Cauchyho funkcionální rovnice

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 14. ledna 2014; kontroly vyžadují 20 úprav .

Funkcionální Cauchyova rovnice pro funkci má tvar $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$

f(x+y)=f(x)+f(y)

Funkce, která splňuje tuto rovnici, se nazývá aditivní . Tento termín platí pro libovolné funkce, nejen pro reálné.

Cauchyho rovnice je jednou z nejstarších a nejjednodušších funkcionálních rovnic , její řešení v reálných číslech je však poměrně složité. V racionálních číslech lze pomocí elementární matematiky dokázat , že existuje jedinečná rodina řešení tvaru , kde c je libovolná konstanta. Tato rodina řešení je také jedním z řešení na množině reálných čísel. Další omezení uložená na , mohou vyloučit možnost existence jiných řešení. Například lineární funkce jsou jediným možným řešením, pokud: $f(x)=cx$ $F$ $f(x)=cx$

$F$ je nepřetržitý (dokázal Cauchy v roce 1821 ). Tato podmínka byla uvolněna v roce 1875 Darbouxem , který ukázal, že kontinuita funkce je nutná pouze v jednom bodě.
$F$ je v určitém intervalu monotónní .
$F$ ohraničený shora nebo zdola na nějakém intervalu (zvláštní případ: ponechá si znaménko na nějakém intervalu). $F$
pro nějaký interval hodnot argumentů existuje nenulový interval hodnot, který funkce tento interval nepřebírá (obecnější verze předchozího případu). $F$
$F$ integrovatelný (zejména podle Lebesgue ) na nějakém intervalu.
$F$ měřitelné v určitém intervalu.

Na druhou stranu, pokud neexistují žádná další omezení pro , pak existuje nekonečně mnoho dalších funkcí, které splňují rovnici (viz článek " Hamelův základ "). Toto bylo dokázáno v 1905 Georg Hamel používat Hamel základ , a od této doby axiom výběru . Zobecnění Hilbertova třetího problému na případ vícerozměrných prostorů používá tuto rovnici. $F$

Jiné formy funkcionální Cauchyovy rovnice

Následující funkční rovnice jsou ekvivalentní aditivní Cauchyho rovnici : $f\left(x+y\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)$

logaritmická Cauchyova rovnice (jedna z rodin řešení má tvar ). $f\left(xy\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)$ $f\left(x\right)=c\ln \left|x\right|=\log _{a}\left|x\right|$
mocninná Cauchyova rovnice (jedna z rodin řešení má tvar ). $f\left(xy\right)=f\left(x\right)f\left(y\right)$ ${\displaystyle f\left(x\right)=\left|x\right|^{a))$
exponenciální Cauchyho rovnice (jedna z rodin řešení má tvar ). $f\left(x+y\right)=f\left(x\right)f\left(y\right)$ ${\displaystyle f\left(x\right)=\exp \left(cx\right)=a^{x))$

Degenerovaným řešením těchto rovnic je funkce . $f\left(x\right)=0$

Řešení v racionálních číslech

Dokažme, že ze znaménka funkce lze vyjmout racionální čísla. Vezměme si : $n\in \mathbb {N}$

f(nx)=f(x+x+\cdots +x)=f(x)+f(x)+\cdots +f(x)=nf(x)

f\left({\frac {x}{n}}\right)={\frac {nf(x/n)}{n}}={\frac {f(x)}{n}}

Nyní položme a : $x=y=0$ $y=-x$

f(0)=f(0)+f(0)\šipka doprava f(0)=0

f(0)=f(x)+f(-x)\šipka doprava f(-x)=-f(x)

Když to všechno dáme dohromady, dostaneme:

\forall a\in \mathbb {Q} ,x\in \mathbb {R} :f(ax)=af(x)

Nastavení a označení , máme jedinečnou rodinu řešení . $x=1$ $c=f\left(1\right)$ $f(x)=cx$ $\mathbb {Q}$

Existence nelineárních řešení

Důkaz existence nelineárních řešení je nekonstruktivní a opírá se o axiom výběru . S jeho pomocí je dokázána existence Hamelovy báze v jakémkoli vektorovém prostoru , včetně nekonečně-dimenzionálních.

Uvažujme jako vektorový prostor nad polem : má Hamelův základ. Vezměme koeficient před nějakým základním vektorem v rozšíření čísla podle základu - to bude hodnota . Výsledná funkce nabývá racionálních hodnot (jako koeficient v expanzi přes ) a není shodně rovna nule ( ), a proto nemůže být lineární. Je snadné pochopit, že je aditivní, to znamená, že splňuje Cauchyho rovnici. $\mathbb {R}$ $\mathbb {Q}$ $\alpha$ $X$ $f(x)$ $\mathbb {Q}$ $f(\alpha )=1$

