Základní oblast

Vzhledem k topologickému prostoru a akční skupině na něm tvoří obrazy jednoho bodu působením akční skupiny akční dráhy . Základní oblast je podmnožina prostoru, která obsahuje přesně jeden bod z každé oběžné dráhy. Poskytuje geometrickou realizaci abstraktního souboru zástupců orbity.

Existuje mnoho způsobů, jak vybrat základní region. Obvykle se vyžaduje, aby základní doména byla spojenou podmnožinou s určitými omezeními na hranicích, například aby byly hladké nebo mnohostěnné. Obrazy vybrané základní oblasti působením skupiny tvoří mozaiku v prostoru. Jedna z hlavních konstrukcí základních oblastí se opírá o Voronoiovy diagramy .

Návrhy na obecnou definici

Daná akce grupy G na topologickém prostoru X prostředky k homeomorphisms , základní doména pro takové akce je soubor D zástupců orbity. Obvykle se vyžaduje, aby tato množina byla topologicky jednoduchá a byla definována jedním z několika specifických způsobů. Obvyklá podmínka je, že D je téměř otevřená množina v tom smyslu, že D musí být symetrický rozdíl otevřené množiny v G s množinou nulové míry pro nějakou (kvazi)invariantní míru na X . Fundamentální doména vždy obsahuje volnou regulární množinu U , otevřenou množinu , která se pohybuje působením G do nespojených kopií a téměř jako D představuje orbity. Často je požadováno, aby D byla úplná sada coset s určitými opakováními, ale aby část s opakováním byla nulová. Toto je běžná situace v ergodických teoriích . Pokud se k vyhodnocení integrálu na X / G použije základní doména , množina nulové míry nehraje roli.

Například, jestliže X je n - rozměrný euklidovský prostor Rn a G je mřížka Zn působící na něm jako paralelní translace , bude kvocientový prostor X / G n - rozměrný torus . Jako fundamentální definiční obor lze vzít D [0,1) n , který se od otevřené množiny (0,1) n liší množinou nulové míry, nebo uzavřenou jednotkovou krychli [0,1] n , jejíž hranici tvoří body, jejichž oběžné dráhy mají více než jednoho zástupce v D .

Příklady

Příklady v trojrozměrném euklidovském prostoru R 3 .

V případě, že je paralelní transport kombinován s jinými typy symetrií, bude základní oblast součástí základní buňky. Například pro rovinné skupiny symetrie je základní oblast 1, 2, 3, 4, 6, 8 nebo 12 krát menší než primitivní buňka.

Základní doména modulární skupiny

Diagram vpravo ukazuje část konstrukce fundamentální domény pro působení modulární grupy Γ na horní polorovině H (zde se horní polorovinou rozumí část komplexní roviny s kladnou koeficient při i ).

Tento slavný diagram se objevuje ve všech klasických knihách o modulárních funkcích . (Možná to dobře věděl Gauss , který se základními obory zabýval při studiu redukce kvadratických forem.) Zde je každá trojúhelníková doména (ohraničená modrými čarami) volnou regulární oblastí akcí Γ na H . Hranice (modré čáry) nejsou součástí volných pravidelných množin. Pro konstrukci základní domény H /Γ se musíme rozhodnout, jak přiřadit body na hranicích, a musíme dávat pozor, abychom tyto body nezahrnuli dvakrát. Volná běžná sada pro tento příklad tedy je

Základní oblast je vytvořena přidáním levého okraje plus půl oblouku zdola, včetně středového bodu:

Volba, které body zahrnout, se liší od autora k autorovi.

Hlavní potíž při definování základního oboru nespočívá přímo v definici množiny, ale spíše v tom, jak pracovat s integrály nad základním oborem, když integrandy mají póly a nuly na hranici oboru.

Viz také

Odkazy