých proužků začal skládat různé tvary, z nichž jeden se ukázal jako trihexaflexagon [1] [2] .

Brzy byl vytvořen "Flexagon Committee", který zahrnoval kromě Stonea také postgraduálního studenta matematiky Briana Tuckermana , postgraduálního studenta fyziky Richarda Feynmana a profesora matematiky Johna W. Tukeyho [2] .

Do roku 1940 Feynman a Tukey vyvinuli teorii flexagonů, čímž položili základ pro veškerý následující výzkum. Teorie nebyla publikována celá, i když její části byly následně znovu objeveny [2] . Útok na Pearl Harbor pozastavil práci výboru Flexagonu a válka brzy rozprášila všechny čtyři jeho zakladatele různými směry [3] .

Flexagony získaly popularitu poté, co se v prosinci 1956 objevil první sloupek Martina Gardnera „Matematické hry“, věnovaný hexaflexagonům [4] [5] v časopise Scientific American .

Flexagony byly opakovaně patentovány ve formě hraček, ale nebyly široce komercializovány [6] [7] .

Typy flexagonů

Plochy flexagonu mohou sestávat z rovnostranných nebo rovnoramenných trojúhelníků, čtverců, pětiúhelníků atd. Flexagon může umožnit, aby se objevil určitý počet ploch; některé z nich mohou být anomální (tj. zahrnují sektory s různými čísly). Flexagon daného tvaru s daným počtem rovin může být vyroben z různých vývojů. Navíc i stejné rozbalení může umožnit různé možnosti skládání [3] [8] .

Názvy flexagonů

Názvy mnoha flexagonů jsou tvořeny podle principu "předpona (počet ploch) + předpona (tvar) +" flexagon "". První předpona tedy udává, kolik ploch má flexagon, které se mohou dříve či později otevřít, a druhá udává, na kolik částí je každá taková plocha rozdělena. Například tetratetraflexagon je flexagon se čtyřmi povrchy, z nichž každý se skládá ze čtyř čtverců; hexahexaflexagon - flexagon se šesti povrchy, z nichž každý se skládá ze šesti trojúhelníků; dodekahexaflexagon - flexagon s dvanácti ("dodeca") plochami, z nichž každý se skládá ze šesti ("hexa") sektorů atd. [9]

Neexistuje však žádný obecně uznávaný systém pojmenování flexagonů. Martin Gardner použil termíny „tetraflexagon“ a „hexaflexagon“ k označení flexagonů sestávajících ze čtverců a trojúhelníků a povrchy tetraflexagonu se mohly skládat ze čtyř nebo šesti čtverců [3] . V knize Flexagons Inside Out jsou flexagony označeny tvarem sektorů (čtvercový, pětiúhelníkový atd.) [10] [11]

Později se flexagonům s 8 a 12 trojúhelníkovými sektory začalo říkat okta- a dodekaflexagony [8] . Pokud jsou sektory ploch flexagonu pravidelné nebo rovnoramenné trojúhelníky, pak kromě hexaflexagonů existují trojúhelníkové tetra-, penta-, hepta-, oktaflexagony [11] .

Časopisy „Science and Life“ používaly především systém předpon IUPAC [12] [13] [14] [15] .

Hexaflexagony

Hexaflexagon je flexagon ve tvaru pravidelného šestiúhelníku. Každá plocha flexagonu se skládá ze šesti trojúhelníkových sektorů.

Existuje mnoho hexaflexagonů, které se liší počtem povrchů. Známé hexaflexagony se třemi, čtyřmi, pěti, šesti, sedmi, devíti, dvanácti, patnácti, čtyřiceti osmi povrchy; počet rovin je omezen pouze tím, že papír má nenulovou tloušťku [9] [1] [3] [16] [17] .

Počet typů hexaflexagonů rychle roste s nárůstem počtu jeho povrchů: existují 3 typy hexahexaflexagonů, 4 typy heptahexaflexagonů, 12 typů oktahexaflexagonů, 27 typů ennahexaflexagonů a 82 typů dekahexaflexagonů [3] [18] .

Trihexaflexagon

Věrný svému názvu, trihexaflexagon je šestihranný flexagon se třemi povrchy. Je to nejjednodušší ze všech hexaflexagonů (kromě unahexaflexagonu a duohexaflexagonu ). Jde o zploštělý Möbiův pás [1] [3] . Z pruhu papíru rozděleného do deseti rovnostranných trojúhelníků lze svinout trihexaflexagon [16] [1] . Trihexaflexagon je složen pomocí metody pinch flex [16] [1] [19] , s otočením o 60° po každém přeložení.