V obecném případě nechť je Hamelův základ množiny reálných čísel nad polem racionálních čísel . Pak pro každý reál existuje expanze v Hamelově bázi (kde ), a taková expanze je jedinečná až do pořadí expanzních členů a členů s nulovými faktory. Pro aditivní funkci musí být splněna podmínka , kde jsou pevná reálná čísla (racionální faktory lze vyjmout ze znaménka aditivní funkce, viz předchozí část). Je zřejmé, že funkce daná tímto vztahem splňuje aditivní Cauchyho rovnici pro libovolný výběr pomocných čísel . Nicméně, pouze když , kde je libovolné reálné číslo, se daná funkce ukáže být lineární funkcí . $\{r_{\alpha }\}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {Q}$ $X$ $x=k_{{\alpha _{1}}}r_{{\alpha _{1}}}+\cdots +k_{{\alpha _{n}}}r_{{\alpha _{n}}}$ $k_{i}\in {\mathbb {Q}}$ $f(x)$ $f(x)=k_{\alpha _{1}}f_{\alpha _{1}}+\cdots +k_{\alpha _{n}}f_{\alpha _{n}}$ $f_{\alpha _{n}}=f(r_{\alpha _{n}})$ $f(x)$ $f_{\alpha _{n))$ $f(x+y)=f(x)+f(y)$ $f_{\alpha _{n}}\equiv c\cdot r_{\alpha _{n}}$ $C$

Vlastnosti nelineárních řešení

Nyní dokážeme, že každé nelineární řešení musí být poněkud neobvyklá funkce - její graf musí být všude hustý v . To znamená, že libovolný libovolně malý kruh v rovině obsahuje alespoň jeden bod tohoto grafu. Z toho lze snadno odvodit další vlastnosti, jako je diskontinuita v libovolném bodě, nemonotonie a neohraničenost v libovolném intervalu. $y = f(x)$ $\mathbb {R} ^{2}$

Můžeme, vydělením funkce , předpokládat, že . (Pokud , pak , a níže uvedená úvaha zůstane platná s minimálními změnami, za předpokladu, že existuje bod, pro který .) Pokud funkce není lineární, pak pro některé : nastavíme . Ukažme si nyní, jak najít bod grafu v libovolné kružnici se středem v bodě o poloměru , kde . Je jasné, že to stačí pro hustotu grafu všude v . $c=f(1)$ $\forall a\in \mathbb {Q} :f(a)=a$ $f(1)=0$ $\forall a\in \mathbb {Q} :f(a)=0$ $\alpha \in \mathbb {R}$ $f(\alpha )\neq 0$ $f(x)$ $f(\alpha )\neq \alpha$ $\alpha \in \mathbb {R}$ $f(\alpha )=\alpha +\delta ,\delta \neq 0$ $(x,y)$ $r$ $x,y,r\in \mathbb {Q} ,r>0,x\neq y$ $y = f(x)$ $\mathbb {R} ^{2}$

Nastavme a zvolíme racionální číslo blízké , takže: $\beta ={\frac {yx}{\delta ))$ $b\neq 0$ $\beta$

\left|\beta -b\right|<{\frac {r}{3\left|\delta \right|}}

Pak zvolte racionální číslo blízké , takže: $A$ $\alpha$

\left|\alpha -a\right|<{\frac {r}{3\left|b\right|}}

Nyní vezmeme a pomocí funkcionální rovnice dostaneme: $X=x+b(\alpha -a)$

Y=f(X)=f(x+b(\alpha -a))

=x+bf(\alpha )-bf(a)

=y-\delta \beta +bf(\alpha )-bf(a)

=y-\delta \beta +b(\alpha +\delta )-ba

=y+b(\alpha -a)-\delta (\beta -b)

Ale pak , to znamená, že bod byl uvnitř kruhu. $(Yy)^{2}+(Xx)^{2}=(b(\alpha -a)-\delta (\beta -b))^{2}+(b(\alpha -a) )^{2}\leqslant \left({\frac {r}{3}}+{\frac {r}{3}}\right)^{2}+\left({\frac {r}{3 }}\vpravo)^{2}<r^{2}$ $(X,Y)$

Lze také ukázat [1] , že když aditivní funkce není lineární, bude nespojitá v libovolném bodě reálné osy a také nezachovává znaménko, není omezena nad ani pod, není monotónní , není integrovatelná . a není měřitelný na žádném libovolně malém intervalu, vyplňujícím, v souladu s tvrzením o hustotě grafu dokázané výše, všude v rovině , na jakémkoli libovolně malém intervalu, vyplňujícím celou reálnou osu svými hodnotami hustě . $f(x)$ $y = f(x)$ $\mathbb {R} ^{2}$ $\left(-\infty ,+\infty \right)$

Poznámky

↑ Rutgers University . Získáno 3. listopadu 2019. Archivováno z originálu dne 3. listopadu 2019. (neurčitý)

Literatura

N. K. Vereščagin, A. Šen. Počátky teorie množin . — S. 82. — (Přednášky o matematické logice a teorii algoritmů).
Řešit Cauchyho funkční rovnici - Rutgers univerzita