Stirlingova formule

V matematice je Stirlingův vzorec (také Moivre-Stirlingův vzorec) vzorcem pro přibližný výpočet faktoriálové a gama funkce . Pojmenován po Jamesi Stirlingovi a Abrahamu de Moivre , druhý jmenovaný je považován za autora vzorce [1] .

Nejpoužívanější verze vzorce:

\ln \Gamma (n+1)=\ln n!=n\ln n-n+O(\ln n).

Další termín v tomto je ; takže přesnější přiblížení: $O(\ln n)$ ${\frac {1}{2}}\ln(2\pi n)$

\lim _{n\to \infty }{\frac {n!}{{\sqrt {2\pi n}}\,\left({\frac {n}{e}}\right)^ {n}}}=1,

což je ekvivalentní

n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.

Stirlingův vzorec se často píše jako

n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\exp {\frac {\theta _{n}}{ 12n}},

kde ,. _ Přesnější odhad dává vzorec $0<\theta _{n}<1$ $n>0$

n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\exp {\frac {1}{12n+\theta _{ n}}},

kde ,. _ $0<\theta _{n}<1$ $n>0$

V posledním vzorci je maximální hodnota ve skutečnosti menší než 1 a přibližně se rovná 0,7509. $\Opalování$

Stirlingův vzorec je aproximací získanou z expanze faktoriálu na Stirlingovu řadu , která má tvar $n>0$

{\begin{aligned}n!&\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\exp \sum _{ k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{2k(2k-1)n^{2k-1}}}=\\&={\sqrt {2\pi n}}\ left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{12n}}+{\frac {1}{288n^{2}}}- {\frac {139}{51840n^{3}}}-{\frac {571}{2488320n^{4}}}+\cdots \right)=\\&={\sqrt {2\pi n}} \left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{(2^{1})(6n)^{1}}}+{ \frac {1}{(2^{3})(6n)^{2}}}-{\frac {139}{(2^{3})(2\cdot 3\cdot 5)(6n)^ {3}}}-{}\vpravo.\\&\qquad \left.{}-{\frac {571}{(2^{6})(2\cdot 3\cdot 5)(6n)^{ 4}}}+\cdots \right),\end{aligned}}

kde jsou Bernoulliho čísla s číslem . $B_j$ $j$

Tento vzorec používá symbol ekvivalence místo rovnosti, protože řada se liší pro každé pevné , ale jde o asymptotické rozšíření faktoriálu pro . $n$ $n\to\infty$

Odkazy

↑ Pearson, Karl (1924), Historická poznámka ke vzniku normální křivky chyb , Biometrika vol . 16: 402–404 [s. 403] , DOI 10.2307/2331714 : „Stirling pouze ukázal, že aritmetická konstanta v De Moivreově vzorci je . Věřím, že to z něj nedělá autora věty.“ ${\sqrt {2\pi }}$

Slovníky a encyklopedie	Velká Katalánština Velký Rus Britannica (online)