Hexahexaflexagon

Hexahexaflexagon je flexagon se šesti šestihrannými plochami. Z pruhu dlouhého 19 trojúhelníků lze vyrobit hexahexaflexagon [9] [19] [17] .

Tetraflexagony

Nejjednodušší tetraflexagon (flexagon se čtvercovými plochami) je tritetraflexagon, který má tři plochy. V každém okamžiku jsou viditelné pouze dva ze tří povrchů.

Složitější hexatetraflexagon a decatetraflexagon jsou sestaveny z křížového výstružníku bez použití lepidla [12] . Tetraflexagony se 4 n  + 2 rovinami lze vyrobit i ze čtvercových rámů [3] .

Klikaté proužky papíru lze použít k výrobě tetratetraflexagonů a dalších tetraflexagonů s počtem rovin dělitelných 4 [21] .

Prstencové flexagony

Prstencový flexagon je flexagon, jehož povrch je "prstencem" mnohoúhelníků. Předpona „circo“ může být použita pro pojmenování prstencových flexagonů, například pentacircodecaflexagon je prstencový flexagon s pěti rovinami, z nichž každá se skládá z deseti polygonů (pentagonů) [22] ; trigemicircohexaflexagon - flexagon se třemi plochami, z nichž každý je prstenec ( circo ) z polovin ( hemi ) pravidelných šestiúhelníků ( hexa ) [14] .

The Tuckerman Way

Snadný způsob, jak najít všechny povrchy hexaflexagonu – Tuckermanův krok – je podržet flexagon v jednom rohu a otevřít model, dokud se nepřestane otevírat, poté otočte flexagon o 60° ve směru hodinových ručiček, uchopte sousední roh a opakujte, že totéž [19] [17] .

Při procházce kolem Tuckermana se roviny hexahexaflexagonu otevřou v pořadí: 1,2,5,1,2,3,4,2,3,1,6,3 (nebo v opačném pořadí), načež následuje sekvence se bude opakovat. Tato sekvence se nazývá Tuckermanova cesta [19] [17] .

Metody skládání ("flexy")

Hexaflexagony

Výše popsaná metoda skládání hexaflexagonu, která se používá k obejití všech rovin (Tuckermanových cest), se nazývá pinch flex [20] . Existují následující způsoby skládání hexaflexagonů:

  • pinch flex [20] (provádět na hexaflexagonech se třemi nebo více rovinami)
  • v-flex [23] [24] (provádět na hexaflexagonech se čtyřmi nebo více rovinami)
  • tuck flex [25] , "boat-hexahedron" [19] (provádět na hexaflexagonech se čtyřmi nebo více rovinami)

a další [26]

Anomálie

Rovina flexagonu (soubor sektorů) s různými čísly se nazývá anomální rovina a flexagon s viditelnou anomální rovinou (v anomální poloze) se nazývá anomální flexagon [19] [17] [27] . Výskyt anomálních rovin je možný na flexagonech dostatečně vysokého řádu, například na hexahexaflexagonu [19] , dodekahexaflexagonu [27] . Nejjednodušším hexaflexagonem, který umožňuje výskyt anomálií, je tetrahexaflexagon [22] . K dosažení anomálních rovin se používají jiné metody skládání než „standardní“ pinch flex [19] .

Viz také

Poznámky

  1. ↑ 1 2 3 4 5 Věda a život, 1970, č. 1
  2. ↑ 1 2 3 Antony S. Conrad, Daniel K. Hartline Příběh Flexagonu Archivováno 26. května 2011 na Wayback Machine
  3. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 Martin Gardner, Matematické hádanky a zábava
  4. ↑ Sbírky sloupců „Matematické hry“ Martina Gardnera archivovány 29. srpna 2014 na Wayback Machine . Muppetlabs
  5. ↑ Gardner, Martin. Flexagony  // Scientific American  . - Springer Nature , 1956. - Prosinec ( roč. 195 , č. 6 ). - S. 162-168 . - doi : 10.1038/scientificamerican1256-162 .
  6. ↑ Rogers, Russell E.; Andrea, Leonard DL Výměnná zábavní zařízení a podobně . Freepatentsonline.com (21. dubna 1959). Získáno 30. července 2013. Archivováno z originálu 13. srpna 2013.
  7. ↑ Patenty . Získáno 31. července 2013. Archivováno z originálu 18. července 2012.
  8. ↑ 12 Scott Sherman . Pojmenování a terminologie Flexagonu . Archivováno z originálu 5. ledna 2009.
  9. ↑ 1 2 3 Věda a život, 1970, č. 3
  10. ↑ Les Pook, Flexagons Inside Out
  11. ↑ 12 Scott Sherman . Bestiář trojúhelníkového flexagonu . Archivováno z originálu 12. června 2008.
  12. ↑ 1 2 Věda a život, 1975, č. 9
  13. ↑ Věda a život, 1992, č. 4
  14. ↑ 1 2 Věda a život, 1993, č. 11
  15. ↑ Věda a život, 1993, č. 12
  16. ↑ 123 Flexagons . _ _ Matematická Basteleien. Archivováno z originálu 9. března 2017.
  17. ↑ 1 2 3 4 5 Věda a život, 1970, č. 2
  18. ↑ OEIS sekvence A000207 Počet hexaflexagonů řádu n+2
  19. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 Věda a život, 1977, č. 2
  20. ↑ 1 2 3 Scott Sherman. Pinch Flex . Archivováno z originálu 5. ledna 2009.
  21. ↑ Věda a život, 1972, č. 3
  22. ↑ 1 2 Věda a život, 1977, č. 8
  23. ↑ Video Flexagon Portal v-flex Archivováno 6. září 2013 na Wayback Machine
  24. ↑ Scott Sherman. V flex . Archivováno z originálu 23. srpna 2016.
  25. ↑ Scott Sherman. Tuck Flex . Archivováno z originálu 23. srpna 2016.
  26. ↑ Scott Sherman. Triangle Flexagon Flexes . Archivováno z originálu 23. srpna 2016.
  27. ↑ 1 2 Kvant, 1992, č. 10

Literatura

Knihy

  • Martin Gardner . Matematické hádanky a zábava = Matematické hádanky a odbočky / Per. Yu. A. Danilova , ed. Ano, A. Smorodinsky . - 2. - M .: Mir, 1999. - ISBN 5-03-003340-8 .
  • Les pook. Flexagony naruby  . — Cambridge University Press. — 182p. — ISBN 0-521-81970-9 .
  • Les pook. Vážná zábava s flexagony: Kompendium a průvodce  . - Vydání 2009 (17. srpna 2009). — Springer. — 346 s. — ISBN 978-90-481-2502-9 .

Články

  • A. A. Panov. Flexagony, flexory, flexmany  // Kvant . - 1988. - č. 7 . - S. 10-14 .
  • I. Kan. Anomální flexagony  // Kvant. - 1992. - č. 10 . - S. 57-59 .
  • Flexagony  // Věda a život . - 1970. - č. 1 . - S. 124-125 . Trihexaflexagon
  • Flexagony  // Věda a život . - 1970. - č. 2 . - S. 68-69 . Hexahexaflexagon, Tuckermanova cesta
  • Flexagony  // Věda a život . - 1970. - č. 3 . - S. 154-155 . Jiné hexaflexagony
  • Flexagony  // Věda a život . - 1970. - č. 8 . - S. 149 . Korespondence se čtenáři
  • Flexagony  // Věda a život . - 1972. - č. 3 . - S. 142-143 . Tetraflexagony
  • Flexagony  // Věda a život . - 1972. - č. 4 . - S. 107 . Stoneova flexo trubice
  • Flexagony  // Věda a život . - 1975. - č. 7 . - S. 154-155 . Stoneova flexo trubice (pokračování)
  • Flexagony  // Věda a život . - 1975. - č. 9 . - S. 121-123 . Hexatetraflexagon, decatetraflexagon, předpony IUPAC
  • I. Konstantinov. Flexagon trails  // Věda a život . - 1977. - č. 2 . - S. 92-96, V . Převod tunelem
  • Flexagony  // Věda a život . - 1977. - č. 8 . - S. 98-99 . Prostorové modely translačních diagramů. Pentacircodecaflexagon
  • I. Kan. Hemitetraflexagony  // Věda a život . - 1992. - č. 4 . - S. 126-127 . Hemitetraflexagony
  • I. Kan. Hemitetra- a hemihexaflexagony  // Věda a život . - 1993. - č. 11 . - S. 150-152 .
  • I. Kan. Trojúhelníkové flexagony  // Věda a život . - 1993. - č. 12 . - S. 42-43 .

Odkazy

  • Harold V. McIntosh, Antony S. Conrad, Daniel K. Hartline. Flexagons  (anglicky) (1962, 2000, 2003). — Články o flexagonech ve formátu PDF. Získáno 30. července 2013. Archivováno z originálu 13. srpna 2013.
  • Harold V. McIntosh. Moje zkušenosti  s Flexagonem . — Obsahuje cenné historické informace a teorii; místo autora má několik flexagon příbuzných papírů uvedených v [1] . Získáno 30. července 2013. Archivováno z originálu 13. srpna 2013.
  Přejděte na položku Wikidata  Slovníky a encyklopedie